l代入=一4(y一1)得
3+4+12(b一1)=0，②
IcI=√l+(÷一．
由IADI=2IBCI，得I一I=
2I一cI．所以(4)+16(b+1)：
4[(丢)：一16(b—1)]．
解得6=÷，代入①得
=一2，=_．10
而在曲线X2=4(y一1)(y>0)中，横坐
标的范围是(一∞，一2)u(2，+∞)．所以这
样的直线l不存在．
暖暖高考方法在线
1．(2003年全国高考题)已知常数口>0，
在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，0为AB的
中点．点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且
器==器，P为铅与0F的交氘问是否
存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定
值?若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不
存在，请说明理由．
●曹思才
2．是否存在双曲线同时满足下列两个条
件：①原点0为焦点，直线=1为相应准线；
②弦A被直线+Y=0垂直平分，且
IAI=2．若存在，求它的方程；若不存在，
说明理由．
答案：
1．P(，)，)的轨迹方程Tx2+=1．
2
(1)当口=÷时，点P的轨迹为圆弧，不
存在符合题意的两点．
(2)当口≠÷时，点P轨迹是椭圆弧，P
到两焦点距离和为定值．
①若口<÷时，P到两焦点
(±√一a2,a)距离和为定值②若a2>
÷时，P到两焦点(o，口±√一号)距离和为
定值2口．
2．存在，双曲线方程为
3一’，2—8+4=0．
圆锥曲线中的最值问题
圆锥曲线及圆中的最值(取值范围)问题
综合性强，解法灵活，因此是数学高考的热点
之一．本文通过对一些典型试题的求解，介绍
这类问题的几种常用解题策略．
1．利用曲线的定义、几何性质及平面几何
知识
这是求最值的一条基本的有效的思路．
例1(1987年全国理科)定长为3的线段
AB的两个端点在抛物线=上移动，记线段
AB的中点为胞求点到Y轴的最短距离，并
求此时点的坐标．
·9·
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解：抛物线的焦点为F(1
，O)，准线为
=一寺设A()，t)，()，2)，M(xt)，，)’则
由抛物线的定义知IAFI=l+I，IBFI=|=2
+}所以点M到)，轴的距离为
．+，IAFI+IBFIl
—一——■一—---r
≥一÷=÷
当弦船过焦点F时，上式取等号．
由船轴，可设A：=my+_．I代人，，2
=得一my一I=0．知)，l+Y2=m，l+
：=m(y+y2)+1=+I=5
，m=±
所以当点肘为(÷，±譬)时，，血=5．
例2(2ooi年新课程卷)设o<0<，
曲线x2ain0+COSO=1和x2cosO—y~sinO=
1有4个不同的交点．
(I)求0的取值范围；
(1I)证明这4个交点共圆，并求圆半径的
取值范围．
解：(I)因为0∈(o，)，所以椭圆和双
曲线有4个不同的交点甘√>
伽>sinO~O∈(o，寻)．(II)~8
证．
例3(2002年春季全国)已知某椭圆的
焦点是F(一4，O)、(4，O)，过焦点并垂直
于轴的直线与椭圆的一个交点为B，且
IFlBI+II=10．椭圆上不同的两点A(l，
，，1)、C(2，y2)满足条件：IAI，IF2BI，
IF2Cl成等差数列．
·1O·
(I)求该椭圆的方程：
(Ⅱ)求弦AC中点的横坐标；
(Ⅲ)设弦AC的垂直平分线的方程为，，=
+rig，求m的取值范围(理科做)．
解：(I)由椭圆定义及条件知
2a=IFlBI+lBI=10，得口=5．
又c=4，所以6=口一c=9．
故椭圆方程为+=I·
(Ⅱ)由点B(4，Ys)在椭圆上，得
II：II：9
．由椭圆定义得IF2AI：
