17.3.1一次函数的定义
一．选择题（共8小题）
1．下列函数：①y=x；②y=；③y=；④y=2x+1，其中一次函数的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列函数中，一次函数是（）
A．y=8x2 B．y=x+1 C．； D．
3．在地表以下不太深的地方，温度y（℃）与所处的深度x（km）之间的关系可以近似用关系式y=35x+20表示，这个关系式符合的数学模型是（）
A．正比例函数 B．反比例函数 C．二次函数 D．一次函数
4．下列关于x的函数中，是一次函数的是（）
A．y=3（x﹣1）2+1 B．y=x+ C．y=﹣x D．y=（x+3）2﹣x2
5．若y=是一次函数，则m的值为（）
A．0 B．﹣1 C．0或﹣1 D．±1
6．如果y=（m﹣1）x2﹣m2+3是一次函数，那么m的值是（）
A．1 B．﹣1 C．+1 D．±
7．函数，一次函数和正比例函数之间的包含关系是（）
A． B． C． D．
8．下列函数关系式：①y=﹣x；②y=2x+11；③y=x2+x+1；④．其中一次函数的个数是（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共7小题）
9．已知关于x的函数y=（m﹣5）x+m+1是一次函数，则m=_________，直线y=（m﹣5）x+m+1不经过第_________象限．
10．一般的，如果两个变量x与y之间的函数关系式可以表示为_________的形式，那么称y是x的一次函数．当_________时，y是x的正比例函数．
11．若y=（a2﹣4）x2+（a+2）x+5﹣b是正比例函数，则a﹣b=_________．
12．若函数是正比例函数，则常数m的值是_________．
13．已知函数y=（m﹣1）+1是一次函数，则m=_________．
14．已知函数y=3x+1，当自变量增加3时，相应的函数值增加_________．
15．当x=_________时，函数y=（m﹣2）x+（m﹣2）x+1是一次函数．
三．解答题（共6小题）
16．当m是何值时，函数y=（m+2）x+m+1是：
（1）一次函数；
（2）是正比例函数．
17．已知函数y=（2﹣m）x+2m﹣3．求当m为何值时．
（1）此函数为一次函数？
（2）此函数为正比例函数？
18．试将函数3x+2y=1改成y=kx+b的形式，并指出k和b的值．
19．已知一次函数y=（5m﹣3）x2﹣n+m+n，
①求m、n的值和取值范围；
②若函数经过原点，求m、n的值．
20．已知函数是一次函数，求k和b的取值范围．
21．已知y=（m+1）x2﹣|m|+n+4
（1）当m、n取何值时，y是x的一次函数？
（2）当m、n取何值时，y是x的正比例函数？
17.3.1一次函数的定义
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列函数：①y=x；②y=；③y=；④y=2x+1，其中一次函数的个数是（）
A． 1 B．2 C．3 D． 4
考点： 一次函数的定义．
分析： 根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．
解答： 解：①y=x是一次函数，故①符合题意；
②y=是一次函数，故②符合题意；
③y=自变量次数不为1，故不是一次函数，故③不符合题意；
④y=2x+1是一次函数，故④符合题意．
综上所述，是一次函数的个数有3个，
故选：C．
点评： 本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
2．下列函数中，一次函数是（）
A． y=8x2 B．y=x+1 C．； D．
考点： 一次函数的定义．
分析： 一次函数y=kx+b的定义条件逐一分析即可．
解答： 解：A、自变量次数不为1；
B、是一次函数；
C、不符合一次函数的形式；
D、分母中含有未知数不是一次函数．
故选B．
点评： 解题关键是掌握一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
3．在地表以下不太深的地方，温度y（℃）与所处的深度x（km）之间的关系可以近似用关系式y=35x+20表示，这个关系式符合的数学模型是（）
A． 正比例函数 B．反比例函数 C．二次函数 D． 一次函数
考点： 一次函数的定义．
分析： 根据一次函数的定义解答即可．
解答： 解：∵关系式y=35x+20符合一次函数的形式，
∴这个关系式符合的数学模型是一次函数．
故选D．
点评： 本题考查一次函数的定义，即形如y=kx+b，（k≠0，k、b为常数）的函数叫一次函数．
4下列关于x的函数中，是一次函数的是（）
A． y=3（x﹣1）2+1 B．y=x+ C．y=﹣x D． y=（x+3）2﹣x2
考点： 一次函数的定义．
分析： 化简后，看是否符合y=kx+b（k≠0）的形式即可．
解答： 解：A、y=3（x﹣1）2+1自变量次数不为1，故不是一次函数，不符合题意；
B、y=x+不符合一次函数的一般形式，不符合题意；
C、y=﹣x不符合一次函数的一般形式，不符合题意；
D、化简后可得y=6x+9，符合一次函数的一般形式，符合题意；
故选D．
点评： 掌握一次函数的一般形式是关键，注意判断函数应化简后再判断．
5．若y=是一次函数，则m的值为（）
A． 0 B．﹣1 C．0或﹣1 D． ±1
考点： 一次函数的定义．
分析： 根据形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一次函数，可得答案．
