保定学院学报2010年第3期
收稿日期：2009－11－25
作者简介：高焕江（1963－），男，河北沧州人，副教授.
摘要：在数学建模中常常用数列的递推公式求数列通项，由递推公式求数列通项既可考查等
价与化归数学思想，又能加深考生对等差与等比数列的理解，因而这类题目在高考和数学竞赛中经
常出现.故以一阶线性递推数列的通项公式为基础，推导出二阶线性递推数列的通项公式.
关键词：数列；递推公式；通项公式
中图分类号：O122.7文献标识码：A
二阶线性递推数列的通项公式
高焕江
（邢台医学高等专科学校数学教研室，河北邢台054000）
2010年5月保定学院学报May,2010
第23卷第3期JOURNALOFBAODINGUNIVERSITYVol．23No．3
文章编号：1674-2494（2010）03-0034-04
引理1若数列{a
n
}的递推公式为a
n+1
=pa
n
+q（p≠0），则有
1）当p=1时，a
n
=a
1
+（n-1）q；
2）当p≠1时，a
n
=（a
1
-
q
1-p
）p
n-1
+
q
1-q
.
证明1）当p=1时，数列{a
n
}是公差为q的等差数列，此时a
n
=a
1
+（n-1）q；
2）当p≠1时，令a
n+1
+α=p（a
n
+α），则有a
n+1
=pa
n
+α（p-1）．
将此式与a
n+1
=pa
n
+q比较，得α（p-1）=q，从而α=
q
p-1
．
设b
n
=a
n
+α，则b
1
=a
1
+α=a
1
+
q
p-1
，且b
n+1
=pb
n
，从而{b
n
}是首项为a
1
+
q
p-1
，公比为p的等比数列，故b
n
=b
1
p
n-1
=
（a
1
+
q
p-1
）p
n-1
，于是a
n
=b
n
-α=（a
1
-
q
1-p
）p
n-1
+
q
1-p
.
从以上推导过程可以看出，当递推公式a
n+1
=pa
n
+q中的参数p、q为复数时，结论仍然成立．
1二阶齐次线性递推数列的通项公式
定理1
[1]
若二阶齐次线性递推数列的递推关系为a
n+1
=pa
n
+qa
n-1
，其中p≠0，q≠0，则有
1）当p
2
+4q=0时，a
n
=a
1
β
n-1
+（n-1）（a
2
-βa
1
）β
n-2
，其中β=
q
2
；
2）当p
2
+4q>0时，a
n
=（a
1
-
a
2
-αa
1
β-α
）·α
n-1
+
a
2
-αa
1
β-α
·β
n-1
，其中α=
p-p
2
+4q
姨
2
，β=
p+p
2
+4q
姨
2
；
3）当p
2
+4q<0时，a
n
=（a
1
-
a
2
-αa
1
β-α
）·α
n-1
+
a
2
-αa
1
β-α
·β
n-1
，其中α=
p-i-p
2
-4q
姨
2
，β=
p+i-p
2
-4q
姨
2
.
证明令a
n+1
-αa
n
=β（a
n
-αa
n-1
），则有a
n+1
=（α+β）a
n
-αβa
n-1
．
将此式与已知递推公式a
n+1
=pa
n
+qa
n-1
比较，有
α+β=p，
αβ=-q
[2]
姨
.