e(a2
一
1
)=口一el=5一4
l，IF2CI=5一
：．因为IF2AI，Il，IcI成等差数列，
所以10一4(+
：)：2×詈，+：=8．故
弦Ac中点的横坐标为号(+戈：)=4．
(Ⅲ)设弦AC的中点为P(4，Yo)，
由嘉=9x255,，
得9(一22)+25(d一)，22)=0，
eli9()+25()()=
O(l≠9；2)．
_4’=，=
一-~-(k≠o)代入上式，得
9×4+25y0(一亡)=o(k≠o)·
所以：(当：0时也成立)．所以(当=时也成立)·
由点P(4，Yo)在弦AC的垂直平分线上，得
y0=4k+，，I，所以，，I=y0—4k=Yo一，，o=
一百
16，，o．由P(4，y0)在线段胎(与关于譬
轴对称)的内部．得
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一
95
，所以一孚
2．运用数形结合思想
善于观察所求代数式的结构特征，恰当构
造一个曲线模型，是求最值的一条不可忽视的
思路．
例4(1990年全国文科)如果实数、Y
满足等式(一2)+)，2=3，那么上的最大值
是．
解：上的几何意义是圆(一2)5+=3
上任一点P与坐标原点0连线的斜率．当OP
与圆相切于第一象限内的点时，
(÷)一=tan／_POx
：一垒一：
一()
例5(2OOO-ff-~-m)椭圆等+=1的
焦点为FI、，点P为其上的动点．当FlP
为钝角时，点P横坐标的取值范围是——．
解：当，1为直角时，点P又在圆+
)，2：5上，由两条曲线方程解得Xp：±故
当F。P为钝角时，却的取值范围是
，33、
＼一5’5，
3．运用方程思想
当两条曲线有交点时，可先消元，然后利用
二次方程有实根的充要条件(判别式△≥0)及
其实根的性质，求出相关参数的最值．这是重
要思路之一．
例6(1997年全国理科)设圆满足：①截
Y轴所得弦长为2；②被轴分成两段圆弧，其
弧长的比为31．在满足条件①、②的所有圆
中，求圆心到直线Z：一2y=0的距离最小的
田的方程．
解：设圆心为P(口，6)，半径为r．分别由条
件①、②得,-2=gg2+1，r2=2b，
所以2b一口=1．点P到Z的距离为d=
，所以口一26：±，
0
口=46±4drffd&+5d5．
又因为口=2b一1，
所以2b±46+5,／5+1=0．由于这个
关于b的二次方程有实根，所以
厶=8(5d2一I)≥0，
5d5≥1
，L：
此时，解方程2b±4b+2=0，得
b=±1．从而口=±而=±1，
r2=2b。=2．
由I口一26I=1知口，b同号．故所求圆的
方程是(一1)+(Y一1)=2
或(+1)+(Y+1)=2．
例7(2002年全国卷理科)设点P到点
(一1，0)、N(1，O)距离之差为2m，到轴、Y
轴距离之比为2．求m的取值范围．
解：设点P(，，，)，则点P在直线=2，
即Y=±(≠0)上．因此，
0
2，所以0
m
-L=1上．把直线方程代人双曲线方程，解
l—m’
得=
因为茹≠0，所以>0，1—5m2>0，
解得ImI<综上得m的取值范围为
(一．0)U(0，)．
例8同例2．
解：(I)交点(，，，)满足
，28in0+，，2c080=1，
【xZcos0一yZsin0=1，
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lip{．：8n+cos0,
ty-=cos0一sin0．
有4个不同交点等价于l：>0，
ty">0．
1ipsinO+c0。0>0·
tcos0一sinO>0．
因为0∈(0，詈)，所以0∈(0，子)．
(Ⅱ)由(I)可知4个交点共圆+，，2=
2cos0(0∈(0，手))，半径r=∈(o，
手))∈(，．
4．利用不等式
若所给问题涉及到两个参数，则用待求参
数表示已知参数，再由已知参数的取值范围列
出关于待求参数的不等式，解不等式即得待求
