17.3.4一次函数图像上的点坐标
一．选择题（共8小题）
1．一次函数y=2x+4的图象与y轴交点的坐标是（）
A．（0，﹣4） B．（0，4） C．（2，0） D．（﹣2，0）
2．若点A（2，4）在函数y=kx的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（）
A．（1，2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，2） D．（2，﹣4）
3．在平面直角坐标系中，将正比例函数y=kx（k＞0）的图象向上平移一个单位，那么平移后的图象不经过（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．将直线y=x+2向下平移2个单位后，所得直线的解析式为（）
A．y=x+4 B．y=x﹣2 C．y=x D．y=x﹣4
5．要得到函数y=2x+1的图象，只需将函数y=2x﹣1的图象（）
A．向右平移1个单位 B．向右平移2个单位 C．向左平移1个单位 D．向左平移2个单位
6．对于一次函数y=kx+k﹣1（k≠0），下列叙述正确的是（）
A．当0＜k＜1时，函数图象经过第一、二、三象限
B．当k＞0时，y随x的增大而减小
C．当k＜1时，函数图象一定交于y轴的负半轴
D．函数图象一定经过点（﹣1，﹣2）
7．若实数a，b满足ab＜0，且a＜b，则函数y=ax+b的图象可能是（）
A． B． C． D．
8．当kb＜0时，一次函数y=kx+b的图象一定经过（）
A．第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限
二．填空题（共6小题）
9．写出一个图象经过点（﹣1，2）的一次函数的解析式_________．
10．已知P1（1，y1），P2（2，y2）是正比例函数y=x的图象上的两点，则y1_________y2（填“＞”或“＜”或“=”）．
11．如图，已知点A和点B是直线y=x上的两点，A点坐标是（2，）．若AB=5，则点B的坐标是_________．
12．直线y=3x+2沿y轴向下平移5个单位，则平移后直线与y轴的交点坐标为_________．
13．将直线y=2x+1平移后经过点（2，1），则平移后的直线解析式为_________．
14．直线y=x+3上有一点P（m﹣5，2m），则P点关于原点的对称点P′的坐标为_________．
三．解答题（共8小题）
15如图，直线y=kx﹣2与x轴、y轴分别交与B、C两点，tan∠OCB=．
（1）求B点的坐标和k的值；
（2）若点A是直线y=kx﹣2上的一点．连结OA，若△AOB的面积是2，请直接写出A点坐标．
16．已知直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在坐标轴上，且PO=2AO．求△ABP的面积．
17．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求点A、B的坐标；
（2）若点P在直线上，且横坐标为﹣2，求过点P的反比例函数图象的解析式．
18．已知一次函数y=kx﹣3的图象经过点M（﹣2，1），求此图象与x、y轴的交点坐标．
19．如图所示，已知直线y=kx﹣2经过M点，求此直线与x轴交点坐标和直线与两坐标轴围成三角形的面积．
20．函数y=﹣3x+2的图象上存在点P，使得点P到x轴的距离等于3，求点P的坐标．
21．如果一次函数y=（m﹣1）x+m2﹣1与y轴的交点为（0，3），求m的值．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x﹣6与x轴，y轴分别相交于A，B，C在x轴上．若△ABC是等腰三角形，试求点C的坐标．
17.3.4一次函数图像上的点坐标
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．一次函数y=2x+4的图象与y轴交点的坐标是（）
A． （0，﹣4） B．（0，4） C．（2，0） D． （﹣2，0）
考点： 一次函数图象上点的坐标特征．
专题： 计算题．
分析： 在解析式中令x=0，即可求得与y轴的交点的纵坐标．
解答： 解：令x=0，得y=2×0+4=4，
则函数与y轴的交点坐标是（0，4）．
故选：B．
点评： 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，是一个基础题．
