2015年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量检测
高三理科数学
一、选择题：二、填空题：
（11）【答案】.（12）【答案】（13）【答案】.
（14）【答案】.（15）【答案】③④.
三、解答题：
（16）(本题满分12分)
设函数，其中向量，．
(Ⅰ)求函数的最小正周期和在上的单调递增区间；学科网
(Ⅱ)中，角的对边分别为，且，求的取值范围．
【命题意图】本题考查平面向量、三角函数等等相关知识，考查学生运算能力和运用知识的能力，题.
解：(Ⅰ)
及
得在[0，π]上单调递增区间为．………………6分
(Ⅱ)，
………………9分
当C=时， ………………………12分
（17）(本题满分12分)
某程序每运行一次都随机一个五位的二进制数，其中的各位数字中，，为0和1的概率分别和．记，当程序运行一次时：
（Ⅰ）求的概率；
（Ⅱ）求的分布列和数学期望．
【命题意图】本题考查随机变量的分布列与期望等基础知识，考查学生应用知识解决问题的能力，题.
解：（Ⅰ）已知，要使， 只须后四位数字中出现2个0和2个1
（Ⅱ）的取值可以是1，2，3，4，5， 6分
，，，，
的分布列是
1 2 3 4 5 P ……………12分
（另解：记，，）
（18）（本小题满分12分）
如图，三棱中，两两垂直，，分别是的中点，过作平面，平面与侧棱相交于，与侧棱的延长线分别交于点，且．
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)求二面角的余弦值．
命题意图本题考查空间线面的位置关系，考查空间想象能力和运算能力，中等题．
(Ⅰ)，
； …6分
(Ⅱ)以为坐标原点，分别为正半轴，建立空间直角坐标系，
则,,,,,，
二面角二面角垂直知，故的法向量可以取，
设的法向量，则有
，
令得，，
所以二面角的余弦值．（Ⅱ）．（）（本题满分1分）
已知函数，．
（Ⅰ）若函数有极值，求实数的值；
（Ⅱ）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围．
【命题意图】本题考查导数与不等式的应用，考查学生运算能力、推理思维能力和解决具体问题的能力，题.
（Ⅰ），，
当时，，在上单减，无极值，
当时，在上单减，在上单增，
由题，，故；
（Ⅱ），，
由题，对恒成立，
时，，故对恒成立，
记，则，
故在上单减，又，所以．
（）（本小题满分1分）
如图，椭圆与抛物线有公共的焦点．点为椭圆与抛物线准线的交点之一，过向抛物线引切线，切点为，且点都在轴的右侧．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）证明：直线是椭圆的切线．
【命题意图】本题考查椭圆、抛物线的方程与性质，考查利用导数求曲线切线的方法，考查学生运算能力、分析问题的能力，题.
（Ⅰ）由题，抛物线的准线为，
代入椭圆得点，
抛物线即，，
设点，则切线，
将点代入上式，得：，
即，即，
由于点在轴的右侧，所以点，
从而，
故；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得直线，即，
，
整理得：，即，
该方程有两个等根，故直线是椭圆的切线．
注：本题若有学生利用抛物线、椭圆的光学性质完成正确解答，请酌情给分．
（2）（本小题满分1分）
已知数列中，，且．
（Ⅰ）若，，求的通项公式；
（Ⅱ）若，，求证：当时，．
【命题意图】本题考查，考查学生应用知识解决问题的能力，题.
（Ⅰ），，，，
由累乘法得：；
（Ⅱ）法一：，，，，，
当时，由知不等式成立；
假设时，，那么：
，
要证，只需证，
即证，
而，故时不等式仍然成立，
综上，当时，．
（Ⅱ）法二：，，，由于，
所以，，，于是时有：，
当时，，即，
于是：，
令，，
相减得：，
所以．
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