参数的取值范围．这是一种常用方法．
例9(2oo1年春季北京、内蒙古、安徽卷
理科)已知抛物线，，2=2p~(p>0)，过动点
(口，0)且斜率为1的直线Z与该抛物线交于
不同的两点A、B．1ABI≤21,．
(I)求口的取值范围；
(Ⅱ)若线段AB的垂直平分线交轴于点
^，．求ANAB面积的最大值．
解：(I)Z的方程为，，=一口，
即=)，+口，代人=2得
，，2—2py一2pa=0．
设A(x。，)，。)、B(x2，y2)，则
l脑l_
=·
=·~／—4p2+—Spa
=2~／2p(p+2a)．
因为0
所以0<~／2p(p+2a)≤P．
解得一号<口≤一}
(Ⅱ)设线段AB的中点为Q(，，，o)，则
·12·
，，l十y2
，，o丁p,xoYo+口P+口．
所以IQNI=IQMI=(P+口一口)+
(P一0)=21,．
s一=÷1．IQNI=ABI≤
·2p=．
故(s舢)～=．
例l0同例5．
解：由椭圆定义得
IPFll=e(却+a2)=口+P=3+P，
IPl=2a—IPFlI=3一P．
当FlP为钝角时，cos／_FlP<0．由
余弦定理可得；
3√s3√s、
5’5’
5．运用函数思想
将所求最值转化为目标函数的最值，然后
利用代数方法(函数的单调性法、重要不等式
法、导数法等)来解决．这也是重要思路之一．
例ll(1999年上海理科)设椭圃C。的方
程为手+舌=l(口>6>0)，曲线c2的方程为
，，=÷，且cl与C2在第一象限内只有一个公共
点P．
(1)试用口表示点P的坐标；
(2)设A、是椭圃C。的两个焦点，当口变
化时，求AABP的面积函数S(口)的值域；
(3)记minlyl，Y2，…，)，。}为)，l，Y2，…，，，。
中最小的一个．设a(a)是以椭圃C。的半焦距
为边长的正方形的面积，试求函数口)=
min{g(口)，s(口)}的表达式．
解：(1)将c2的方程代人C。的方程，化简
得62一口62+cl2=0．
由条件得厶=a4b‘一4a6=a2b(a2b一
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4)=o，所以口6=2·解方程得=±负值
舍去)，故点P的坐标为(老，譬)．
(2)因为Il_2c=2
口√卜，
所以s(口)=1IA1．)，
P
=(-一)．
因为口>6>o，6=，所以口>，
即口>，所以O<4
，
口
函数(口)的值域为(0，．
(3)g(口)：c2：2—6：：口：一，解不等
式g(口)≥s(a)，得口≤舍去)，或口≥
故口)=rain{g(口)．S(口)l
●潘成兴
f口2一(<口<，
I口≥
例12同例6．
解：由原解得，5cf2=I口一2bI=n2+46
一4ab≥口+4b一2(n2+b)=2b一口=1，
当且仅当
．r口=6，
【2b一口：1．
即口：6：±l时，d：
此时r2=2b=2．下同原解．
例13(1987年全国理科)若抛物线Y=
4x上的点P到直线Y=4x一5的距离为最短，
则点P的坐标为——．
解：由Y=8x=4，得=÷，
从而Y=1，故填(÷，1)．
例谈圆锥曲线离心率范围的求禳对策
离心率是圆锥曲线中的一项重要内容，它
是描述曲线形状的重要参数．求离心率的范围
关键在于建立与离心率有关的不等式．本文就
如何建立不等关系求离心率范围作一点探讨，
供大家参考．
一
、利用曲线中变量的变化范围建立不等
式求解
．．
2．
例1已知椭圆c：+=l(口>b>
口O
O)，F．、F2是左、右焦点，如果C上存在一点
Q(，Y)，使F。Q=6o。，求离心率e的取值
范围．
解：由焦半径公式得
IQFlI=口+e，IQI=口一e，
代人余弦公式(2c)=IQF。I+IQF2I一
2IQFlllQIcos60。，
化得：：簪：．
但Q(，)，)在曲线上，应0≤<2，从而
·l3·
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