17.3.3一次函数的性质
一．选择题（共8小题）
1．在平面直角坐标系中，函数y=﹣x+1的图象经过（）
A．一、二、三象限 B．二、三、四象限 C．一、三、四象限 D．一、二、四象限
2．如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，1），B（3，1），C（2，2），当直线与△ABC有交点时，b的取值范围是（）
A．﹣1≤b≤1 B．﹣≤b≤1 C．﹣≤b≤ D．﹣1≤b≤
3．已知关于x的一次函数y=（k﹣）x+，其中实数k满足0＜k＜1，当自变量x在1≤x≤2的范围内变化时，此函数的最大值为（）
A．1 B．2 C．k D．2k﹣
4．下列一次函数中，y的值随着x值的增大而减小的是（）
A．y=2x B．y=9﹣3x C．y=﹣5+4x D．y=x﹣10
5．对于函数y=﹣2x+1，下列结论正确的是（）
A．y的值随x值的增大而增大 B．它的图象经过第一、二、三象限
C．它的图象必经过点（﹣1，2） D．当x＞1时，y＜0
6．下列函数中，y随x的增大而减少的函数是（）
A．y=2x+8 B．y=﹣2+4x C．y=﹣2x+8 D．y=4x
7．对于函数y=﹣3x+1，下列结论正确的是（）
A．它的图象必经过点（﹣1，3） B．它的图象经过第一、二、三象限
C．当x＞1时，y＜0 D．y的值随x值的增大而增大
8．一次函数y=x﹣2的图象不经过（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二．填空题（共6小题）
9．已知一次函数y=（1﹣m）x+m﹣2，当m_________时，y随x的增大而增大．
10．直线l过点M（﹣2，0），该直线的解析式可以写为_________．（只写出一个即可）
11．一次函数y=kx+b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，则的值是_________．
12．已知一次函数y=kx+b的图象交y轴于正半轴，且y随x的增大而减小，请写出符合上述条件的一个解析式：_________．
13．写出一个一次函数，使该函数的图象不经过第三象限：_________．
14．若一次函数的图象过点（0，2），且函数y随自变量x的增大而增大，请写出一个符合要求的一次函数表达式：_________．
三．解答题（共7小题）
15．如图，直线y=﹣x+3与坐标轴分别交于点A，B，与直线y=x交于点C，线段OA上的点Q以每秒1个长度单位的速度从点O出发向点A作匀速运动，运动时间为t秒，连结CQ．
（1）求出点C的坐标；
（2）若△OQC是等腰直角三角形，则t的值为_________；
（3）若CQ平分△OAC的面积，求直线CQ对应的函数关系式．
16．在直角坐标系中，已知点A（4，0），B（0，2），点P（x，y）在第一象限内，且x+2y=4，设△AOP的面积是S．
（1）写出S与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
（2）当S=3时，求点P的坐标；
（3）若直线OP平分△AOB的面积时，求点P的坐标．
17．已知一次函数y=mx+2m﹣10（m≠0）．
（1）当m为何值时，这个函数为正比例函数？
（2）当m为何值时，这个函数y的值随着x值的增大而减小？
（3）当m为何值时，这个函数的图象与直线y=x﹣4的交点在y轴上？
18．已知正比例函数y=kx的图象，经过点M（﹣2，4）．
（1）推出y的值与x值的变化情况；
（2）画出这个函数的图象．
19．一次函数y=kx﹣3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，△OAB（O为坐标原点）的面积为4，且函数y的值随x的增大而增大，求：
（1）点B的坐标；
（2）点A的坐标及k的值．
20．已知一次函数y=2x﹣4．
（1）画出函数的图象；
（2）图象与x轴交于点_________，与y轴交于点_________；
（3）x_________时，y＞0；x_________时，y＜0；
（4）函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为_________．
21．函数y=﹣3（x﹣1）+6，x取什么值时，
（1）函数的值是0？
（2）函数的值是正数？
（3）函数的值是负数？
