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抛物线综合题参考答案（简略版）
By：两把刷子
已知，在平面直角坐标系中，抛物线223yxx????与x轴交于A、B（A在B的左侧）两点，与y轴
交于点C，点D是该抛物线的顶点。
基础条件：(10)A?，，(30)B，，(03)C，，(14)D，，AC:33yx??，CD:3yx??。
（01）在坐标平面内存在点W使得以B、C、D、W为顶点的四边形是平行四边形，求点W的
坐标。
解析：关于平行四边形的分类讨论问题只需按照对角线的配对来具体分类即可，在求值时注意使用中点坐标
公式来加以解决，因此有1(41)WBDC????，，2(21)WBCD?????，，3(27)WCDB?????，。
如果使用熟练无需画图即可轻松解决此类问题（有时动点涉及两个及以上，此方法亦可以解决，只需
建立横纵坐标方程），但在答题时注意按照规范要求书写。
（02）在抛物线上存在点E使得BCEBCDSS???，求点E的坐标。
解析：坐标系中的面积法的最简作法是使用“宽高公式”，只需以确定的两点的横坐标差为水平宽，两个函数
解析式之差的绝对值为铅垂高即可。显然本题两个三角形的水平宽是相同的，所以只需使得铅垂高相
等即可。设2(23)Eeee???，，作0EEx?轴交BC于点0E，则0(3)Eee??，，因此
2123431732122eeeee????????、，，)21712173(???，E、)21712173(2???，E、
)32(3，E、)41(4，E.
（03）在抛物线上恰好存在三个点F使得BCFSk??，求k的值及点F的坐标。
解析：首先解读本题题意，存在三个点F即是说明在直线BC上方抛物线上只存在一个点F（因为直线BC
下方抛物线上一定存在两个点F），上方只存在一个点F等价于此时的F使得BCFS?最大。借用（2）
问的方法知直线BC上方抛物线上使BCFS?最大，只需使得铅垂高最大即可，设2(23)Ffff???，，
易知铅垂高223993()244fff????????，因此BCFS?的最大值即19273248k????，
1315()24F，
，
2
另外的F的横坐标为29304ff???的解，读者可自行解答。
（04）在抛物线上存在点G使得以B、C、D、G为顶点的四边形为梯形，求点G的坐标。
解析：梯形的分类讨论是按照动点分别与其余三点依次配对后和剩下两点构成的直线平行即可。即分：
//GBCD，//GCBD，//GDBC三种情况；而具体求解点的坐标时宜采用三角函数的方式建立
方程来解决，这样做的好处是可以绕过求解直线解析式以及直线与抛物线联立方程的过程，且建立的
方程一般可以约分为一次方程，因此此法比较简单。
本题解答如下：设2(g2g3)Gg???，，①//GBCD时，223tan112
3ggOBGggg????????????
即
(25)G??，；②//GCBD时，211cottan423232gDBOGCOgggg????????????即(45)G?，；
③//GDBC时，过G作0//GGx轴，2
0423tantan111ggDGGCBAgg???????????
,因此(23)G，.
（05）点H为x轴上一点，且使ACH?是等腰三角形，求点H的坐标。
解析：等腰三角形的分类讨论标准是顶角的顶点；求值过程一般采用三线合一、三角函数、算两次、距离公
式或勾股定理。本题解答如下：①12(1100)(1+100)ACAHHH?????，，，；
②3(10)CACHH??，；③4(40)HAHCH??，，此问用三角函数或射影定理为最佳作法。
（06）在抛物线线上存在点I，使得ACI?是以AC为直角边的直角三角形，求点I的坐标。
解析：直角三角形的分类讨论标准显而易见是直角顶点，求值上等价于增加直角条件后的作法，具体为优先
考虑射影定理，其次考虑三角函数，再次考虑相似，以上方法均不行时考虑用勾股定理。本题解答如
下：①0
2790tan323IIICIIIxxACICAOxyyxx???????????
；②090CAI???tanACO?
2231103
133IIIIIIAIyxxxxxxx????????????
.
