二次函数与几何图形综合题
1.如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上的一个动点且在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线BC于点E．
（1）求点A、B、C的坐标和直线BC的解析式；
（2）求△ODE面积的最大值及相应的点E的坐标；
（3）是否存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵在中，当y＝0时，即，
解得x＝±2．
当x＝0时，即y＝0+4，解得y＝4．
∴点A、B、C的坐标依次是A（－2，0）、B（2，0）、C（0，4）.
设直线BC的解析式为y＝kx＋ｂ（k≠0），
则
解得
∴直线BC的解析式为y＝－2x＋4；
（2）∵点E在直线BC上，
∴设点E的坐标为（x，－2x＋4），
则△ODE的面积S可表示为：
S＝x（－2x＋4）＝－x＋2x＝－（x－1)＋1，
∴当x＝1时，△ODE的面积有最大值1，
此时，－2x＋4＝－2×1＋4＝2，
∴点E的坐标为（1，2）；
（3）存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似，理由如下：
设点P的坐标为（x，－x＋4），0＜x＜2，
∵△OAC与△OPD都是直角三角形，
∴分两种情况：①当△PDO∽△COA时，，有，
解得（不符合题意，舍去），
当x=时，y=-()2+4=2-2.
此时点P的坐标为（,2-2）;
②当△PDO∽△AOC时，有
解得，（不符合题意,舍去）,
当时，,
此时，点P的坐标为（，），
综上可得，满足条件的点P有两个：
（-1,2-2），（，）.
2.如图，已知二次函数y＝ax＋bx＋c的图象经过点A（-4，0），B（-1，3），
C（-3，3）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）设此二次函数的对称轴为直线l，该图象上的点P（ｍ，ｎ）在第三象限，其关于直线l的对称点为M，点M关于y轴的对称点为N，若四边形OAPN的面积为20，求ｍ、ｎ的值.
解：(1)将A（－4，0），B（－1，3），C（－3，3）代入y＝ax＋bx＋ｃ，
得
解得：a＝－1，ｂ＝－4，ｃ＝0．
故此二次函数的解析式为y＝－x－4x；
(2)如解图所示：由题可知，M、N点坐标分别为（－4－ｍ，ｎ），（ｍ＋4，ｎ），
四边形OAPN的面积＝（OA＋NP）÷2×＝20，
即4＝20，
∴＝5．
∵点P（ｍ，ｎ）在第三象限，
∴ｎ＝－5，
∴－ｍ－4ｍ＋5＝0，
解得ｍ＝－5或ｍ＝1（舍去）, 第2题解图
故所求ｍ、ｎ的值分别为－5，－5．
3.如图，在直角坐标系内有点P（1,1）、点C（1,3）和二次函数．
（1）若二次函数的图象经过平移后以点C为顶点，请写出平移后的抛物线的解析式及一种平移的方法；
（2）若（1）中平移后的抛物线与x轴交于点A、点B（A点在B点的左侧），求cos∠PBO的值；
（3）在抛物线上是否存在一点D，使线段OC与PD互相平分？若存在，求出D点的坐标；若不存在，说明理由．
第3题图
解：（1）平移后以C为顶点的抛物线解析式为，
则可知一种移动方式是：将向右平移一个单位长度，再向上平移三个单位长度；
（2）由（1）知移动后的抛物线解析式为：．
令=0，
解出，，
过点P作PM⊥x轴于点M，
∴BM＝，PM＝１，
根据勾股定理得，
，
∴cos∠PBO＝；第3题解图
（3）存在这样的点D．
理由如下：连接OC、PD，
欲使OC与PD互相平分，只要使四边形OPCD为平行四边形，
由题设知，PC∥OD，又PC＝2，PC∥y轴，
∵点D在y轴上，
∴OD＝2，
即D（0，2）．
∵点P（1，1）、点C为（1，3），则OD与PC平行且相等，
∴四边形OPCD为平行四边形．
又∵点D（0，2）在抛物线上，
∴存在点D（0，2），使线段OC与PD相互平分．
第
第
5
|
|