17.3.3一次函数的性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．在平面直角坐标系中，函数y=﹣x+1的图象经过（）
A． 一、二、三象限 B．二、三、四象限 C 一、三、四象限 D． 一、二、四象限
考点： 一次函数的性质．
分析： 一次函数y=kx+b的图象经过第几象限，取决于k和b．当k＜0，b＞O时，图象过1，2，4象限，据此作答．
解答： 解：∵一次函数y=﹣x+1的k=﹣1＜0，b=1＞0，
∴图象过1，2，4象限，
故选D．
点评： 一次函数的图象经过第几象限，取决于x的系数和常数项．
2．如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，1），B（3，1），C（2，2），当直线与△ABC有交点时，b的取值范围是（）
A． ﹣1≤b≤1 B．﹣≤b≤1 C．﹣≤b≤ D． ﹣1≤b≤
考点： 一次函数的性质．
分析： 将A（1，1），B（3，1），C（2，2）的坐标分别代入直线中求得b的值，再根据一次函数的增减性即可得到b的取值范围．
解答： 解：将A（1，1）代入直线中，可得+b=1，解得b=；
将B（3，1）代入直线中，可得+b=1，解得b=﹣；
将C（2，2）代入直线中，可得1+b=2，解得b=1．
故b的取值范围是﹣≤b≤1．
故选B．
点评： 考查了一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
3．已知关于x的一次函数y=（k﹣）x+，其中实数k满足0＜k＜1，当自变量x在1≤x≤2的范围内变化时，此函数的最大值为（）
A． 1 B．2 C．k D． 2k﹣
考点： 一次函数的性质．
专题： 计算题．
分析： 由于自变量的取值已经确定，此函数又为一次函数．所以应直接把自变量的最小值与最大值代入函数求值．
解答： 解：当x=1时，y=k；当x=2时，y=2k﹣
∵0＜k＜1
∴k＞2k﹣
∴y的最大值是k
故选C．
点评： 本题需注意应根据实际情况比较得到的两个值的大小．
4．下列一次函数中，y的值随着x值的增大而减小的是（）
A． y=2x B．y=9﹣3x C．y=﹣5+4x D． y=x﹣10
考点： 一次函数的性质．
分析： 根据一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
解答： 解：A、∵函数y=2x中k=2＞0，∴y的值随着x值的增大而增大，故本选项错误；
B、∵函数y9﹣3x中k=﹣3＜0，∴y的值随着x值的增大而减小，故本选项正确；
C、∵函数y=﹣5+4x中k=4＞0，∴y的值随着x值的增大而增大，故本选项错误；
D、∵函数y=x﹣10中k=1＞0，∴y的值随着x值的增大而增大，故本选项错误．
故选：B．
点评： 本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小．
5．对于函数y=﹣2x+1，下列结论正确的是（）
A． y的值随x值的增大而增大 B． 它的图象经过第一、二、三象限
C． 它的图象必经过点（﹣1，2） D． 当x＞1时，y＜0
考点： 一次函数的性质．
分析： 分别利用一次函数的性质分析得出即可．
解答： 解：A、∵函数y=﹣2x+1，k＜0，∴y的值随x值的增大而减小，故A选项错误；
B、∵k＜0，b＞0，∴它的图象经过第一、二、四象限，故B选项错误；
C、它的图象必经过点（﹣1，3），故C选项错误；
D、图象与x轴交于（，0），k＜0，故当x＞1时，y＜0，故D选项正确．
故选：D．
点评： 此题主要考查了一次函数的性质，正确利用图象经过的象限以及增减性分析得出是解题关键．
6．下列函数中，y随x的增大而减少的函数是（）
A． y=2x+8 B．y=﹣2+4x C．y=﹣2x+8 D． y=4x
考点： 一次函数的性质．
分析： 根据一次函数的性质，k＜0，y随x的增大而减少，找出各选项中k值小于0的选项即可．
解答： 解：A、B、D选项中的函数解析式k值都是整数，y随x的增大而增大，
C选项y=﹣2x+8中，k=﹣2＜0，y随x的增大而减少．
故选C．
点评： 本题考查了一次函数的性质，主要利用了当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
7．对于函数y=﹣3x+1，下列结论正确的是（）
A． 它的图象必经过点（﹣1，3） B． 它的图象经过第一、二、三象限
