2014届高考数学（理）一轮复习热点针对训练：第59讲《抛物线》、《双曲线》、《椭圆》Word版含解

1.抛物线y＝4x²的准线方程为( D )

A．x＝－1  B．y＝－1

C．x＝－  D．y＝－

2.正三角形一个顶点是抛物线x²＝2py(p>0)的焦点，另两个顶点在抛物线上，则满足此条件的正三角形共有( C )

A．0个  B．1个

C．2个  D．4个

解析：由抛物线的对称性可知，另两个顶点一组在焦点的下方，一组在焦点的上方，共有两组，故选C.

3.如图，过抛物线y²＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为( C )

A．y²＝9x  B．y²＝6x

C．y²＝3x  D．y²＝x

解析：分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为E，D，如图．

因为|BC|＝2|BF|，由抛物线的定义可知|BF|＝|BD|，∠BCD＝30°.

又|AE|＝|AF|＝3，所以|AC|＝6，

即F为AC的中点，所以p＝|EA|＝，

故抛物线的方程为y²＝3x，故选C.

4.(2013·山东省临沂市3月一模)若抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程为 y²＝8x .

解析：由条件知－＝－2，所以p＝4，

故抛物线的方程为y²＝8x.

5.(2012·皖南八校第二次联考)抛物线x²＝ay过点A(1，)，则点A到此抛物线的焦点的距离为 .

解析：由已知可得1＝a，所以a＝4，所以x²＝4y.

由抛物线的定义可知点A到焦点的距离等于A到准线的距离：

y_A＋＝＋1＝.

6.(2013·衡水调研卷)设斜率为2的直线l过抛物线y²＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为 y²＝±8x .

解析：由题可知抛物线的焦点坐标为(，0)，于是过焦点且斜率为2的直线l的方程为y＝2(x－)，令x＝0，可得A点坐标为(0，－)，所以S_△OAF＝··＝4，所以a＝±8，故抛物线的方程为y²＝±8x.

7.(2012·山西大学附中第二学期3月考)已知抛物线y²＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|NF|＝|MN|，则∠NMF＝ .

解析：过N作NQ⊥准线于Q，则|NQ|＝|NF|.

因为|NF|＝|MN|，

所以|NQ|＝|MN|，

所以cos∠QNM＝＝，所以∠QNM＝，

所以∠NMF＝∠QNM＝.

8.(2012·重庆市七区第一次联考)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2,2)，其焦点F在x轴上．

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程．

解析：(1)由题意，可设抛物线C的标准方程为y²＝2px，

因为点A(2,2)在抛物线C上，所以p＝1，

所以抛物线C的标准方程为y²＝2x.

(2)由(1)可得焦点F的坐标为(，0)，

又直线OA的斜率为1，

所以与直线OA垂直的直线的斜率为－1.

所以过点F，且与直线OA垂直的直线的方程为y－0＝－1(x－)，即x＋y－＝0.

9.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y²＝2px(p>0)上横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)设点C是抛物线上的动点，若以C为圆心的圆在y轴上截得的弦AB的长为4，求证：圆C过定点．

解析：(1)由抛物线的定义得＋4＝5，则p＝2，

所以抛物线的标准方程为y²＝4x.

(2)证明：设圆心C的坐标为(，y₀)，半径为r.

因为圆C在y轴上截得的弦长为4，

所以r²＝4＋()²，

故圆C的方程为(x－)²＋(y－y₀)²＝4＋()²，

整理得(1－)y－2yy₀＋(x²＋y²－4)＝0，①

对于任意的y₀∈R，方程①均成立．

故有，解得.

所以圆C过定点(2,0)．

 

1.(2012·泉州四校二次联考)双曲线2x²－y²＝8的实轴长是( C )

A．2  B．2

C．4  D．4

解析：双曲线的方程2x²－y²＝8可化为－＝1，则a＝2，故实轴长2a＝4，故选C.

2.(2012·北京市西城区第一学期期末)若双曲线x²－ky²＝1的一个焦点是(3,0)，则实数k＝( B )

A.  B.

C.  D.

解析：因为双曲线x²－ky²＝1的一个焦点是(3,0)，故1＋＝9，所以k＝，故选B.

3.(2013·四川省成都4月模拟)已知定点A，B，且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为( C )

A.  B.

C.  D．5

解析：由|PA|－|PB|＝3知P点的轨迹是以A，B为焦点的双曲线一支(以B为焦点的一支)，因为2a＝3,2c＝4，所以a＝，c＝2，所以|PA|_min＝a＋c＝，故选C.

4.(2012·唐山市上期期统考)已知双曲线的渐近线为y＝±x，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( D )

A.－＝1  B.－＝1

C.－＝1  D.－＝1

解析：根据题意设双曲线方程为x²－＝λ(λ>0)，即－＝1，

则a²＝λ，b²＝3λ，

所以c²＝a²＋b²＝4λ＝16?λ＝4，

所以双曲线方程为－＝1，故选D.

5.(2012·山东省青岛市3月质量检测)已知双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，则它的离心率为 2 .

解析：由题知＝，则()²＝3，故e＝＝2.

6.(2012·广东省高州市第一次模拟)已知F₁、F₂是双曲线－＝1的焦点，PQ是过焦点F₁的弦，那么|PF₂|＋|QF₂|－|PQ|的值是 16 .

解析：由双曲线方程得，2a＝8.