（07）在线段BC上是否存在点J，使得以B、O、J为顶点的三角形与ABC?相似，求点J的坐标。
解析：相似三角形问题的分类讨论一般仅存在两种情况，因为题目中的两个三角形必有一组一定相等的角。
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本题属于两个三角形是内含关系的，分平行和仿A相似两种情况，解答如下：①//OJACtanJOB??
3334JJ
J
xxx??????；②3tan21JJ
J
xBOJACBBOJxx???????????.第②种情况也可以先求
BJ长度，然后再求其坐标，但结合①选择三角函数解计算最佳。
（08）点K在抛物线对称轴上且使得KAKC?的值最大，点L在抛物线对称轴上，过点L任作不与x轴平
行的直线l交抛物线于M、N两点，若KMN?的内心始终在抛物线对称轴上，求点L的坐标。
解析：显然(16)K，，KMN?的内心始终在抛物线对称轴上，只需KL平分MKN?即可。设(1)Lt，，直
线MN解析式为：(1)ykxt???，与抛物线联立得到：2(2)30xkxkt??????；韦达定理知
2MNxxk???，3MNxxkt?????，因此11tantan066NM
MN
xxMKLNKLkxktkxkt??????????????
化简得到：2(26)(+)22120MNMNkxxtkxxkt????????，消去两根得到：(2)0tk??，显然k为变量，
从而2t?即(12)L，为所求。我们发现此法运算上非常复杂，有没有简洁的算法呢？之所以运算量大的
原因在于抛物线解析式和直线解析式都相对复杂，因此我们可以通过平移将抛物线和直线解析式变简
单。解答如下：将直线与抛物线向左平移1个单位，再向下平移4个单位，因此K坐标变为(02)，，
抛物线解析式变为2yx??，L坐标变为(0)t，，直线MN变为ykxt??，与抛物线联立得到：
20xkxt???；韦达定理知MNxxk???，MNxxt??，因此tantan0
22NMMNxxMKLNKLkxtkxt???????????
化简得到：2(2)(+)0MNMNkxxtxx????，消去两根得到：(2)tk??，显然k为变量，从而2t??即
(02)L?，，向右平移1个单位，再向上平移4个单位可得本题(12)L，为所求。
（09）点P是抛物线对称轴上一点，若对于抛物线上的任意一点Q，都满足点Q到直线174y?的距离等于
线段PQ的长度，求点P的坐标。
解析：鉴于第（8）问平移的作法更为简单，我们继续沿用此方法快速解决此问。解答如下：将直线与抛物
线向左平移1个单位，再向下平移4个单位，抛物线解析式变为2yx??，P点坐标变为(0)p，，
4
直线174y?变为14y?，设2()Qqq?，，所以有222221()()4qqqp????，显然14p??，从而本
题所求的点P的坐标为15(1)4，.
（10）在（09）的条件下，过点P任作一直线m与抛物线交于R、T两点，证明RTPRPT?的值为定值。
解析：既然是在（9）的条件下，那么我们就接着（9）的方法继续解答。解答如下：将直线与抛物线向左平
移1个单位，再向下平移4个单位，抛物线解析式变为2yx??，P点坐标变为1(0)4?，，过点P的
直线为14ykx??，与抛物线联立得到：2104xkx???；韦达定理知RTxxk???，14
RTxx???
，
显然21RTxxk???，易知22222()()11RTRTRTRTxxkxxxxkk??????????，易得
222222221(1)(1)4RRTTRTPRPTxkxxkxxxkk?????????????，由于平移不改变线段长
度，从而平移不会改变RTPRPT?的值，因此本题定值为4.
（11）设直线CD交x轴于点V，作BSx?轴交直线CD于点S，将抛物线沿对称轴上下平移，若平移后
的抛物线始终与线段VS有公共点，求抛物线向上平移和向下平移的最大单位长度。
解析：常规作法：易知(30)V?，，(36)S，；显然当抛物线向下平移最大单位长度后刚好与直线CD有且仅
有一个公共点，判别式法易得最大单位长度为14；易知抛物线向上平移6个单位长度后经过点S，
而向上平移12个单位长度后经过点V，因此向上最多平移12个单位长度。
创新解法：设平移后抛物线解析式为223yxxh?????，问题等价于抛物线与线段3yx??
