恒成立不等式中分离参数的后续手段初探
傅建红
（浙江省衢州市第二中学
３２４０００
）
我们知道，对于含参数恒成立不等式中的参
数范围问题，常常通过分离参数的方法，将参数范
围问题转化为无参函数的最值问题来解决
．
而在
求函数最值时，又往往会借助导数工具
．
笔者在高
三复习教学中了解到，对于分离参数这一手段，学
生大多能够很好地理解并掌握，但对于分离参数
之后该怎么做则不甚了然，尤其是在导函数很复
杂，无法解出其零点的情况下，更是让大部分学生
束手无策
．
这一难点在大多数的函数与导数综合
题中普遍存在
．
那么该如何突破这一难点呢？下面
让我们以
２０１１
年高考新课标全国卷（理）的一道
试题为例来说明
．
题目
已知函数
ｆ
（
ｘ
）
＝
ａｌｎｘ
ｘ＋１
＋
ｂ
ｘ
，曲线
ｙ
＝ｆ
（
ｘ
）在点（
１
，
ｆ
（
１
））处的切线方程为
ｘ＋２ｙ－
３＝０．
（
１
）求
ａ
，
ｂ
的值；
（
２
）如果当
ｘ
＞
０
且
ｘ
≠
１
时，
ｆ
（
ｘ
）
＞
ｌｎｘ
ｘ－１
＋
ｋ
ｘ
，求
ｋ
的取值范围
．
思路分析
由题意可轻松解决第（
１
）问，得
ａ＝ｂ＝１．
以下主要针对第（
２
）问进行探讨
．
由题
意可知，不等式
ｆ
（
ｘ
）
＞
ｌｎｘ
ｘ－１
＋
ｋ
ｘ
对任意
ｘ
＞
０
，
且
ｘ
≠
１
恒成立，代入
ｆ
（
ｘ
）并分离参数后即得：
不等式
－ｋ＋１＞
２ｘｌｎｘ
ｘ
２
－１
对任意
ｘ
＞
０
，且
ｘ
≠
１
恒成立
．
所以，
－ｋ＋１＞
２ｘｌｎｘ
ｘ
２
－（）１ｍａｘ
，因此，我们
只需将不等式右边构造为一个函数，求出它在
ｘ
＞
０
，且
ｘ
≠
１
上的最大值，即可使问题获解
．
１
构造，求导
构造函数
ｇ
（
ｘ
）
＝
２ｘｌｎｘ
ｘ
２
－１
（
ｘ
＞
０
且
ｘ
≠
１
），
则接下来的常规思路是：求导
→
求极值点（考虑
ｇ′
（
ｘ
）的零点）
→
求单调区间（考虑
ｇ′
（
ｘ
）的正
负）
→
根据单调区间画出
ｇ
（
ｘ
）的大致图象
→
观
察图象求
ｇ
（
ｘ
）的最大值
．
求导得
ｇ′
（
ｘ
）
＝
２
［（
ｘ
２
－１
）
－
（
ｘ
２
＋１
）
ｌｎｘ
］
（
ｘ
２
－１
）
２
，困惑的是其零点无
法解出！至此，我们遇到了分离参数后的第一个麻
烦：导数零点不可求
．
那该怎么办呢？显然，我们已
经不能通过常规的解不等式手段来判断
ｇ′
（
ｘ
）的
正负，那么，有没有其他办法判断
ｇ′
（
ｘ
）的正负
呢？
２
再构造，再求导
我们知道，求导函数的目的是为了研究原函
数的单调性，进而求出原函数的取值范围
．
因此，
我们要知道
ｇ′
（
ｘ
）的正负，只要知道
ｇ′
（
ｘ
）的范
围，而要知道
ｇ′
（
ｘ
）的范围，只要知道的
ｇ′
（
ｘ
）单
调性，而要知道
ｇ′
（
ｘ
）的单调性，只要知道其导函
数［
ｇ′
（
ｘ
）］
′
的正负即可
．
所以，我们此时的方法就
是对
ｇ′
（
ｘ
）再次求导，即通过二阶导数的正负判
断出一阶导数的单调性，根据一阶导数的单调性