2．若点A（2，4）在函数y=kx的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（）
A． （1，2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，2） D． （2，﹣4）
考点： 一次函数图象上点的坐标特征．
分析： 直接把点A（2，4）代入函数y=kx求出k的值，再把各点代入函数解析式进行检验即可．
解答： 解：∵点A（2，4）在函数y=kx的图象上，
∴4=2k，解得k=2，
∴一次函数的解析式为y=2x，
A、∵当x=1时，y=2，∴此点在函数图象上，故A选项正确；
B、∵当x=﹣2时，y=﹣4≠﹣1，∴此点不在函数图象上，故B选项错误；
C、∵当x=﹣1时，y=﹣2≠2，∴此点不在函数图象上，故C选项错误；
D、∵当x=2时，y=4≠﹣4，∴此点不在函数图象上，故D选项错误．
故选：A．
点评： 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
3．在平面直角坐标系中，将正比例函数y=kx（k＞0）的图象向上平移一个单位，那么平移后的图象不经过（）
A． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D． 第四象限
考点： 一次函数图象与几何变换．
分析： 先由“上加下减”的平移规律求出正比例函数y=kx（k＞0）的图象向上平移一个单位后的解析式，再根据一次函数图象与系数的关系即可求解．
解答： 解：将正比例函数y=kx（k＞0）的图象向上平移一个单位得到y=kx+1（k＞0），
∵k＞0，b=1＞0，
∴图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选D．
点评： 本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象与系数的关系，正确得出函数平移后的解析式是解题的关键．
4．将直线y=x+2向下平移2个单位后，所得直线的解析式为（）
A． y=x+4 B．y=x﹣2 C．y=x D． y=x﹣4
考点： 一次函数图象与几何变换．
分析： 根据平移k值不变，只有b只发生改变解答即可．
解答： 解：根据题意知，平移后的直线解析式为：y=x+2﹣2=x，即y=x．
故选：C．
点评： 本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．
5．要得到函数y=2x+1的图象，只需将函数y=2x﹣1的图象（）
A． 向右平移1个单位 B．向右平移2个单位 C．向左平移1个单位 D． 向左平移2个单位
考点： 一次函数图象与几何变换．
分析： 根据左加右减的平移规律即可求解．
解答： 解：∵y=2x+1=2（x+0.5），y=2x﹣1=2（x﹣0.5），
∴将函数y=2x﹣1的图象向左平移1个单位，可得到y=2（x﹣0.5+1），即y=2x+1的图象．
故选C．
点评： 本题考查了一次函数图象与几何变换，熟记上加下减、左加右减的平移规律是解题的关键．
6．对于一次函数y=kx+k﹣1（k≠0），下列叙述正确的是（）
A． 当0＜k＜1时，函数图象经过第一、二、三象限
B． 当k＞0时，y随x的增大而减小
C． 当k＜1时，函数图象一定交于y轴的负半轴
D． 函数图象一定经过点（﹣1，﹣2）
考点： 一次函数图象与系数的关系．
专题： 常规题型．
分析： 根据一次函数图象与系数的关系对A、B、C进行判断；根据一次函数图象上点的坐标特征对D进行判断．
解答： 解：A、当0＜k＜1时，函数图象经过第一、三、四象限，所以A选项错误；
B、当k＞0时，y随x的增大而增大，所以B选项错误；
C、当k＜1时，函数图象一定交于y轴的负半轴，所以C选项正确；
D、把x=﹣1代入y=kx+k﹣1得y=﹣k+k﹣1=﹣1，则函数图象一定经过点（﹣1，﹣1），所以D选项错误．
故选：C．
点评： 本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．
7．若实数a，b满足ab＜0，且a＜b，则函数y=ax+b的图象可能是（）
A． B． C． D．
考点： 一次函数图象与系数的关系．
专题： 数形结合．
分析： 利用ab＜0，且a＜b得到a＜0，b＞0，然后根据一次函数图象与系数的关系进行判断．
解答： 解：∵ab＜0，且a＜b，
∴a＜0，b＞0，
