高考轻松突破600分：数学篇

下面我们先分析一下2013年的高考：

一、2013年高考数学试题评析

今年高考结束快一个月了，我重点考查了几套较典型的高考试卷，发现有如下一些规律：

1.整体难度有所下降

绝大多数高考试卷的难度与往年相比呈下降趋势，特别是中低档题的数量和分值都大大增加。这应该是一种好的导向。

压轴题的难度大大降低，不再是“废题”模式。

很多省份今年出现满分，也说明了这个特点。

下面我们先看一下北京卷的选择题。

例1.（2013北京高考理科数学试题，第一部分，选择题 共40分）

1.已知集合A={－1，0，1}，B={x|－1≤x＜1}，则A∩B=  (     )

A.{0}     B.{－1，0}

C.{0，1}  D.{－1,0,1}

2.在复平面内，复数(2－i)²对应的点位于(    )

A.第一象限      B. 第二象限

C.第三象限      D. 第四象限

3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x＋φ)过坐标原点的”

A.充分而不必要条件      B.必要而不充分条件

C.充分必要条件          D.既不充分也不必要条件

4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为

A.1       B.  2/3   C. 13/21    D.610/987

5.函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y=e^x关于y轴对称，则f(x)=

A.     B.   C.    D.

6.若双曲线 的离心率为，则其渐近线方程为

A.y=±2x    B.  C.    D.

7.直线l过抛物线C:x²=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于

A.4/3    B .2   C.8/3   D.

这些基本是在送分，大多数题目都可以一眼看出答案来。如果有高二的同学，你可以粗略浏览一下，看这几个题目中有没有题目是没有思路或感觉困难的？

再看看选择题的压轴题。这个 压轴题是以线性规划为背景。前面的题目主要是概念及运算等基础知识，这个压轴题的难点在于一个参数m.

8.设关于x,y的不等式组  表示的平面区域内存在点P(x₀，y₀)满足x₀－2y₀=2，求得m的取值范围是

A.     B. C.   D.

 

分析：与一般线性规划问题的不同在于不是求最优解，而是改变了问题的呈现形式，难点是区域中含有参数，关键是如何利用条件列出不等式（组）求m的范围。这个题没有让你求最优解，只是用了一元二次不等式组表示的区域这个知识点，看你能不能正确理解和表示。注意后两个不等式转化成直线是x=-m和y=m。要想高考突破600分，数学突破120分，基础最重要，绝对不可忽视。

解析：要使条件中的平面区域存在，点必须在直线的右下方.

若区域内存在点P(x₀，y₀)满足x₀－2y₀=2，则点必须在直线x－2y=2的右下方，

所以得，解得

答案为C.

点评：像这种填空题的压轴题，只要能够灵活运用所学知识是不难解决的。

说明：虽然大多数高考数学试题难度呈下降趋势，但也有个别省份的试题较难。

2.难点呈三点式分布

难题一般有3个，即选择题、填空题和解答题各有一题。选择题和填空题的压轴题，若能掌握好的数学思想和解题方法，往往不难突破。注意这里我说的是“掌握好数学思想和方法”，不是随便就能突破的。有些试卷这三个题都难度相当大，得分很困难，如果山东卷、安徽卷、全国Ⅰ卷。

但也有的试卷呈多点分布，典型的如安徽卷，其特点是试卷“好题连连，精彩不断”，考生“处处受阻，得分困难”，像这种由很多“好题”凑成的试卷其结果必然是总体难度偏高。题目确实很吸引人，做为平时练习相当不错，但用来考试有点为难考生。填空题从第3题开始就处处设障，让人感觉不太轻松，到第8，9，10题，没有好的基本功则就只能靠猜想了。填空题的第14，15题，也是很不容易。解答题的最后两题估计非常多的考生连思路都没有。

但这种试卷不具有代表性，估计下一年肯定会做大的调整。

下面这个是第8题，选择题一共10个。这种题如果不掌握一定的数学思想和方法，是无从下手的。这里有两个东西我们要掌握好，一是转化，二是数形结合。

例2. (2013年安徽卷理8)函数的图像如图所示，在区间上可找到上不同的数，使得，则n的取值范围是

(A)        (B)

(C)       (D)

答案：B

解析：设，则,

所以每个是函数的图像与直线的交点的横坐标，故题目就是说的图像与直线有个不同交点.

结合图形可知，n可能的取值为2，3，4，所以答案为B.

点评：像这种题命题者可能认为“一望便知”，但对学生来说却是有相当难度，解答的关键是合理转化.若对转化与化归、数形结合思想掌握得较好，则结果确实是“一望便知”.

例3（2013年广东卷理8）.设整数n≥4，集合X=｛1，2，3，…，n｝.令集合S=｛(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件恰有一个成立，若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列选项正确的是

A.(y，z，w)∈S，(x，y，w)?S      B.(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S

C. (y，z，w)?S，(x，y，w)∈S     D. (y，z，w)?S，(x，y，w)?S

分析：直接解答难度较大，可考虑取特例. 这就是在600分这本书的第二步讲到的东西。

解析：取∈S，则∈S，因为和都不成立，所以必有 ，即 .所以 成立， 成立，所以答案为B.