求出一阶导数的范围，再由范围确定其正负
．
想法
是有了，能否顺利实施呢？实际操作时我们发现，
ｇ′
（
ｘ
）很复杂，此时若贸然求导必将陷入无比繁
琐的境地，更别说判断其正负了
．
至此，我们遇到
了分离参数后的第二个麻烦：二阶导数不易求
．
那
么此时我们又该怎么办呢？
其实，我们求二阶导数［
ｇ′
（
ｘ
）］
′
的目的只是
想知道一阶导数
ｇ′
（
ｘ
）的正负，既然如此，我们可
以不必对
ｇ′
（
ｘ
）进行整体求导，只考虑
ｇ′
（
ｘ
）中
正负未定的部分，而把
ｇ′
（
ｘ
）中正负已定的部分
提取出来
．
因此，我们此时的方法是：对
ｇ′
（
ｘ
）重
组，再构造，再求导（有时需要多次构造多次求
导）
．
在
ｇ′
（
ｘ
）
＝
２
［（
ｘ
２
－１
）
－
（
ｘ
２
＋１
）
ｌｎｘ
］
（
ｘ
２
－１
）
２
中，
分母是正数，只需考虑分子的正负，但对分子直接
求导后依然正负难判（须多次求导方可判断），原
因是分子中所含有的（
ｘ
２
＋１
）
ｌｎｘ
项增加了求导
的难度，考虑到
ｘ
２
＋１
也是正数，因此可以把它提
取出来之后再进行求导（对函数
ｙ＝ｌｎｘ
来说，提
取其系数之后再求导是常用手段）
．
重组后得
ｇ′
（
ｘ
）
＝
２
（
ｘ
２
＋１
）
ｘ
２
－１
ｘ
２
＋１
－ｌｎ
（）
ｘ
（
ｘ
２
－１
）
２
，构造函数
ｈ
（
ｘ
）
＝
ｘ
２
－１
ｘ
２
＋１
－ｌｎｘ
（
ｘ
＞
０
，且
ｘ
≠
１
），则
ｈ′
（
ｘ
）
·
３５
·
２０１２
年第
６
期
中学数学月刊
摭谈高中数学探究性教学策略的运用
陈建斌
（江苏省启东中学
２２６２００
）
高中阶段数学教学中，如何有效激发学生探
索数学的“潜能”和“欲望”，实现探究实践能力的
显著提升，需要教育工作者的共同努力和探索
．
本
文介绍笔者在教学中引导学生进行探究的一些做
法
．
１
新知教学中要体现灵活性，激发学生探究的
欲望
学生在学习活动中，对单一的、强制的、呆板
的教学方式，内心会产生对立和消极情绪，学生的
学习情感，包括探究实践情感在内的积极性受到
压制和影响
．
这就要求教师成为学生主动建构意
义的帮助者、促进者，教师要摸准新知教学的切入
点和关键点，通过形式多样的教学方式，使学生在
轻松愉悦的教学活动氛围中主动参与探究实践活
动
．
如在新授“三角函数”时，教师根据本课教学
目标，采用情境导入、讨论交流、师生探究的方式，
设置问题
檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪
：
＝
４ｘ
（
ｘ
２
＋１
）
２
－
１
ｘ
＝
－
（
ｘ
２
－１
）
２
ｘ
（
ｘ
２
＋１
）
２
＜
０．
所以，
ｈ
（
ｘ
）
在（
０
，
１
）和（
１
，
＋∞
）上均为单调递减
．
又
ｈ
（
１
）
＝
０
，所以在（
０
，
１
）上
ｈ
（
ｘ
）
＞
０
；在（
１
，
＋∞
）上
ｈ
（
ｘ
）
＜
０
，即当
ｘ
∈
（
０
，
１
）时，
ｇ′
（