（33x???）有解，即有2hxx??（33x???），显然1124h???，因此向下平移的最大单位
长度为14，向上平移的最大单位长度为12.
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（12）若点U在线段OC上，且使得13AUCU?最小，求点U的坐标。
解析：本题为线段之和的最值问题的系数变化类型；解决此类问题的核心是通过构造系数为正弦的三角函数
或者构造以系数为相似比的相似三角形来消去系数带来的差异，从而转化为不带系数的线段之和最值
问题，再借用“三字定理”即可解决。本题解答如下：作2OCU?交x轴正半轴于点2U，且使得
21sin3OCU??
，过点U作12UUCU?于点1U，显然有
113AUCUAUUU???
，易知当
1AUU、、三点共线时取得最小值，此时12AUCU?，易得2422OAOU??，即13AUCU?取
最小值时，U的坐标为20
4??????，
.
（13）若点Z是x轴下方抛物线上一点，且使得CBZABD???，求点Z的坐标。
解析：显然CBZABD???为叠角，等价于ABZDBC???，ABZ?为靠轴角，因此可用三角函数予以
解决。首先易证CBD?为直角三角形，1tan3DBC??，所以1tan3ABZ??，设((1)(3))Zzzz???，，
从而有(1)(3)14333zzzz???????，即413
39Z??????-，-
。注意：一般对角的顶点在x轴上的角度使用
三角函数运算时，抛物线上的动点的纵坐标往往用交点式表示，目的是为了便于约分变为一次方程。
（14）设直线3yaxa???与抛物线交于1A、1B两点，若在抛物线上存在定点1C使011190ACB??，求1C到
直线11AB的最大距离。
解析：借鉴（8）、（9）等问的作法知将抛物线和直线平移后会大大降低计算难度，本题可以继续沿用。解答
如下：将抛物线和直线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则抛物线变为21yx???，直线
3yaxa???变为yax?，联立抛物线与直线得到210xax???，设111()Axax，，122()Bxax，，21(1)Ctt??，，
K型相似得22222212
121212122121(1)()(1)()01axttxtaxxtaxxtxxtxxxtaxt????????????????????
；
6
韦达定理知12xxa???，121xx???，所以42220ttatat????对任意实数a均成立，因此0t?，
即定点为1(01)C，，易知直线yax?过定点O(00)，，因此1(01)C，到直线yax?的距离的最大值为11CO?；
由于平移并不改变线段的长度，因此不会改变1C到直线11AB的最大距离，从而本题所求的最大距离
为1。
（15）在抛物线上存在点1D，使得0145ADC??，求点1D的坐标。
解析：注意到045ABC??，因此1(30)D，，是否还有其他点呢，我们作出ABC?的外接圆交抛物线于点1D?，
则0145ADCABC?????，根据抛物线和圆的对称性知1(23)D?，。此问非常简单，并未体现此类问
题的一般考法和解法，读者可尝试求解当0145BDC??时，1D的坐标；如果是030、060呢？
（16）点1E为线段AC上一动点，过1E作11EF平行于AB交BC于点1F，过1F作11FGAB?于1G，求线
段11EG的最小值。
解析：常规解法：设11EFb?，由11CEF?CAB?知
11334FGb??
（高比=底比），因此22
112599162EGbb???
配方得22
1159144144()452525EGb????
，即当
113625EFb??
时，11EG的最小值为125.
创新解法：以OCOB、为临边作矩形2COBF，2AF交11EF于点2E，比例计算易知112EGBE?，
而2BE的最小值显然为2
2
125ABBFAF??，因此11EG的最小值为125.
（17）一束光线从B点发出，先经过y轴上的1H点反射，再经过直线BC上的1I点反射后刚好过坐标原点，
求直线11HI的解析式。
解析：光线问题都是通过对称将折线转化为直线来加以解决的；本题解答如下：设B关于y轴的对称点为
2(30)B?，，点O关于直线BC的对称点为1(33)O，，由反射知识知2B、1O均在直线11HI上，简单计
算知直线11HI的解析式为1322yx??.