∴函数y=ax+b的图象经过第二、四象限，且与y轴的交点在x轴上方．
故选：A．
点评： 本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．
8．当kb＜0时，一次函数y=kx+b的图象一定经过（）
A． 第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、三象限 D． 第二、四象限
考点： 一次函数图象与系数的关系．
专题： 数形结合．
分析： 根据k，b的取值范围确定图象在坐标平面内的位置关系，从而求解．
解答： 解：∵kb＜0，
∴k、b异号．
①当k＞0时，b＜0，此时一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；
②当k＜0时，b＞0，此时一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；
综上所述，当kb＜0时，一次函数y=kx+b的图象一定经过第一、四象限．
故选：B．
点评： 本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过第一、三象限；k＜0时，直线必经过第二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
二．填空题（共6小题）
9．写出一个图象经过点（﹣1，2）的一次函数的解析式答案不唯一，如：y=x+3等．
考点： 一次函数图象上点的坐标特征．
专题： 开放型．
分析： 由图象经过（﹣1，2）点可得出k与b的关系式b﹣k=2，即可任意写出一个满足这个关系的一次函数解析式．
解答： 解：设函数的解析式为y=kx+b，
将（﹣1，2）代入
得b﹣k=2，
故答案可为：y=x+3．
点评： 解答本题关键是确定k与b的关系式．
10已知P1（1，y1），P2（2，y2）是正比例函数y=x的图象上的两点，则y1＜y2（填“＞”或“＜”或“=”）．
考点： 一次函数图象上点的坐标特征．
分析： 直接把P1（1，y1），P2（2，y2）代入正比例函数y=x，求出y1，y2的值，再比较出其大小即可．
解答： 解：∵P1（1，y1），P2（2，y2）是正比例函数y=x的图象上的两点，
∴y1=，y2=×2=，
∵＜，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
点评： 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
11．如图，已知点A和点B是直线y=x上的两点，A点坐标是（2，）．若AB=5，则点B的坐标是（6，）或（﹣2，﹣）．
考点： 一次函数图象上点的坐标特征．
分析： 根据一次函数解析式求出A、B两点的横坐标与纵坐标的差，再分两种情况讨论求解即可．
解答： 解：∵=5，AB=5，
∴5×=3，5×=4，
∴点A、B的横坐标相差4，纵坐标相差3，
∵A点坐标是（2，），
∴点B的横坐标为2+4=6，纵坐标为+3=，
或点B的横坐标为2﹣4=﹣2，纵坐标为﹣3=﹣，
∴点B的坐标为（6，）或（﹣2，﹣）．
故答案为：（6，）或（﹣2，﹣）．
点评： 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据比例系数求出A、B两点的横坐标与纵坐标的差是解题的解，要注意分情况讨论．
12．直线y=3x+2沿y轴向下平移5个单位，则平移后直线与y轴的交点坐标为（0，﹣3）．
考点： 一次函数图象与几何变换．
分析： 先由直线直线y=3x+2沿y轴向下平移5个单位可得y=3x﹣3，再根据一次函数y=kx+b与y轴交点为（0，b）可得答案．
解答： 解：直线直线y=3x+2沿y轴向下平移5个单位可得y=3x+2﹣5，
即y=3x﹣3，
则平移后直线与y轴的交点坐标为：（0，﹣3）．
故答案为：（0，﹣3）．
点评： 此题主要考查了一次函数图象的几何变换，关键是掌握直线y=kx+b沿y轴平移后，函数解析式的k值不变，b值上移加、下移减．
13．将直线y=2x+1平移后经过点（2，1），则平移后的直线解析式为y=2x﹣3．
考点： 一次函数图象与几何变换．
分析： 根据平移不改变k的值可设平移后直线的解析式为y=2x+b，然后将点（2，1）代入即可得出直线的函数解析式．
解答： 解：设平移后直线的解析式为y=2x+b．
把（2，1）代入直线解析式得1=2×2+b，
解得b=﹣3．
所以平移后直线的解析式为y=2x﹣3．