由双曲线的定义得|PF₂|－|PF₁|＝2a＝8，①

|QF₂|－|QF₁|＝2a＝8，②

①＋②，得

|PF₂|＋|QF₂|－(|PF₁|＋|QF₁|)＝16，

所以|PF₂|＋|QF₂|－|PQ|＝16.

7.(2013·武昌区2月调研)双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为 .

解析：双曲线右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，双曲线一条渐近线的斜率是，直线FB的方程是y＝(x－5)，与双曲线方程联立解得点B的纵坐标为－，故△AFB的面积为×|AF||y_B|＝×2×＝.

8.求与圆(x＋2)²＋y²＝2外切，并且过定点B(2,0)的动圆圆心M的轨迹方程．

解析：圆(x＋2)²＋y²＝2的圆心为A(－2,0)，半径为.

设动圆圆心为M，半径为r.

由已知条件，知?|MA|－|MB|＝，

所以点M的轨迹为以A、B为焦点的双曲线的右支，

且a＝，c＝2，所以b²＝.

所以M点的轨迹方程为－＝1(x>0)．

9.已知两定点F₁(－，0)，F₂(，0)，满足条件||－||＝2的点P的轨迹是曲线E，直线y＝kx－1与曲线E交于A、B两点．

(1)求k的取值范围；

(2)如果||＝6，求k的值．

解析：(1)由双曲线的定义可知，曲线E是以F₁(－，0)，F₂(，0)为焦点的双曲线的左支，且c＝，a＝1，易知b＝1，

故双曲线E的方程为x²－y²＝1(x＜0)．

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，由题意建立方程组：

，消去y得(1－k²)x²＋2kx－2＝0，

又已知直线与双曲线的左支交于A、B两点，有

，解得－＜k＜－1.

(2)因为|AB|＝·|x₁－x₂|

＝·

＝·

＝2.

依题意得2＝6，

整理后得28k⁴－55k²＋25＝0，

所以k²＝或k²＝，但－＜k＜－1，所以k＝－.

 

 

 

1.(2013·衡水调研)椭圆＋＝1(a>b>0)上任一点到两焦点的距离分别为d₁，d₂，焦距为2c.若d_1,2c，d₂成等差数列，则椭圆的离心率为( A )

A.  B.

C.  D.

解析：由d₁＋d₂＝2a＝4c，所以e＝＝，故选A.

2.(2012·福建省宁德市质量检查)已知方程＋＝1(k∈R)表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是( B )

A．k>1或k<3  B．1<k<3

C．k>1  D．k<3

解析：因为方程＋＝1(k∈R)表示焦点在x轴上的椭圆，所以，解得1<k<3，故选B.

3.(2013·温州五校)椭圆＋＝1的左焦点为F₁，点P在椭圆上，若线段PF₁的中点M在y轴上，则|PF₁|＝( A )

A.  B.

C．6  D．7

解析：由条件知PF₂⊥x轴，

则|PF₂|＝＝，

于是|PF₁|＝2a－|PF₂|＝2×5－＝，故选A.

4.(2012·海淀二模)已知点F₁，F₂是椭圆x²＋2y²＝2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是(C )

A．0  B．1

C．2  D．2

解析：由于O为F₁、F₂的中点，

则|＋|＝2||，

而当P为短轴端点时，||取得最小值1，

所以|＋|的最小值为2，故选C.

5.(2012·重庆市第二次七区联考)椭圆x²＋my²＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的三倍，则m的值为 .

解析：由题意得＝3×1，所以m＝.

6.(2012·广东省潮州市上学期期末)直线x－2y＋2＝0经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为 .

解析：由直线方程知椭圆的焦点为(－2,0)，顶点为(0,1)，则b＝1，c＝2，所以a＝＝，所以e＝＝.

7.(2012·广东省肇庆第一次模拟)短轴长为，离心率e＝的椭圆的两焦点为F₁，F₂，过F₁作直线交椭圆于A，B两点，则△ABF₂的周长为 6 .

解析：由题知，即，

解得，

由椭圆的定义知△ABF₂的周长为4a＝4×＝6.

8.设F₁，F₂分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F₂的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F₁到直线l的距离为2.

(1)求椭圆C的焦距；

(2)如果＝2，求椭圆C的方程．

解析：(1)设椭圆C的焦距为2c.

由已知可得F₁到直线l的距离为c＝2，

故c＝2.所以椭圆C的焦距为4.

(2)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．由题意知y₁<0，y₂>0.

直线l的方程为y＝(x－2)．

联立，得方程组，

消去x，得(3a²＋b²)y²＋4b²y－3b⁴＝0，

解得y₁＝，y₂＝.

因为＝2，所以－y₁＝2y₂，

即＝2×，得a＝3.

而a²－b²＝4，所以b＝.

故椭圆C的方程为＋＝1.

9.(2012·广东省江门市第一次模拟)已知椭圆C的中心在原点，长轴在x轴上，经过点A(0,1)，离心率e＝.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线l_n：y＝(n∈N^*)与椭圆C在第一象限内相交于点A_n(x_n ,  y_n)，记a_n＝x，试证明：对?n∈N^*，a₁·a₂·…·a_n>.

解析：(1)依题意，设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，

则，解得，

所以椭圆C的方程为＋y²＝1.

(2)由，得x＝，

a_n＝x＝，

所以a₁·a₂·…·a_n＝×××…×＝>.