点评：本题综合性较强，涉及到二次函数、对数函数、不等式和绝对值等，间接涉及一次函数、导数、图象的变换、幂函数和对数函数的增长规律之间的关系等。

以上两例说明，在选择题和填空题中若遇到难题，要注意数形结合、特例法、排除法等特殊方法的使用，以及转化与化归、方程思想、数形结合思想等思想方法的应用，这些方法在《高考轻松突破600分·数学》中都有专门的详细讲述。

3.试卷结构保持稳定

每个省份的试卷都保持了以往的格式，题目的类型、数量基本没有变化，只是考点分布和排列顺序有些小的微调，这与以往差别不大。

这种稳定性给我们提分提供了一定的便利，详情可参考《高考轻松突破600分·数学》.

4.题目类型稳中求变，注重创新和数学思想方法的应用

题目解法以基本的通性通法为主，只要掌握平时学过的常规方法就能得到大部分分数。可以毫不夸张地说，只要掌握了《高考轻松突破600分·数学》中那100多个考点，基本上可以保证数学在120分以上。如果对后面的难点和陷阱问题仔细研究一番，再结合《6小时快速提高高考成绩》等书中的技巧，其实得130分以上也是很轻松的事情。

但也有一些灵活运用或创新性的问题，如上面举的几个例子。在那里，可以充分体现出灵活运用的重要性。再举一例。

例4（2013年全国卷Ⅰ理11）已知函数若| f(x)|≥ax，则a的取值范围是(　　)

A.（－∞，0]        B.（－∞，1]       C.[－2，1]       D.[－2，0]

解析：画出函数

 和 的图象如图所示.

由图可知， a的最小值为 在x ＝0处切线的斜率，即 .当a=0 时显然符合要求，当a>0 时，由幂函数和对数函数的增长特性可知，当 x足够大时，一定会有 ，所以 不能大于0.综上可知，答案为D.

点评：

本题综合性较强，涉及到二次函数、对数函数、不等式和绝对值等，间接涉及一次函数、导数、图象的变换、幂函数和对数函数的增长规律之间的关系等。

也有一些推陈出新的题目，如：

例5(2013年全国Ⅰ卷理20)已知圆M：(x＋1)²＋y²=1，圆N：(x－1)²＋y²=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线 C

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.

解：略。

说明：

1.由动圆与定直线或定圆相切求轨迹方程问题是非常古老的问题，一般用圆锥曲线的定义解决，但这里仍然会考；

2.第一问的答案要注意排除 ，这是一个易错点；

3.第2问凭直觉当圆P的半径最长时，点P应该在x轴上，即为（2，0）点，但理论根据是什么？这很可能被忽视从而会被扣掉步骤分。这可由得到。

4.本题的另一个易错点是忽略斜率不存在的公切线的长度。

本题是一道推陈出新的好题，所以那些精典的老问题不容忽视。

二、高考如何轻松突破120分

总分突破600分，具体到数学就是要突破120分，这是按80%的比例折算的。

对于有一定基础的同学（平时能考80分以上的），可以直接使用我编写的《高考轻松突破600分·数学》一书，对于基础较差的同学（平时60分左右或更低），建议你使用我写的《高考数学轻松突破120分》（分文理）。这个更基础，知识点更细，题目更基础。

如果你想数学突破120分，只要按照《高考轻松突破600分·数学》这本书给你指引的路子走就可以了。

本书分五步，我们叫做“圆梦五步曲”：

第一步， 揭秘高考规律

我们经过对高考试题进行多方面的分析，发现高考有着非常强的规律性，这一点我们前面曾做过分析。本书第一步，通过揭示高考的高考的关键性秘密，让你利用最少的时间产生最大的收益。

说明：本步所揭示的秘密，要在后面的各个步骤中才能得以体现。

第二步，揭秘高考题型

数学高考试题一般包括选择题、填空题和解答题三种题型，每一种题型都有一些特殊的解题方法和突破技巧。掌握这些方法和技巧，对于提高解题速度和准确度、以及突破难题十分重要。

前面几个例题的解法，充分说明掌握一些特殊解题方法的重要意义。

今年我辅导的一个高三学生，据他讲，他的老师竟然把这些重要的内容给略过了，没有讲，所以他老是出现考试时顾前顾不了后，顾后又顾不了前的状况。虽然我后来给补上了，但由于时间太短，没有训练纯熟，所以还不能用得得心应手。