C． 当x＞1时，y＜0 D． y的值随x值的增大而增大
考点： 一次函数的性质．
分析： 根据一次比例函数图象的性质可知．
解答： 解：A、将点（﹣1，3）代入原函数，得y=﹣3×（﹣1）+1=4≠3，故A错误；
B、因为k=﹣3＜0，b=1＞0，所以图象经过一、二、四象限，y随x的增大而减小，故B，D错误；
C、当x＞1时，函数图象在第四象限，故y＜0，故C正确；
故选C．
点评： 本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的性质及函数图象平移的法则是解答此题的关键．
8．一次函数y=x﹣2的图象不经过（）
A． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D． 第四象限
考点： 一次函数的性质．
分析： 根据k＞0确定一次函数经过第一三象限，根据b＜0确定与y轴负半轴相交，从而判断得解．
解答： 解：一次函数y=x﹣2，
∵k=1＞0，
∴函数图象经过第一三象限，
∵b=﹣2＜0，
∴函数图象与y轴负半轴相交，
∴函数图象经过第一三四象限，不经过第二象限．
故选B．
点评： 本题考查了一次函数的性质，对于一次函数y=kx+b，k＞0，函数经过第一、三象限，k＜0，函数经过第二、四象限．
二．填空题（共6小题）
9．已知一次函数y=（1﹣m）x+m﹣2，当m＜1时，y随x的增大而增大．
考点： 一次函数的性质．
专题： 常规题型．
分析： 根据一次函数的性质得1﹣m＞0，然后解不等式即可．
解答： 解：当1﹣m＞0时，y随x的增大而增大，
所以m＜1．
故答案为：＜1．
点评： 本题考查了一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降；当b＞0时，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，直线与y轴交于负半轴．
10．直线l过点M（﹣2，0），该直线的解析式可以写为y=x+2．（只写出一个即可）
考点： 一次函数的性质．
专题： 开放型．
分析： 设该直线方程为y=kx+b（k≠0）．令k=1，然后把点M的坐标代入求得b的值．
解答： 解：设该直线方程为y=kx+b（k≠0）．令k=1，把点M（﹣2，0）代入，得
0=﹣2+b=0，
解得b=2，
则该直线方程为：y=x+2．
故答案是：y=x+2（答案不唯一，符合条件即可）．
点评： 本题考查了一次函数的性质．一次函数图象上所有点的坐标都满足直线方程．
11．一次函数y=kx+b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，则的值是2或﹣7．
考点： 一次函数的性质．
专题： 计算题．
分析： 由于k的符号不能确定，故应对k＞0和k＜0两种情况进行解答．
解答： 解：当k＞0时，此函数是增函数，
∵当1≤x≤4时，3≤y≤6，
∴当x=1时，y=3；当x=4时，y=6，
∴，解得，
∴=2；
当k＜0时，此函数是减函数，
∵当1≤x≤4时，3≤y≤6，
∴当x=1时，y=6；当x=4时，y=3，
∴，解得，
∴=﹣7．
故答案为：2或﹣7．
点评： 本题考查的是一次函数的性质，在解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．
12．已知一次函数y=kx+b的图象交y轴于正半轴，且y随x的增大而减小，请写出符合上述条件的一个解析式：例如y=﹣2x+3，（答案不唯一，k＜0且b＞0即可）．
考点： 一次函数的性质．
专题： 开放型．
分析： 根据一次函数图象的性质解答．
解答： 解：∵一次函数y=kx+b的图象交y轴于正半轴，
∴b＞0，
∵y随x的增大而减小，
∴k＜0，
例如y=﹣2x+3（答案不唯一，k＜0且b＞0即可）．
点评： 本题是开放型题目，主要考查一次函数图象的性质，只要符合要求即可．
13．写出一个一次函数，使该函数的图象不经过第三象限：如y=﹣x+2等（只要k＜0，b≥0即可）．
考点： 一次函数的性质．
专题： 开放型．
分析： 要使一次函数的图象不经过第三象限，则需经过第二、四象限或经过第一、二、四象限．若经过第二、四象限，则需是正比例函数，且k＜0即可；若经过第一、二、四象限，则需k＜0，b＞0即可．然后根据前面结论即可得到结果．
解答： 解：∵函数的图象不经过第三象限，
