2015年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
()设是数列,下列命题中不正确的是()
(A)若,则
(B)若,则
(C)若,则
(D)若,则
【答案】(D)
【解析】
数列收敛，那么它的任何无穷子列均收敛，所以A与C正确；一个数列存在多个无穷子列并集包含原数列所有项，且这些子列均收敛于同一个值，则原数列是收敛的。B正确，D错,故选D
(2)设函数在内连续,其2阶导函数的图形如右图所示,则曲线的拐点个数为()
(A)(B)(C)(D)
【答案】()
【解析】不存在的点或的点处产生。所以有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性改变的点；二阶导函数符号发生改变的点即为拐点。所以从图可知，拐点个数为2，故选C.
(3)设,函数在上连续,则()
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】(B)【解析】
所以，选B。
(4)下列级数中发散的是()
(A)(B)
(C)(D)
【答案】(C)【解析】，所以根据正项级数的比值判别法收敛；B为正项级数，因为，根据级数收敛准则，知收敛；C，，根据莱布尼茨判别法知收敛，发散，所以根据级数收敛定义知，发散；D为正项级数，因为，所以根据正项级数的比值判别法收敛，所以选C。
(5)设矩阵,.若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为：()
(A)(B)
(C)(D)
【答案】(D)
【解析】，
(6)设二次型在正交变换下的标准形为，其中，若则在正交变换下的标准形为()
(A)(B)
(C)(D)
【答案】(A)
【解析】由，故.且
.
所以。选（A）
(7)若为任意两个随机事件,则:()
(A)(B)
(C)(D)
【答案】(C)
【解析】由于，按概率的基本性质，我们有且，从而，选(C).
(8)设总体为来自该总体的简单随机样本,为样本均值,则()
(A)(B)
(C)(D)
【答案】(B)
【解析】根据样本方差的性质，而，从而，选(B).
二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
(9)【答案】【解析】
(10)设函数连续，若则
【答案】【解析】连续，所以可导，所以；
因为，所以
又因为，所以
故
(11)若函数由方程确定，则
【答案】【解析】，时带入，得。
对求微分，得
把，，代入上式，得
所以
(12)设函数是微分方程的解，且在处取得极值3，则
【答案】【解析】，特征根为，，所以该齐次微分方程的通解为，因为可导，所以为驻点，即
，，所以，，故
(13)设3阶矩阵的特征值为，其中E为3阶单位矩阵，则行列式
【答案】
【解析】的所有特征值为的所有特征值为
所以。
(14)设二维随机变量服从正态分布，则
【答案】
【解析】由题设知，，而且相互独立，从而
.
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分分)
.若与在时是等价无穷小，求的值.
【答案】
【解析】法一：
因为，，
那么，
，
可得：，所以，．
法二：
解：由题，得
由分母，得分子，求得c；
于是
由分母，得分子
，求得；
进一步，b值代入原式
，求得
(16)(本题满分分)
，其中
【答案】
【解析】
(17)(本题满分分)
为该商品的需求量，为价格，MC为边际成本，为需求弹性.
证明定价模型为；
若该商品的成本函数为，需求函数为，试由（I）中的定价模型确定此商品的价格.
【答案】(I)略(II).
【解析】(I)由于利润函数,两边对求导，得
.
当且仅当时，利润最大，又由于,所以,
故当时，利润最大.
(II)由于,则代入(I)中的定价模型，得,从而解得.
(18)(本题满分分)在定义域上的导数大于零，若对任意的，曲线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4，且，求表达式.
【答案】
【解析】曲线的切线方程为，切线与轴的交点为
故面积为：.
故满足的方程为,此为可分离变量的微分方程,
解得，又由于，带入可得，从而
(19)(本题满分分)可导，利用导数定义证明
（II）设函数可导，，写出的求导公式.
【答案】
【解析】（I）
（II）由题意得
(20)(本题满分分)
，且.
求的值；
(II)若矩阵满足，其中为3阶单位矩阵，求.
【答案】
【解析】
(I)
(II)由题意知
，
(21)(本题满分分)相似于矩阵.
求的值；
（II）求可逆矩阵，使为对角矩阵.
【答案】
【解析】(1)
的特征值
时的基础解系为
时的基础解系为
A的特征值
令，
(22)(本题满分11分)
的概率密度为
对进行独立重复的观测,直到第2个大于3的观测值出现时停止，记为观测次数
(I)求的概率分布；
(II)求.
【】，；
(II).
【】为观测值大于3的概率，则，
从而，
为的概率分布；
(II)将随机变量分解成两个过程,其中表示从到次试验观测值大于首次发生，表示从次到第试验观测值大于首次发生.
则
，
所以
.
(23)(本题满分11分)的概率密度为
其中为未知参数，为来自该总体的简单随机样本.
(I)求的矩估计量；
(II)求的最大似然估计量.
【答案】(I)；
(II).
【解析】(I)，
令，即，解得为的矩估计量；
(II)似然函数，
当时，，则.
从而，关于单调增加，
所以为的最大似然估计量.
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