故答案为：y=2x﹣3．
点评： 本题考查了一次函数图象与几何变换及待定系数法去函数的解析式，掌握直线y=kx+b（k≠0）平移时k的值不变是解题的关键．
14．直线y=x+3上有一点P（m﹣5，2m），则P点关于原点的对称点P′的坐标为（7，4）．
考点： 一次函数图象上点的坐标特征；关于原点对称的点的坐标．
专题： 计算题．
分析： 先根据已知条件求得m的值，再根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即可求得P′的坐标．
解答： 解：∵点P（m﹣5，2m）是直线y=x+3上的点，
∴2m=m﹣5+3，
即m=﹣2；
那么P点的坐标是（﹣7，﹣4），
则P点关于原点的对称点P′的坐标为（7，4）．
故答案为：（7，4）．
点评： 本题主要考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．
三．解答题（共8小题）
15．如图，直线y=kx﹣2与x轴、y轴分别交与B、C两点，tan∠OCB=．
（1）求B点的坐标和k的值；
（2）若点A是直线y=kx﹣2上的一点．连结OA，若△AOB的面积是2，请直接写出A点坐标．
考点： 一次函数图象上点的坐标特征；锐角三角函数的定义．
分析： （1）由函数解析式易求得OC=2，然后通过解直角△OBC可以求得OB=1；则易求点B的坐标，把点B的坐标代入已知函数解析式来求系数k的值即可；
（2）由三角形的面积公式可以求得点A的纵坐标，所以把点A的纵坐标代入函数解析式即可求得点A的横坐标．
解答： 解：（1）∵y=kx﹣2与y轴相交于点C，
∴OC=2，
∵tan∠OCB=，
∴OB=1
∴B点坐标为：（1，0），
把B点坐标（1，0）代入y=kx﹣2，
解得k=2；
（2）设A（x，y）．
∵△AOB的面积是2，
∴OB?|y|=2，即×1?|y|=2，
解得，y=4或y=﹣4．
当y=4时，4=2x﹣2，则x=3；
当y=﹣4时，﹣4=2x﹣2，则x=﹣1；
∴A点坐标为（3，4）或（﹣1，﹣4）．
点评： 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、锐角三角函数的定义．在这条直线上的各点的坐标一定适合这条直线的解析式．函数与y轴的交点的横坐标为0．函数与x轴的交点的纵坐标为0．
16．已知直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在坐标轴上，且PO=2AO．求△ABP的面积．
考点： 一次函数图象上点的坐标特征．
专题： 压轴题；探究型．
分析： 先求出AB两点的坐标，由于P点的位置不能确定，故应分点P在x轴上、点P在y轴上两种情况进行讨论．
解答： 解：∵直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（﹣2，0），B（0，4），
当点P在x轴的正半轴上时，S△ABP=S△AOB+S△OBP=×2×4+×4×240=484；
当点P在x轴的负半轴上时，S△ABP=S△OBP﹣S△AOB=×4×240﹣×2×4=476；
当点P在y轴的正半轴上时，S△ABP=S△OAP﹣S△AOB=×2×240﹣×2×4=236；
当点P在y轴的负半轴上时，S△ABP=S△OAP+S△AOB=×2×240+×2×4=244．
答：△ABP的面积为484或476或236或244．
点评： 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
17．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求点A、B的坐标；
（2）若点P在直线上，且横坐标为﹣2，求过点P的反比例函数图象的解析式．
考点： 一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式．
专题： 函数思想．
分析： （1）求点A、B的坐标，即求当y=0、x=0时x、y的取值；
（2）根据点P的横坐标来求P点纵坐标，然后根据待定系数法求过点P的反比例函数图象的解析式．
解答： 解：（1）令y=0，则，
解得x=﹣6．
∴A（﹣6，0）．（1分）
令x=0，则y=3．
∴B（0，3）．（2分）
（2）∵点P在直线上，且横坐标为﹣2，
∴P（﹣2，2）．（4分）
∴过点P的反比例函数图象的解析式为．（5分）