解答： 解：由y=是一次函数，得
，
解得m=﹣1，
故选：B．
点评： 本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
6．如果y=（m﹣1）x2﹣m2+3是一次函数，那么m的值是（）
A． 1 B．﹣1 C．+1 D． ±
考点： 一次函数的定义．
分析： 根据一次函数的一次项的系数不等于零，可得不等式，根据解不等式，可得答案．
解答： 解：y=（m﹣1）x2﹣m2+3是一次函数，得
．解得m=1（不符合题意要舍去），m=﹣1，
故选：B．
点评： 本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
7．函数，一次函数和正比例函数之间的包含关系是（）
A． B．
C． D．
考点： 一次函数的定义．
专题： 数形结合．
分析： 根据函数、正比例函数及一次函数的定义解答．
解答： 解：函数的定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量．
根据函数的定义知，一次函数和正比例函数都属于函数的范畴；
一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．当b=0时，则成为正比例函数y=kx；
所以，正比例函数是一次函数的特殊形式；
故选A．
点评： 本题主要考查了一次函数、正比例函数的定义．解题关键是掌握一次函数的定义条件：一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
8．下列函数关系式：①y=﹣x；②y=2x+11；③y=x2+x+1；④．其中一次函数的个数是（）
A． 1个 B．2个 C．3个 D． 4个
考点： 一次函数的定义．
分析： 根据一次函数的定义解答即可．
解答： 解：①y=﹣x是一次函数；
②y=2x+11是一次函数；
③y=x2+x+1是二次函数；
④是反比例函数．
故选B．
点评： 本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
二．填空题（共7小题）
9．已知关于x的函数y=（m﹣5）x+m+1是一次函数，则m=﹣5，直线y=（m﹣5）x+m+1不经过第一象限．
考点： 一次函数的定义；一次函数图象与系数的关系．
分析： 一次函数的系数m﹣5≠0，自变量x的次数m2﹣24=1，据此解答m、n的值．
解答： 解：（1）m﹣5≠0，m≠5；
m2﹣24=1
m=±5，
所以m=﹣5；
（2）∵m=﹣5，
∴y=﹣10x﹣4，
﹣10＜0，﹣4＜0，图象过二、三、四象限，
∴不经过第一象限．
故答案为：﹣5，一．
点评： 本题主要考查了一次函数的定义：一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．还考查了一次函数的图象与性质，在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
10．一般的，如果两个变量x与y之间的函数关系式可以表示为y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式，那么称y是x的一次函数．当b=0时，y是x的正比例函数．
考点： 一次函数的定义；正比例函数的定义．
分析： 根据一次函数的定义和正比例函数的定义解答．
解答： 解：一般的，如果两个变量x与y之间的函数关系式可以表示为y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式，那么称y是x的一次函数．
当b=0时，y是x的正比例函数．
故答案为：y=kx+b（k≠0，k、b是常数）；b=0．
点评： 本题考查了一次函数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
11．若y=（a2﹣4）x2+（a+2）x+5﹣b是正比例函数，则a﹣b=﹣3．
考点： 正比例函数的定义．
分析： 根据正比例函数y=kx的定义条件：k为常数且k≠0，自变量次数为1，即可列出有关a或b的方程，求出a、b值．
解答： 解：∵y=（a2﹣4）x2+（a+2）x+5﹣b是正比例函数，
∴a2﹣4=0，5﹣b=0，且a+2≠0，
解得a=2，b=5，
则a﹣b=2﹣5=﹣3．
故答案是：﹣3．
点评： 本题主要考查了正比例函数的定义，难度不大，注意基础概念的掌握．
12．若函数是正比例函数，则常数m的值是﹣3．
考点： 正比例函数的定义．
专题： 待定系数法．
分析： 正比例函数的一般式为y=kx，k≠0．根据题意即可完成题目要求．
解答： 解：依题意得：，
解得：m=﹣3．
点评： 本题考查了正比例函数的一般形式及其性质．
13．已知函数y=（m﹣1）+1是一次函数，则m=﹣1．
考点： 一次函数的定义．
专题： 计算题．
分析： 根据一次函数的定义，令m2=1，m﹣1≠0即可解答．
解答： 若两个变量x和y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，
则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）．
因而有m2=1，
解得：m=±1，
又m﹣1≠0，
∴m=﹣1．
点评： 本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
14．已知函数y=3x+1，当自变量增加3时，相应的函数值增加9．