（18）将抛物线在坐标平面内任意平移，使得平移后的抛物线与坐标轴都有三个不同的交点，过这三个交点
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作圆，试证明这些圆都经过同一个定点，并求出定点的坐标。
解析：设平移后的抛物线解析式为2yxbxc????，与x轴交于点22AB、，与y轴交于点2C，设过222ABC?
的外接圆与y轴的另一交点为2D，根据圆幂定理可得2222OAOBOCOD???即
21ccOD????
，因
此21OD?，即这些圆都过定点(01)，或(01)?，（注意：当22AB、在y轴异侧时，过定点(01)，；当22AB、
在y轴同侧时，过定点(01)?，）；此题容易出错，大部分学生只能求出其中一个定点，忽视分类讨论。
（19）在抛物线对称轴上存在点1M，使得点1M到直线AC的距离是点1M到直线BC距离的5倍，求
点1M的坐标。
解析：本题为坐标平面内的点到直线距离问题，初中虽不知点到直线的距离公式，但可以通过“斜”转“直”
的思想来加以解决。如何实现“斜”转“直”呢？只需通过确定直线与坐标轴的夹角的余弦值就可以实现。
本题解答如下：显然直线AC与对称轴交于点2(16)M，，直线BC与对称轴交于点3(12)M，；设
1(1)Mm，，易知1106cos610MACdmCABm????????，122cos22MBCdmCBAm????????，所
以10106265101102mmmmm???????????或83m?，即1(11)M，或
18(1)3M，
.
（20）将抛物线沿y轴向上平移若干个单位，设平移后的抛物线与x轴交于1P、1Q两点，点1()N??，是
平移后抛物线上的点，若111PNQ?始终是直角三角形，试探究?的值是否为定值并说明理由。
解析：本题涉及两个模块的处理策略：一是直角用法；二是定值求法。解答如下：设平移后的抛物线解析式
为
11()()PQyxxxx????
，作12NNx?轴于2N，射影知
1122122121()()PQNNNPNQxx????????????
1???（0??舍去），因此?的值为定值。
（21）若点1(0)Kt，是线段BO上的动点，作等腰直角三角形11CKL，01190CKL??,点1L在第一象限，过
B作1BRx?轴交1CL于点1R,试探究11BKR?的周长是否与t有关，并说明理由。
解析：本题为定值类问题，若从代数角度解决此类问题则思路为用t表示11BKR?的周长即可；若从几何角
度解决此类问题思路显然为截长补短。本题虽两种方法皆可，但相比而言几何法乃上选。解答如下：
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过C作11CSBR?于点1T，显然1COBS为正方形，而，根据熟知结论显然有11BKR?的周长等于正方
形1COBS周长的一半即6，命题得以解决。
（22）作ABC?的外接圆，点1T是劣弧AC上的动点，求
11102CTOT?
的最小值。
解析：此题为带系数的几何最值问题，解决策略是构造三角函数或相似三角形（思考：二者如何选择，各有
什么特殊性呢？读者须仔细品味）消去系数的差异转化为“三字定理”的基本模型即可。本题解答如
下：设ABC?的外接圆圆心为1O，易知圆心坐标为1(11)O，，半径为5，在射线1OO上取点2O使
11OTO?121OOT??121102TOOT?，因此11112210=2CTOTCTTOCO???，当12CTO、、共线时
11102CTOT?
取最小值；此时易知1COO?
2121031022OOCCOCO????
，即本题所求最小值
为3102。
（23）作直线yx?交BC于点1V，过点1V任作直线11PQ分别交x轴、y轴于点11PQ、；求解下列问题：
①求11OPQ?面积的最小值；②证明
11OPOQ?
的值为定值；③求
1111
11VPVQ?的最大值。
（24）在射线AC、射线AB上分别有一个动点2M、2N，且226MN?，以22MN为边作矩形2222MNTK，
223MK?，点22TK、与点A在22MN的异侧，求2AK的最大值。
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