三角恒等变换解三角形半期复习题
第Ⅰ卷（共75分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
1．已知，则（）
A. B. C. D.
2．函数的最小正周期为（）
A．B．C．D．
3．已知，则的值是（）
A.-B.C.-D.
4．在锐角△ABC中，下列结论成立的是（）
A、sinA>cosBB、cosA>sinBC、tanA>tanBD、sinA>sinB
5．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为 ()
A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不确定
6．在ABC中，a,b,c三边所对的角为A,B,C，且面积S=(a2+b2-c2)，则角C为（）
A、90oB、60oC、45oD、30o
7．设函数f(x)=sin(+x)sin(-x),若不等式f(x)≥f(x0)对x∈R恒成立,则x0的最小正值为（）
A、B、C、D、
8．，，，是第三象限角，则（）
A． B． C． D．
9．的值为 （）
A．1 B． C．－ D．
10．且则的值是 （）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。请把正确答案填在题中的横线上）
11．在△ABC中，若a=,b=,A=300,则边c=。．
12．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为______km.
13．在△ABC中，有等式：①asinA=bsinB；②asinB=bsinA；③acosB=bcosA；④.其中恒成立的等式序号为_______________。
14．已知，则的值为．
15．在△ABC中,已知2sinAcosB=sinC,那么△ABC一定是三角形。
第Ⅱ卷（共75分）
三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本题满分12分）
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋asinC－b－c＝0.
(1)求A；
(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.
17．（本题满分12分）在中，⑴已知：acosB=bcosA,试判断形状;
⑵求证：。
18．（本题满分12分）在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°，如图所示，向山顶前进100m后，又从B点测得斜度为45°，设建筑物的高为50m．求此山对于地平面的斜度θ的余弦值．
19．（本题满分12分）已知A、B、C的坐标分别是A（3，0），B（0，3），C（cos，sin）．
（1）若，求角的值；（2）若求的值．
20．（本题满分13分）已知α为第二象限角，且求的值．
21．（本题满分14分）已知.
（I）若,求的单调增区间；（II）若时,的最大值为4,求的值；（III）在（II）的条件下,求满足,且的x的集合．
三角恒等变换解三角形半期复习题
参考答案
一、选择题（每小题5分）
1．选D.
＝＝.选A.由可得最小正周期为选C.,，
选B解析由bcosC＋ccosB＝asinA，得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，所以sinA＝1，由0
选.
9．选D．
．
10．选C．.
即,.由及得..．
二、填空题（每小题4分）
11．填2或。【解析】由余弦定理，得a2=c2+b2-2cb·cosA,代入整理得c2-3c+10=0,
∴c=2或
12．答案30解析如图所示，依题意有
AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，
在△AMB中，
由正弦定理得＝，解得BM＝30(km)．
．由得.．
15．等腰三角形。提示:由2sinAcosB=sinC,知2sinAcosB=sin(A+B),
???∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB.???∴cosAsinB-sinAcosB=0.
∴sin(B-A)=0.???∴B=A.
三、解答题
16．解(1)由acosC＋asinC－b－c＝0及正弦定理得sinAcosC＋sinAsinC－sinB－sinC＝0.
因为B＝π－A－C，
所以sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.
由于sinC≠0，所以sin＝.
又0
(2)△ABC的面积S＝bcsinA＝，故bc＝4.
而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.
解得b＝c＝2.
acosB=bcosA。
∴sinAcosB=sinBcosA，即sinAcosB-cosAsinB=0，sin(A-B)=0。
∴A-B=0,A=B，∴为等腰三角形.
(2)证明：左边==-2（）。
由正弦定理，得，故成立。
18．解：在△ABC中，∠BAC＝15°，∠CBA＝180°－45°＝135°，AB＝100m，
所以∠ACB＝30°.
由正弦定理，得＝，即BC＝.
在△BCD中，因为CD＝50，BC＝，∠CBD＝45°，∠CDB＝90°＋θ，
由正弦定理，得＝，
解得cosθ＝－1.
因此，山对地面的斜度的余弦值为－1.
A（3，0），B（0，3），C（cos，sin）,
.-------------------------1分
由得,
所以,,--------------------------3分
.------------------------------------5分
.-------------------------------------7分
（II）由得.
即.-------------------------------------------9分
.------------------------------------10分
.-----------------------------------12分
20．.---------2分
又α为第二象限角，.--------------------------------4分
.--------------------------------6分
且-------------------10分
．-----------------------------13分
21．(I)
．------------------------------------2分
由,--------------------------3分
得．
所以,的单调增区间为:．-------4分
(II),,-----------------------6分
当即时,的最大值为1.
的最大值为.---------------------8分
(III).-----------------------------10分
或.----------------------12分
由已知,,所以,x的集合为.-----------------14分
3
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