考点： 一次函数的定义．
专题： 计算题．
分析： 把x+3代入函数y=3x+1计算即可．
解答： 解：当自变量增加3时，y=3（x+3）+1=3x+10，
则相应的函数值增加9．
点评： 本题主要考查了一次函数的增值问题，注意细心运算即可．
15．当x=﹣2或时，函数y=（m﹣2）x+（m﹣2）x+1是一次函数．
考点： 一次函数的定义．
分析： 此题要分两种情况进行讨论：①m2﹣3=1且m﹣2≠0；②m2﹣3=0分别算出m的值即可．
解答： 解：由题意得：①m2﹣3=1，
解得：m=±2，
∵m﹣2≠0，
∴m=﹣2，
②m2﹣3=0，
解得：m=，
故答案为：﹣2或．
点评： 此题主要考查了一次函数的定义，关键是掌握形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
三．解答题（共6小题）
16．当m是何值时，函数y=（m+2）x+m+1是：
（1）一次函数；
（2）是正比例函数．
考点： 一次函数的定义；正比例函数的定义．
分析： （1）根据一次函数定义y=kx+b（k≠0）可得m+2≠0，再解即可．
（2）根据正比例函数y=kx（k≠0）可得m+1=0，m+2≠0，再解即可．
解答： 解：（1）由题意得：m+2≠0，
解得：m≠﹣2；
（2）由题意得：m+1=0，m+2≠0，
解得：m=﹣1．
点评： 此题主要考查了一次函数，关键是掌握一次函数的形式：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
17．已知函数y=（2﹣m）x+2m﹣3．求当m为何值时．
（1）此函数为一次函数？
（2）此函数为正比例函数？
考点： 一次函数的定义；正比例函数的定义．
分析： （1）根据形如y=kx+b（k≠0）的形式是一次函数，可得答案；
（2）根据形如y=kx（k≠0）的形式是正比例函数，可得答案．
解答： 解：（1）2﹣m≠0，即m≠2时，y=（2﹣m）x+2m﹣3是一次函数；
（2）2m﹣3=0，且2﹣m≠0，即m=时，y=（2﹣m）x+2m﹣3是正比例函数．
点评： 本题考查了一次函数的定义，利用了一次函数的定义．
18．试将函数3x+2y=1改成y=kx+b的形式，并指出k和b的值．
考点： 一次函数的定义．
分析： 把3x+2y=1通过移项、化系数为1化为y=kx+b的形式，对比求出k、b的数值即可．
解答： 解：由3x+2y=1，得
2y=﹣3x+1，
化系数为1，得
y=﹣x+，
则k=﹣，b=．
点评： 本题考查了一次函数的定义．任何二元一次方程都可以化为y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的形式，且以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图象与相应的一次函数的图象是相同的．
19．已知一次函数y=（5m﹣3）x2﹣n+m+n，
①求m、n的值和取值范围；
②若函数经过原点，求m、n的值．
考点： 一次函数的定义；一次函数图象上点的坐标特征．
分析： ①根据一次函数的定义，x的次数等于1，且x的系数不等于0即可求解；
②把（0，0）代入函数解析式即可求解．
解答： 解：①根据题意得：2﹣n=1，且5m﹣3≠0，
解得：n=1且m≠；
②函数的解析式是y=（5m﹣1）x+m+1，
把（0，0）代入解析式得：m+1=0，
解得：m=﹣1，
则m=﹣1，n=1．
点评： 本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
20．已知函数是一次函数，求k和b的取值范围．
考点： 一次函数的定义．
专题： 计算题．
分析： 若两个变量x和y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量），因而函数是一次函数的条件是k2﹣3=1，且k﹣2≠0．
解答： 解：根据题意得：k2﹣3=1，且k﹣2≠0，
∴k=﹣2或k=2（舍去）
∴k=﹣2．
b是任意的常数．
点评： 本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
21．已知y=（m+1）x2﹣|m|+n+4
（1）当m、n取何值时，y是x的一次函数？
（2）当m、n取何值时，y是x的正比例函数？
考点： 一次函数的定义；正比例函数的定义．
分析： （1）根据一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数，据此求解即可；
（2）根据正比例函数的定义：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数，据此求解即可．
解答： 解：（1）根据一次函数的定义，得：2﹣|m|=1，
解得m=±1．
又∵m+1≠0即m≠﹣1，
∴当m=1，n为任意实数时，这个函数是一次函数；
（2）根据正比例函数的定义，得：2﹣|m|=1，n+4=0，
解得m=±1，n=﹣4，
又∵m+1≠0即m≠﹣1，
∴当m=1，n=﹣4时，这个函数是正比例函数．
点评： 本题主要考查了一次函数与正比例函数的定义，比较简单．一次函数解析式y=kx+b的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．正比例函数y=kx的解析式中，比例系数k是常数，k≠0，自变量的次数为1．
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