与切线有关的证明与计算
1.如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，点C在⊙Ｏ上，过点C作⊙Ｏ的切线CM．
（1）求证：∠ACM＝∠ABC;
（2）延长BC到D，BC＝CD，连接AD与CM交于点E，若⊙Ｏ的半径为3，ED＝2，求△ACE的外接圆的半径．
第1题图
（1）证明：如解图，连接OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＋∠BAC＝90°，
又∵CM是⊙O的切线，
∴OC⊥CM，
∴∠ACM＋∠ACO＝90°，
∵CO＝AO，
∴∠BAC＝∠ACO，第1题解图
∴∠ACM＝∠ABC；
(2)解：∵BC＝CD，
∴OC∥AD，
又∵OC⊥CE，
∴AD⊥CE，
∴△AEC是直角三角形，
∴△AEC的外接圆的直径是AC，
又∵∠ABC＋∠BAC＝90°，∠ACM＋∠ECD＝90°，
由（１）知∠ACM＝∠ABC，
∴∠BAC＝∠ECD，
又∵∠ACB＝∠CED＝90°，
∴△ABC∽△CDE，
∴,
∵⊙Ｏ的半径为3，
∴AB＝6，
∴
∴，
∴，
∴，
∴△AEC的外接圆的半径为．
2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．以AB为直径作半圆⊙O交AC于点D．点E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是半圆⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD的长.
第2题图
（1）证明：如解图，连接OD，OE，BD．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴DE＝BE，
在△OBE和△ODE中，
∴△OBE≌△ODE(SSS），
∴∠ODE＝∠OBE＝90°，
且OD为⊙O的半径,
∴DE为⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，第2题解图
∴BC＝AC，
∵BC＝2DE＝4
∴AC＝8，
又∵∠C＝60°，DE＝EC，
∴△DEC为等边三角形，即DC＝DE＝2，
则AD＝AC－CD＝6.
1
|
|