这些内容在大多数高三资料上都是放在最后才讲，我们放到第二步来讲，就是想让你尽早的掌握，以便在平时就能去应用，到高考时就可以用得非常熟练了。

第三步， 必考知识点点拨

数学考试说明中规定了200个左右的知识点，也就是平时所说的考点。研究发现，每个考点的考查频率和考查难度有着巨大的差别。从频率上看，有的是每年必考，有的是两三年才考一次，还有些是从来不考。从难度上看，有些只考查最基本的东西，而有些则要求很高，经常出拔高题甚至压轴题，对能力要求也较高。因此，如果我们平均用力，就会把自己搞得很累却始终不见成效。俗话说，好钢使在刀刃上，只有有针对性的复习才是智者所为。我们从所有考点中精选了122个考点（文科110个），对你进行针对性极强的训练，让你直达目标，迅速提分。

基本上来说，完成这一步平时考试达到120就应该不是什么难事了。

第四步，难点突破

这一步是在第三步的基础上，对某些要求较高的考点进一步进行强化和巩固。与第三步相比，这里更强调解题技巧的训练和各种能力的提升。

注意：我们的目标是突破120分，而不仅仅是达到120分，我们的目标应该是首先突破120分，然后冲击高分，直到满分！

另外，对于偏科的同学来说，在优势学科上多得些分数，可以弥补弱科的失分，所以仍然能够完成总分600分的目标。

第五步，跳出陷阱

很多题我们不是不会做，但却经常出现“一看就会，一做就错”的现象。这种情况就是命题人在设计试题时埋下的陷阱。丢掉会做题的分数是最为令人惋惜的事情。在高考中，陷阱常常有，但却并不是每遇陷阱必丢分。这就是我们都有一定的识别能力。但不同同学识别陷阱的能力有高有低，提高这一能力需要进行必要的训练。这一步我们对经常出现的陷阱予以曝光，让你有先见之明，在陷阱面前应对自如，不再丢分。

三、2014复习建议

1.基础知识一定要全面：可以参考我整理的资料《高中数学基础知识汇编》，里面包括了高中数学新课标教材全部的公式、定理、定义等，还增加了一些解题必备的补充内容。

注：本资料较早的版本可在网上搜索到，最新版本在宽高学习网上可以下载（收费）。

2.基本方法要熟练：高考试题中使用常规方法直接可解的题目占到80%以上，另外的题目也大多可以通过转化与化归等数学思想和方法归结为常规方法来解，即使那些技巧性较强或者一些创新性的问题，也是通过常规方法发展演变来的。

高中数学解题方法基本上没有新方法，只有见过与没见过，想到与没想到。

对基本方法光会是不够的，一定要熟练才行。要注意多积累，已经掌握的方法要做到一看便知，应用准确。如求 一看就知道用错位相减，并知道错位相减法的操作过程，以及结果的检验方法等。

3.数学思想不可少

很多人学数学有很大的盲目性，特别是解数学题，完全是凭感觉，运气好碰对了就能解出来，运气不好就没招了。其实，数学中有许多有用的思想和方法，如转化与化归、一般与综合、方程思想、换元法、构造法等，这些知识对于我们提高解题能力十分重要，尤如汽车的方向盘、盲人的手杖，它既是给你指引正确路线的必要工具，也是在你遇到困难时，使你走出困境的得力助手。

这些方法我在《数学是怎样学好的》一书中有详细的讲述，在视频课程《16堂课玩转高中数学》中做了专门讲解，在《高考抢分36计》和《6小时快速提高高考成绩》两本书中又做了重点讲述。

4.进行有针对性的复习

可以按照《高考轻松突破600分》的指导，在全面复习的前提下，进行有针对性的重点复习，重点是那100多个考点，一定不能有不到位的地方。

5.要学会考试

会解题不等于能得分，要注意学习考试技巧。

网上有高材生介绍经验时，总结出一句话：“学习是一种投资，考试是一种投机”，虽说不一定十分准确，但也有一定的道理。

会做的题要做起来又快又对，在保证不丢分的前提下能够节约出尽量多的时间去啃硬骨头。

快而不对，等于不会；对而太慢，高分无缘。

这些技巧，请参考《6小时快速提高高考成绩》。总之，好的复习方法最重要的有三点：一是，保证基础知识的掌握；

二是，保证基本方法的熟练；

三是，适当掌握必要的数学思想和方法，以及考试技巧。

互动交流的总结：函数看上去很难，其实也就那么几个点。一旦抓住了规律，一般的题就难不住了。要想考到120分以上，光基本的就足够了。如果想要在120分以上再突破，就可以把本省的连着几年的高考题的压轴题汇总到一块儿做。逐个突破，成绩也肯定会有一个大的突破的。许永忠老师整理得《高中数学基础知识汇编》，可以说是一册在手，高考不用愁。而且这本电子书是新课标地区的都可以用啊。

孩子做题慢的时候，一定要利用假期或周末，把典型的问题彻底搞清楚。可以找人辅导，关键自己要主动。

数学三角函数常考的重点主要有三个：一是y=Asin(wx+φ)模型

                          二是正余弦定理

三是和差角公式的应用

主要是前两个，可以看我的书上的分析

平面向量的6大问题线性计算、数量积、夹角、平行、垂直问题和模长问题