∵图象经过第二、四象限或经过第一、二、四象限，
∴答案不唯一，如y=﹣x+2等（只要k＜0，b≥0即可）．
故填空答案：y=﹣x+2
点评： 此题要求学生能够根据k，b的符号正确判断直线所经过的象限．
14．若一次函数的图象过点（0，2），且函数y随自变量x的增大而增大，请写出一个符合要求的一次函数表达式：y=x+2．
考点： 一次函数的性质．
专题： 开放型．
分析： 设一次函数的解析式为y=kx+b，根据一次函数的图象过点（0，2）得到b=2，根据函数y随自变量x的增大而增大得到k＞0，然后取k=1写出一个满足条件的解析式．
解答： 解：设一次函数的解析式为y=kx+b，
把（0，2）代入得b=2，
∴y=kx+2，
∵函数y随自变量x的增大而增大，
∴k＞0，
∴k可取1，此时一次函数解析式为y=x+2．
故答案为y=x+2．
点评： 本题考查了一次函数y=kx+b的性质：当k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
三．解答题（共7小题）
15．如图，直线y=﹣x+3与坐标轴分别交于点A，B，与直线y=x交于点C，线段OA上的点Q以每秒1个长度单位的速度从点O出发向点A作匀速运动，运动时间为t秒，连结CQ．
（1）求出点C的坐标；
（2）若△OQC是等腰直角三角形，则t的值为2或4；
（3）若CQ平分△OAC的面积，求直线CQ对应的函数关系式．
考点： 一次函数的性质．
分析： （1）解两函数解析式组成的方程组即可；
（2）分为两种情况，画出图形，根据等腰三角形的性质求出即可；
（3）求出Q的坐标，设出解析式，把Q、C的坐标代入求出即可．
解答： 解：（1）∵由，得，
∴C（2，2）；
（2）如图1，当∠CQO=90°，CQ=OQ，
∵C（2，2），
∴OQ=CQ=2，
∴t=2，
②如图2，当∠OCQ=90°，OC=CQ，
过C作CM⊥OA于M，
∵C（2，2），
∴CM=OM=2，
∴QM=OM=2，
∴t=2+2=4，
即t的值为2或4，
故答案为：2或4；
（3）令，得x=6，由题意：Q（3，0），
设直线CQ的解析式是y=kx+b，
把C（2，2），Q（3，0）代入得：，
解得：k=﹣2，b=6，
∴直线CQ对应的函数关系式为：y=﹣2x+6．
点评： 本题考查了用待定系数法求出一次函数解析式，三角形的面积，等腰直角三角形等知识点的应用，题目是一道比较典型的题目，综合性比较强．
16．在直角坐标系中，已知点A（4，0），B（0，2），点P（x，y）在第一象限内，且x+2y=4，设△AOP的面积是S．
（1）写出S与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
（2）当S=3时，求点P的坐标；
（3）若直线OP平分△AOB的面积时，求点P的坐标．
考点： 一次函数的性质．
分析： （1）根据点A、P的坐标求得△AOP的底边OA与高线BC的长度；然后根据三角形的面积公式即可求得S与x的函数关系式；
（2）将S=3代入（1）中所求的式子，即可求出点P的坐标；
（3）由直线OP平分△AOB的面积，可知OP为△AOB的中线，点P为AB的中点，根据中点坐标公式即可求解．
解答： 解：∵x+2y=4，
∴y=（4﹣x），
∴S=×4×（4﹣x）=4﹣x，即S=4﹣x．
∵点P（x，y）在第一象限内，且x+2y=4，
∴，
解得0＜x＜4；
（2）当S=3时，4﹣x=3，
解得x=1，
此时y=（4﹣1）=，
故点P的坐标为（1，）；
（3）若直线OP平分△AOB的面积，则点P为AB的中点．
∵A（4，0），B（0，2），
∴点P的坐标为（2，1）．
点评： 本题考查了一次函数的性质，三角形的面积，三角形中线的性质，中点坐标公式，难度适中．
17．已知一次函数y=mx+2m﹣10（m≠0）．
（1）当m为何值时，这个函数为正比例函数？
（2）当m为何值时，这个函数y的值随着x值的增大而减小？
（3）当m为何值时，这个函数的图象与直线y=x﹣4的交点在y轴上？
考点： 一次函数的性质．
分析： （1）根据正比例函数的性质得出2m﹣10=0，求出方程的解即可；
（2）根据一次函数的性质得出不等式m＜0且m≠0；
（3）根据一次函数的图象交点的性质先求得交点的坐标，然后把交点坐标代入y=mx+2m﹣10（m≠0），求出m的值即可．
解答： 解：（1）y=mx+2m﹣10（m≠0）．
∵函数为正比例函数，
∴2m﹣10=0，
解得：m=5，