1）当p
2
+4q=0时，此方程组有唯一一组实数解α=
p
2
，β=
p
2
，此时数列{a
n+1
-αa
n
}是首项为a
2
-αa
1
，公比为β的
等比数列，从而a
n+1
-αa
n
=（a
2
-αa
1
）β
n-1
．
上式两边同除以β
n+1
，得
a
n+1
β
n+1
-
a
β
·
a
n
β
n
=（a
2
-αa
1
）
1
β
2
，但由于
a
β
=1，故有
a
n+1
β
n+1
-
a
n
β
n
=（a
2
-αa
1
）
1
β
2
．
令b
n
=
a
n
β
n
，则{b
n
}是公差为（a
2
-αa
1
）
1
β
2
的等差数列，故b
n
=b
1
+（n+1）（a
2
-αa
1
）
1
β
2
，从而
a
n
=a
1
β
n-1
+（n+1）（a
2
-αa
1
）β
n-2
=a
1
β
n-1
+（n-1）（a
2
-αa
1
）β
n-2
．
2）当p
2
+4q>0时，方程组有两组实数解．取其一组解作为α、β的值：α=
p-p
2
+4q
姨
2
，β=
p+p
2
+4q
姨
2
．显然有
β-α≠0，
a
β
≠1，则数列（a
n+1
-αa
n
）是首项为a
2
-αa
1
，公比为β的等比数列，从而a
n+1
-αa
n
=（a
2
-αa
1
）β
n-1
．
上式两边同除以β
n+1
，得
a
n+1
β
n+1
-
a
β
·
a
n
β
n
=（a
2
-αa
1
）
1
β
2
.
令b
n
=
a
n
β
n
，则b
n+1
=
a
β
b
n
+（a
2
-αa
1
）
1
β
2
.
这个递推公式已经符合前面所讨论过的“a
n+1
=pa
n
+q”类型，且β-a≠0，
a
β
≠1，由引理1得
b
n
=［b
1
-
a
2
-αa
1
β（β-a）
］（
a
β
）
n-1
+
a
2
-αa
1
β（β-a）
，从而a
n
=（a
1
-
a
2
-αa
1
β-a
）·α
n-1
+
a
2
-αa
1
β-a
·β
n-1
．
3）当p
2
+4q<0时，方程组无实数解，但有两组复数解．取其中一组复数解作为α、β的值：α=
p-i-p
2
-4q
姨
2
，
β=
p+i-p
2
-4q
姨
2
．显然β-α≠0，
α
β
≠1，按照与2）相同的步骤也可推出a
n
=（a
1
-
a
2
-αa
1
β-a
）·α
n-1
+
a
2
-αa
1
β-a
·β
n-1
．此时
推得的通项公式与2）中推出的通项公式形式上完全相同，只不过此式中的α、β是复数而已．
作为以上结论的应用，看如下2个求数列通项的例子．
例1数列{a
n
}中a
1
=1，a
2
=1，a
n+1
=a
n
+a
n-1
（n≥2），求它的通项公式a
n
．
解令a
n+1
-αa
n
=β（a
n
-αa
n-1
），变形为a
n+1
=（α+β）a
n
-αβa
n-1
．将此式与a
n+1
=a
n
+a
n-1
比较，有
α+β=1，
αβ=-1
1
.
取α=
1-5
姨
2
，β=
1+5
姨
2
，代入前面推得的公式，并注意到β-α=5
姨
，a
2
-αa
1
=β，a
1
-
a
2
-αa
1
β-a
=-
α
5
姨
，得
a
n
=-
α
5
姨
·α
n-1
+
β
5
姨
·β
n-1
=
1
5
姨
（β
n
-α
n
）=
1
5
姨
1+5
姨
2
11
n
-
1-5
姨
2
11
n
nn．
例2数列{a
n
}中a
1
=1，a
2
=2，当n≥2时a
n+1
=a
n
-a
n-1
，求它的通项公式a
n
．
解令a
n+1
-αa
n
=β（a
n
-αa
n-1
），变形为a
n+1
=（α+β）a
n
-αβa
n-1
．
将此式与a
n+1
=a
n
-a
n-1
比较，有
α+β=1，
αβ=1
1
.
