长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学
高2014届第三次模拟考试 数学（理）试题
命题学校：师大附中审题学校：西安中学 注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间120分钟．
2.答题前，考生须将自己的学校、班级、姓名、学号填写在本试卷指定的位置上．
3.选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．
4.非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其他题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效．
第I卷（选择题共50分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1.若复数是纯虚数，则实数的值为()
或(B)(C)(D)或
已知集合,,则
(A)(B)(C)(D)
3．等差数列中，如果，，则数列前9项的和为
(A)297(B)144(C)99(D)66
4.圆上的点到直线的距离最大值是2(B)1+
(C)(D)1+
5.某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是
(A)45(B)50(C)55(D)60
6.若下框图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于的条件是
(A)(B)(C)(D)
7.下列命题正确的个数是
①命题“”的否定是“”；
函数的最小正周期为”是“”的必要不充分条件；
在上恒成立在上恒成立
④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“”
(A)1(B)2(C)3(D)4
8.已知外接圆的半径为，且．，从圆内随机取一个点，若点取自内的概率恰为，的形状
(A)直角三角形等边三角形钝角三角形等腰直角三角形
双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为
(A)(B)(C)(D)
10.定义域为的函数满足，当时，当时，函数恒成立，则实数的取值范围为
(A)(B)(C)(D)
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11.右图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为
12.若目标函数约束条件仅在点处取得最小值，则的取值范围是
13.函数的最大值为，最小正周期为，则有序数对为.
14.观察下列等式：；；……
则当且时，.（最后结果用表示）
15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
(A)（不等式选讲选做题）己知，若恒成立，利用可求得实数的取值范围是
(B)（几何证明选讲选做题）如图，切圆于点，割线经过圆心，，绕点逆时针旋转到，则的长为
(C)（坐标系与参数方程选做题）极坐标方程为，若以极点为原点，以极轴为
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）
16.（本小题满分12分）已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调增区间；
（Ⅱ）在中，分别是角的对边，且，求的面积.
17.（本小题满分12分）设数列的前项和为，且，其中是不为零的常数．
（Ⅰ）证明：数列是等比数列；
（Ⅱ）当时，数列满足，，求数列的通项公式．
18.（本小题满分12分）如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且分别是的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求锐二面角的余弦值.
19.（本小题满分12分）一个口袋中有个白球和个红球（，且），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖．
(Ⅰ)试用含的代数式表示一次摸球中奖的概率；
(Ⅱ)若，求三次摸球恰有一次中奖的概率；
(Ⅲ)记三次摸球恰有一次中奖的概率为，当为何值时，取最大值
20.（本小题满分13分）已知椭圆的短半轴长为，动点在直线（为半焦距）上．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求以为直径且被直线截得的弦长为的圆的方程；
（Ⅲ）设是椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆交于点，
求证：线段的长为定值，并求出这个定值．
21.（本小题满分14分）设函数
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）当时，若方程在上有两个实数解，求实数的取值范围；
（Ⅲ）证明：当时，
五校联考第三次数学（理）试题第1页共4页
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