答：当m=5时，这个函数为正比例函数
（2）一次函数y=mx+2m﹣10（m≠0）．
∵函数y的值随着x值的增大而减小，
∴m＜0且m≠0，
答：当m＜0且m≠0时，函数y的值随着x值的增大而减小．
（3）∵函数的图象与直线y=x﹣4的交点在y轴上，
∴x=0，y=﹣4，
把x=0，y=﹣4代入y=mx+2m﹣10得，m=3
答：当m=3时，函数的图象与直线y=x﹣4的交点在y轴上．
点评： 本题主要考查对解一元一次方程，一元一次不等式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地根据一次函数的性质和已知得出不等式或方程是解此题的关键．
18．已知正比例函数y=kx的图象，经过点M（﹣2，4）．
（1）推出y的值与x值的变化情况；
（2）画出这个函数的图象．
考点： 正比例函数的性质；正比例函数的图象．
分析： （1）先把点M（﹣2，4）代入正比例函数y=kx，求出k的值，根据k的符号即可得出结论；
（2）在坐标系内描出点M（﹣2，4），过原点与点M（﹣2，4）作直线即可得出函数图象．
解答： 解：（1）∵正比例函数y=kx的图象，经过点M（﹣2，4），
∴4=﹣2k，解得k=﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小；
（2）如图所示．
点评： 本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性是解答此题的关键．
19．一次函数y=kx﹣3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，△OAB（O为坐标原点）的面积为4，且函数y的值随x的增大而增大，求：
（1）点B的坐标；
（2）点A的坐标及k的值．
考点： 一次函数的性质．
专题： 计算题．
分析： （1）根据y轴上点的坐标特征，求自变量为0时的函数值即可得到B点坐标；
（2）根据三角形面积公式得到OA=，再利用易次函数的性质得点A的坐标为（，0），然后把A点坐标代入y=kx﹣3即可计算出k的值．
解答： 解：（1）把x=0代入y=kx﹣3得y=﹣3，
所以B点坐标为（0，﹣3）；
（2）∵△OAB（O为坐标原点）的面积为4，
∴OA?3=4，
∴OA=，
∵函数y的值随x的增大而增大，
∴点A的坐标为（，0），
把点A的坐标为（，0）代入y=kx﹣3得x﹣3=0，
∴k=．
点评： 本题考查了一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
20．已知一次函数y=2x﹣4．
（1）画出函数的图象；
（2）图象与x轴交于点（2，0），与y轴交于点（0，﹣4）；
（3）x＞2时，y＞0；x＜2时，y＜0；
（4）函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为4．
考点： 一次函数的性质；一次函数的图象．
专题： 计算题．
分析： （1）利用两点确定一直线画函数图象；
（2）利用图象写出交点坐标；
（3）观察函数图象求解；
（4）根据三角形面积公式计算进行．
解答： 解：（1）如图：
（2）图象与x轴交于点为（2，0），与y轴交于点为（0，﹣4）；
（3）当x＞2时，y＞0；当x＜2时，y＜0；
（4）函数图象与两坐标轴围成的三角形面积=×2×4=4．
故答案为（2，0），（0，﹣4）；＞2，＜2；4．
点评： 本题考查了一次函数y=kx+b的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
21．函数y=﹣3（x﹣1）+6，x取什么值时，
（1）函数的值是0？
（2）函数的值是正数？
（3）函数的值是负数？
考点： 一次函数的性质．
分析： （1）把y=0代入函数y=﹣3（x﹣1）+6，再解x的值即可；
（2）把y＞0代入函数y=﹣3（x﹣1）+6，再解x即可；
（3）把y＜0代入函数y=﹣3（x﹣1）+6，再解x即可．
解答： 解：（1）由题意得：﹣3（x﹣1）+6=0，
解得：x=3；
（2）由题意得：﹣3（x﹣1）+6＞0，
解得：x＜3；
（3）由题意得：﹣3（x﹣1）+6＜0，
解得：x＞3．
点评： 此题主要考查了一次函数与方程和不等式，关键是正确列出方程和不等式．
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