此方程组无实数解，取其一组复数解作为α、β的值：α=
1-3
姨
i
2
姨
，β=
1+3
姨
i
2
姨
，代入前面推出的公式，并
注意到β-a=3
姨
i，αβ=1，
a
2
-αa
1
β-a
=α，a
1
-
a
2
-αa
1
β-a
=β，得a
n
=βα
n-1
+αβ
n-1
=αβ（α
n-2
+β
n-2
）=α
n-2
+β
n-2
=
1-3
姨
i
2
11
n-2
+
1+3
姨
i
2
11
n-2
=2cos
（n-2）π
3
．
高焕江：二阶线性递推数列的通项公式
35
保定学院学报2010年第3期
2二阶非齐次线性递推数列的通项公式
定理2若二阶非齐次线性递推数列的递推关系为a
n+1
=pa
n
+qa
n-1
+A，其中p≠0，q≠0，A≠0，则有：
1）若p+q=1，则当q=-1时，a
n
=a
1
+（n-1）（a
2
-a
1
）+
1
2
（n-1）（n-2）A；当q≠-1时，a
n
=a
1
+（a
2
-a
1
-
A
1+q
）·
1-（-q）
n-1
1+q
+（n-1）·
A
1-q
．
2）若p+q≠1，则当p
2
+4q=0时，a
n
=（a
1
+λ）β
n-1
+（n-1）［a
2
+λ-β（a
1
+λ）］β
n-2
-λ，其中β=
p
2
，λ=
A
p+q-1
.
当p
2
+4q>0时，则有
a
n
=［a
1
+λ-
a
2
+λ-α（a
1
+λ）
β-α
］·α
n-1
+
a
2
+λ-α（a
1
+λ）
β-α
·β
n-1
-λ，
其中α=
p-p
2
+4q
姨
2
，β=
p+p
2
+4q
姨
2
，λ=
A
p+q-1
.
当p
2
+4q<0时，则有
a
n
=［a
1
+λ-
a
2
+λ-α（a
1
+λ）
β-α
］·α
n-1
+
a
2
+λ-α（a
1
+λ）
β-α
·β
n-1
-λ，
其中α=
p-i-p
2
-4q
姨
2
，β=
p+i-p
2
-4q
姨
2
，λ=
A
p+q-1
.
证明1）若p+q=1，且q=-1，则有p=2，此时递推关系为a
n+1
=2a
n
-a
n-1
+A，变形为a
n+1
-a
n
=a
n
-a
n-1
+A，令b
n
=a
n+1
-
a
n
，则b
n
=b
n-1
+A，数列{b
n
}是公差为A的等差数列，故b
n
=b
1
+（n-1）A，从而a
n+1
-a
n
=（a
2
-a
1
）+（n-1）A，于是
a
n
=a
1
n-1
k=1
Σ
（a
k+1
-a
k
）=a
1
+
n-1
k=1
Σ
［（a
2
-a
1
）+（k-1）A］=a
1
+（n-1）（a
2
-a
1
）+
1
2
（n-1）（n-2）A；
若p+q=1，且q≠-1，则令a
n+1
+λa
n
+μ=k（a
n
+λa
n-1
+μ），即有
a
n+1
=（k-λ）a
n
+λka
n-1
+μ（k-1）.
此式与a
n+1
=pa
n
+qa
n-1
+A比较，得
k-λ=p，
λk=q，
μ（k-1）=A
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
.
此方程组在q≠-1时存在实数解：λ=-1，k=-q，μ=-
A
q+1
．
故数列{a
n+1
-a
n
+μ}是首项为a
2
-a
1
+μ、公比为-q的等比数列，即a
n+1
-a
n
=（a
2
-a
1
+μ）（-q）
n-1
-μ，于是
a
n
=a
1+
n-1
k=1
Σ
（a
k+1
-a
k
）=a
1
+
n-1
k=1
Σ
［（a
2
-a
1
+μ）（-q）
k-1
-μ］=
a
1
+（a
2
-a
1
+μ）·
1-（-q）
n-1
1+q
-（n-1）μ=
a
1
+（a
2
-a
1
-
A
1+q
）·
1-（-q）
n-1
1+q
+（n-1）·
A
1+q
.
2）若p+q≠1，则令a
n+1
+λ=p（a
n
+λ）+q（a
n-1
+λ），变形为a
n+1
=pa
n
+qa
n-1
+λ（p+q-1），此式与a
n+1
=pa
n
+qa
n-1
+A比
较，得λ=
A
p+q-1
．
令b
n
=a
n
+λ，则有b
n+1
=pb
n
+qb
n-1
．此即转化为二阶齐次线性递推数列的形式，应用二阶齐次线性递推数列通
项公式，如下：
当p
2
+4q=0时，b
n
=b
1
β
n-1
+（n-1）（b
2
-βb
1
）β
n-2
，从而
a
n
=b
n
-λ=（a
1
+λ）β
n-1
+（n-1）［a
2
+λ-β（a
1
+λ）］β
n-2
-λ，
其中β=
p
2
，λ=
A
p+q-1
.