点评： 本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数的解析式．解答该题时，采用了“数形结合”的数学思想．
18．已知一次函数y=kx﹣3的图象经过点M（﹣2，1），求此图象与x、y轴的交点坐标．
考点： 一次函数图象上点的坐标特征．
专题： 计算题；待定系数法．
分析： 把点M的坐标代入一次函数即可求得k的值，然后让横坐标等于0得到图象与y轴的交点；让纵坐标等于0得到图象与y轴的交点．
解答： 解：∵一次函数y=kx﹣3的图象经过点M（﹣2，1），
∴﹣2k﹣3=1．
解得：k=﹣2．
∴此一次函数的解析式为y=﹣2x﹣3．
令y=0，可得x=﹣．
∴一次函数的图象与x轴的交点坐标为（﹣，0）．
令x=0，可得y=﹣3．
∴一次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣3）．
点评： 本题考查的知识点是：在这条直线上的各点的坐标一定适合这条直线的解析式；x轴上的点纵坐标为0；y轴上的点横坐标为0．
19．如图所示，已知直线y=kx﹣2经过M点，求此直线与x轴交点坐标和直线与两坐标轴围成三角形的面积．
考点： 一次函数图象上点的坐标特征．
专题： 数形结合．
分析： 先观察出点M的坐标．再根据待定系数法求出函数解析式，然后求出与坐标轴的交点坐标，可轻松求得三角形面积．
解答： 解：由图象可知，点M（﹣2，4）在直线y=kx﹣2上，
∴﹣2k﹣2=4，
解得：k=﹣3，
∴直线的解析式为y=﹣3x﹣2，
令y=0，可得x=﹣，
∴直线与x轴的交点坐标为：（﹣，0），
令x=0，可得y=﹣2，
∴直线与y轴的交点坐标为（0，﹣2），
∴直线与两坐标轴围成的三角形的面积=××|﹣2|=．
点评： 此题考查了用待定系数法求函数解析式和根据图象与坐标轴的交点求直线与两坐标轴围成三角形的面积，属于基础题．
20．函数y=﹣3x+2的图象上存在点P，使得点P到x轴的距离等于3，求点P的坐标．
考点： 一次函数图象上点的坐标特征．
专题： 计算题．
分析： 直角坐标系中，到x轴的距离等于3的点的集合是直线y=3，y=﹣3，把y的值代入函数解析式求x即可．
解答： 解：存在满足条件的点P．
当y=3时，﹣3x+2=3，解得x=﹣，
当y=﹣3时，﹣3x+2=﹣3，解得x=，
∴P（﹣，3）或（，﹣3）．
点评： 本题考查了直角坐标系中，点到坐标轴的距离问题．点P（a，b）到x轴的距离是|b|，到y轴的距离是|a|．
21．如果一次函数y=（m﹣1）x+m2﹣1与y轴的交点为（0，3），求m的值．
考点： 一次函数图象上点的坐标特征．
分析： 由一次函数与y轴的交点为（0，3），得出m2﹣1=3，m=±2，此时一次项的系数（m﹣1）的值不为0，所以m为±2．
解答： 解：∵一次函数y=（m﹣1）x+m2﹣1与y轴的交点为（0，3），
∴m2﹣1=3，
解得m=±2，
此时一次项的系数（m﹣1）≠0，
所以m=±2．
点评： 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．同时考查了一次函数的定义．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x﹣6与x轴，y轴分别相交于A，B，C在x轴上．若△ABC是等腰三角形，试求点C的坐标．
考点： 一次函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的判定．
分析： 设点C的坐标为（x，0），根据点的对称性分三种情况，若AB=BC，若AC=BC，若AB=AC，分别列式解得．
解答： 解：设点C的坐标为（x，0）．
∵直线y=2x﹣6与x轴，y轴分别相交于A，B，
∴A（3，0），点B（0，﹣6），
∴AB2=OA2+OB2=9+36=45．
若AB=BC，则A、C关于y轴对称，
∴C（﹣3，0）；
若AC=BC，则（x﹣3）2=x2+62，
解得：x=﹣，
∴C（﹣，0）；
若AB=AC，则（x﹣3）2=45，
解得：x=3+3，x=3﹣3；
∴C（3+3，0）或C（3﹣3，0）．
综上：C（﹣3，0）、C（﹣，0）、C（3+3，0）或C（3﹣3，0）．
点评： 此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的判定方法．运用分类讨论是解题的关键．
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