信号分析方法概述
时钟波形的两个重要参数是时钟周期和上升时间。
解释1:
解释2: 时域信号的数据传输速率,常用
bps,如100Kbps,指1s内传输了100K bits的二进制数据。即:时域的传输效率。
解释3:
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傅立叶变换
原理
傅立叶变换
分类
根据原信号的不同类型,我们可以把傅立叶变换分为四种类别:
下图是四种原信号图例: 傅立叶级数的五个公式(周期性函数)
时域的信号用f(t)表示,下面介绍这个信号如何转换到频域的表示方法。
1,两个不同三角函数的乘积在[-pi,+pi]上的定积分为0。即正交。
2,两个相同函数的乘积在[-pi,+pi]上的定积分为2Pi或pi. 解释:上图中的x对应傅立叶公式中的时间参数t。pi可对应时间周期T。
首先:我们考虑如何对于 时域信号f(t) 分解出其中的各个子信号(子谐波):AkCosWkt+BkSinWkt。
图中的an就是ak.
2, 就是这个正弦波的相位。
(傅立叶公式3)
傅立叶级数f(t)的另一种表示方式是 复指数形式,它也是最简捷的表达方式。
从上面的f(t)推导出 复指数形式 的过程略,基本思想是利用了欧拉公式e^jx = cos(x) +
jsin(x)
解释:频域分量转成的时域信号都是复信号(含实部与虚部),虽然实际信号都是实的。
实际上信号的传输都用实信号,而接收信号的处理中则使用复信号。
三角函数 运算法则是: ,
从上面的 复指数傅立叶级数公式 中,可以直接得到各子频率分量对应正弦波(谐波)的振幅 和相位。 复指数傅立叶级数公式(傅立叶公式4 ) 可以推导出三角函数形式
傅立叶公式5
这里给出了五种 傅立叶级数f(t)的表示方式,它们都是等价的,并可互相推导出来。 傅立叶积分(非周期性函数)
因为这个函数总可以在时间间隔之外按其本身形状来重复,这里可使用傅立叶级数来计算频谱。而当时间间隔不断增大,在极限情况下就变为傅立叶积分。
振幅谱和相位谱的关系
即相位就是
解释:时域中的相位,与频域中的相位完全不同。
1,频域中完全看不出时间,只有谐波的各 频率、幅值、相位 。这些谐波在
非稳定信号中 可能并不会在所有时间中存在,这是另一个信号处理领域的问题。
2,时域信号中看不出频率,只有各谐波叠加后的信号。
功率谱
代表1欧电阻上的电压,则在此电阻内损耗的平均功率为(An2+Bn2)/2 傅立叶变换推导出:时移原理与频移原理,对偶性质
1,时间移位原理
2,频谱搬移原理
比如:先将一段音乐的离散时间信号做傅里叶变换(FFT),再将得到的频谱向高处搬移,最后做傅里叶反变换(IFFT),恢复到时域,听到的声音会比原来的声调高。
时间-频率
间的对应关系
对应关系1:时间变化速率(即时域信号的变化速率) 与 频谱
呈正比关系
,2A是最大振幅
即:时间变化速率增加,频率也增高了(这点在
上升时间与带宽 关系中也可见)
下面用 矩形脉冲序列 来深入讨论 时间-频率之间的关系。
它的频谱可以表示成
再写成
当函数变化增快(T减小)时,在较高频率范围内所包含的能量所占的比重将增大。
从上图可见,随着脉冲宽度
的减少,信号的频率分量分布的更宽
思考:因为
用脉冲宽度
定义带宽
解释:上面三点其实与 上升时间越小,对应带宽越大
的关系是一致的。
频谱、幅度谱、相位谱、功率谱
傅立叶变换与正交性
周期性函数按上面傅立叶级数的推导方法来得到频谱(以频率Wn为x轴、幅值Cn为y轴)
所以基波频率=时域信号的时钟频率,基波表示时域信号的直流分量。
(角频率与频率之间就是多了个2pi的关系,那么
基波频率就是时域信号的频率
相应于这个最长周期的频率称为基本频率。频率等于基本频率的整倍数的正弦波分量称为谐波。
解释:
在国际单位制中,角频率的单位也是弧度/秒。频率是描述物体振动快慢的物理量,所以角频率也是描述物体振动快慢的物理量。频率、角频率和周期的关系为ω
= 2πf = 2π/t。
周期信号靠傅立叶级数,非周期信号靠傅立叶变换。两个域都有自己的测量工具:时间是示波器,频域是频谱分析仪。而在一个域进行测量,通过换算可求得另一个域的结果。
离散傅立叶变换与抽样:时域的抽样点数与频域点数的关系
具体证明过程如下: 解释:上面说明了,抽样的过程即 周期脉冲信号(抽样信号)与原信号(信息信号) 相乘,产生的结果信号:
即:以
抽样信号的频谱各频率点为中心,每个频率点的上下边带都会保留全部的 原信号频谱 信息。
如抽样速率较大,则抽样信号谐波的频率分量间隔会增大,如上图中的间隔。原信号抽样后,不易发生重叠。
抽样速率不需要越大越好。因为那样带宽太大。并且只需要 一个频率分量的上下边带 就可完全恢复原信号,
2,从抽样点可以得到周期信号
的证明过程如下:
注:抽样点可以是 非周期性 的取得,比如每隔几秒开始抽样也可以。 解释:
1,抽样点的个数*2 =频域中 频率点
的个数(含正频率与负频率)
2,当T=1s时,只需要2B个频谱分量即可恢复原信号,即:抽样后信号,从频域变换到时域后的信息 与
抽样前信号一样。
3,抽样信号的解调
解释:反变换之前是频域,没有时间参数。反变换之后则是时域的连续信号。
采样速率越高或采样点数越多,相当于从频域反变换到时域时得到的谐波越多,叠加后得到的f(t)更像原信号。
傅立叶变换的 思想总结与优点
解释:
解释:
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