当p
2
+4q>0时，b
n
=（b
1
-
b
2
-αb
1
β-α
）·α
n-1
+
b
2
-αb
1
β-α
·β
n-1
，从而
36
a
n
=［a
1
+λ-
a
2
+λ-α（a
1
+λ）
β-α
］·α
n-1
+
a
2
+λ-α（a
1
+λ）
β-α
β
n-1
-λ，
其中α=
p-p
2
+4q
姨
2
，β=
p+p
2
+4q
姨
2
，λ=
A
p+q-1
.
当p
2
+4q<0时，b
n
=（b
1
-
b
2
-αb
1
β-α
）·α
n-1
+
b
2
-αb
1
β-α
·β
n-1
，从而
a
n
=［a
1
+λ-
a
2
+λ-α（a
1
+λ）
β-α
］·α
n-1
+
a
2
+λ-α（a
1
+λ）
β-α
β
n-1
-λ，
其中α=
p-i-p
2
-4q
姨
2
，β=
p+i-p
2
+4q
姨
2
，λ=
A
p+q-1
．
作为上述结论的应用，看如下求数列通项的例子．
例3数列{a
n
}中，a
1
=1，a
2
=2，当n≥2时a
n+1
=2a
n
+3a
n-1
-4，求数列通项a
n
．
解应用上面推出的二阶非齐次线性递推数列通项公式：p=2，q=3，A=-4，满足p
2
+4q=16>0，且α=
p-p
2
+4q
姨
2
=-1，β=
p+p
2
+4q
姨
2
=3，λ=
A
p+q-1
=-1，注意到a
2
+λ-α（a
1
+λ）=1，β-α=4，代入公式，得
a
n
=［a
1
+λ-
a
2
+λ-α（a
1
+λ）
β-α
］·α
n-1
+
a
2
+λ-α（a
1
+λ）
β-α
·β
n-1
-λ=1+
1
4
［3
n-1
+（-1）
n
］．
3结语
本文以一阶线性递推数列的通项公式为基础，运用分类讨论、待定系数、变量替换、等价化归等方法，分
别推出了二阶齐次线性递推数列的通项公式和二阶非齐次线性递推数列的通项公式，并举例说明它们在求
递推数列通项公式时的应用.与同类文献相比，不同点是比较完备地推出了具体的线性递推数列的通项公
式，而不是仅指出其推导路径.有文献认为，对于较为复杂的递推数列的通项公式并无通式通法
[3]
.实际上，
只要对递推数列适当分类，有些递推数列是可以求出其通项公式的，至少对一阶线性递推数列和二阶线性递
推数列是这样.本文对三阶及三阶以上线性递推数列尚未涉及.
参考文献：
［1］陶兴模．数学复习课的基本策略［J］．数学通报，2005，44（4）：29-34.
［2］劳建祥．递推数列求通项大观［J］．数学教学，2005（3）：41-42.
［3］徐成瑞．几类一阶递推数列的通项公式的求法［J］．安顺学院学报，2008，10（2）：78-79.
GeneralTermFormulaofSecond-OrderLinearRecurrenceSequence
GaoHuanjiang
(TeachingInstituteofMathematics，XingtaiMedicalCollege，Xingtai054000，China)
Abstract:Seekingthegeneraltermformulathroughtherecurrenceformulaofasequenceisoftenusedin
mathematicalmodeling,itnotonlyexaminesequivalenceandtransformingthoughtbutalsomakesdeeplyunderstand
arithmeticandgeometricsequencebetter,sosuchtopicsisoftenappearedincollegeentranceexaminationandmathematics
competition.Thispaperhasderivedthegeneraltermformulaofsecond-orderlinearrecurrencesequencewhichisbasedon
thegeneraltermformulaoffirst-orderlinearrecurrencesequence．
Keywords:sequence;recurrenceformula;generaltermformula
高焕江：二阶线性递推数列的通项公式
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