已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn且满足a1+a5=frac{2}{7}a

【专题】等差数列与等比数列．

【分析】（Ⅰ）根据已知条件建立方程组，通过解方程求出首项和公差，进一步求出数列的通项公式．
（Ⅱ）首先利用叠加法求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求数列的和．

【解答】解：（Ⅰ）法一：设正项等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，a_n＞0
则

a1+a1+4d＝ 2 7 (a1+2d)2 7a1+21d＝63

，
得

a1＝3 d＝2

∴a_n=2n+1
法二：∵{a_n}是等差数列且a1+a5＝

2

7

a32，∴2a3＝

2

7

a32，
又∵a_n＞0∴a₃=7．…（2分）∵S7＝

7(a1+a7)

2

＝7a4＝63∴a4＝9，
∴d=a₄-a₃=2，∴a_n=a₃+（n-3）d=2n+1．   
（Ⅱ）∵b_n+1-b_n=a_n+1且a_n=2n+1，
∴b_n+1-b_n=2n+3
当n≥2时，b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=（2n+1）+（2n-1）+…+5+3=n（n+2），
当n=1时，b₁=3满足上式，b_n=n（n+2）
∴

1

bn

＝

1

n(n+2)

＝

1

2

(

1

n

1

n+2

)

∴Tn＝ 1 b1 + 1 b2 +…+ 1 bn1 + 1 bn ＝ 1 2 [(1? 1 3 )+( 1 2 1 4 )+( 1 3 1 5 )…+( 1 n1 1 n+1 )+( 1 n 1 n+2 )]

=

1

2

(1+

1

2

1

n+1

1

n+2

)＝

3

4

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)．