ｘ
）
＞
０
；当
ｘ
∈
（
１
，
＋∞
）时，
ｇ′
（
ｘ
）
＜
０．
至此，我们终于知道了
ｇ
（
ｘ
）
的单调性：当
ｘ
∈
（
０
，
１
）时，
ｇ
（
ｘ
）单调递增；当
ｘ
∈
（
１
，
＋∞
）时，
ｇ
（
ｘ
）单调递减，所以我们需求
ｌｉｍ
ｘ→１
ｇ
（
ｘ
）
．
结果我们发现
ｌｉｍ
ｘ→１
ｇ
（
１
）是“
０
０
”的未定
式，运用高中的数学知识根本无法处理
．
至此我们
又遇到了分离参数后的第三个麻烦：函数极限为
“
０
０
”
．
此时又该怎么办呢？
３
求极限
要解决这个问题，就必须用到洛必达法则，它
是解决未定式“
０
０
”和“
∞
∞
”极限的强有力的工具，
尽管洛必达法则属于高等数学的范畴，但由于其
规则简单，功能强大，对高中生来说掌握它的应用
要领并不困难，这样不仅可以让学生在解题过程
中多一种选择，而且可以拓展学生的解题思维，开
阔其眼界
．
由洛必达法则得
ｌｉｍ
ｘ→１
ｇ
（
ｘ
）
＝ｌｉｍ
ｘ→１
２ｘｌｎｘ
ｘ
２
－１
＝
ｌｉｍ
ｘ→１
（
２ｘｌｎｘ
）
′
（
ｘ
２
－１
）
′
＝ｌｉｍ
ｘ→１
２ｌｎｘ＋２
２ｘ
＝１．
故
－ｋ＋１≥１
，即
ｋ
≤
０
，所以
ｋ
的取值范围
是（
－∞
，
０
］
．
通过上述例题的探讨，我们发现，在解决含参
恒成立不等式中的参数范围问题时，尽管分离参
数法是常用方法，但如果我们不能很好地掌握分
离参数之后的后续手段，则仍会在后面的解题过
程中麻烦不断、困难重重，使分离参数法的优势
“黯然失色”
．
相反，我们一旦掌握了这些方法，则
分离参数法所具有的方向明确、过程易控、思路清
晰、操作简便等优势就能得到充分的发挥，成为解
决这类问题时的首选方法
．
需要特别提醒的是，在
利用分离参数法构造新函数时，很可能会遇到新
构造的函数的结构比原来的函数还要复杂的情
况，这时，就需要我们坚定信念，相信自己，不轻易
放弃，只要我们能灵活运用上述方法，相信多数问
题都能迎刃而解
．
演练身手
（
１
）（
２０１１
年浙江理科卷改编）设函数
ｆ
（
ｘ
）
＝
（
ｘ－ａ
）
２
ｌｎｘ
（
ａ
∈
Ｒ
），求实数
ａ
的取值范围，使
得对于任意的
ｘ
∈
（
０
，
３ｅ
］，恒有
ｆ
（
ｘ
）
≤
４ｅ
２
成立
．
（
２
）（
２０１０
年全国新课程标准理科卷改编）设
函数
ｆ
（
ｘ
）
＝ｅ
ｘ
－１－ｘ－ａｘ
２
，若当
ｘ
≥
０
时，
ｆ
（
ｘ
）
≥
０
，求
ａ
的取值范围
．
（
３
）（
２００７
年全国卷
Ⅰ
理科改编）设函数
ｆ
（
ｘ
）
＝ｅ
ｘ
－ｅ
－ｘ
，若对所有
ｘ
≥
０
，都有
ｆ
（
ｘ
）
≥
ａｘ
成立，求实数
ａ
的取值范围
．
（参考答案：（
１
）
３ｅ－
２ｅ
槡ｌｎ３ｅ
≤
ａ
≤
３ｅ
；（
２
）
ａ
≤
１
２
；（
３
）
ａ
≤
２
）
·
４５
·
中学数学月刊
２０１２
年第
６
期
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