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2015年深圳市高三年级第二次调研考试
文科数学参考答案及评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的
主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容
和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后
续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．
一、选择题：本大题每小题5分，满分50分．
12345678910
DADBCDABCB
二、填空题：本大题每小题5分；第14、15两小题中选做一题，如果两题都做，以第14
题的得分为最后得分)，满分20分．
11．16.12．255.13．82π?14．2．15．23.
三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演
算步骤．
16．（本小题满分12分）
在ABC?中，已知π11sin()214A??,1cos(π)2B???.
（1）求sinA与B的值；
（2）若角A，B，C的对边分别为a，b，c，且5a?，求b，c的值.
解：（1）πsin()cos2AA??，
11cos14A??，…………………………………………………………………………………2分
又0πA??，………………………………………………………………………………3分
53sin14A??.………………………………………………………………………………4分
1cos(π)cos2BB?????，且0πB??，
π3B??.………………………………………………………………………………………6分
2
（2）法一：由正弦定理sinsinabAB?，
sin7sinaBbA????，…………………………………………………………………………8分
另由2222cosbacacB???得249255cc???，
解得8c?或3c??（舍去），………………………………………………………………11分
7b??，8c?.………………………………………………………………………………12分
法二：由正弦定理sinsinabAB?，
sin7sinaBbA????，…………………………………………………………………………8分
又??coscosπcos()CABAB??????，
5331111sinsincoscos1421427ABAB???????，……………………10分
2222coscababA????得212549257647c???????，
即8c?，………………………………………………………………………………………11分
7b??，8c?.………………………………………………………………………………12分
法三：由正弦定理sinsinabAB?，
sin7sinaBbA????，…………………………………………………………………………8分
又??sinsinπsin()CABAB?????，
53111343sincoscossin1421427ABAB???????，…………………10分
又由正弦定理sinsincbCB?得sin8sinbCcB???…………………………………………11分
7b??，8c?.………………………………………………………………………………12分
【说明】本题主要考查诱导公式，正、余弦定理，同角三角函数的基本关系，两角和与差的
余弦公式等知识，考查了考生运算求解的能力.
17．（本小题满分12分）
PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）.为了探究
车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5
3
的数据如下表：
（1）根据上表数据，请在下列坐标系中画出散点图；
（2）根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程ybxa??；
（3）若周六同一时间段的车流量是25万辆，试根据（2）求出的线性回归方程，预测此
时PM2.5的浓度为多少（保留整数）？
解：（1）散点图如下图所示.………………………………………………………………2分
（2）5051545758545x??????，6970747879745y??????，………4分
5
1()()4534344564iiixxyy?????????????
，………………………………5分
522222
1()(4)(3)3450iixx??????????
，…………………………………………6分
时间周一周二周三周四周五
车流量x（万辆）5051545758
PM2.5的浓度y（微克/立方米）6970747879
y
5052545658
??
?
??
x
72
70
74
76
78
80
O
x
5052545658
72
70
74
76
78
80
O
y
4
5
1
52
1
()()64
1.2850
()
ii
i
i
i
xxyy
b
xx
?
?
??
???
?
?
?
，…………………………………………………8分
741.28544.88aybx??????，…………………………………………………9分
故y关于x的线性回归方程是：?1.284.88yx??.…………………………………10分
（3）当25x?时，1.28254.8836.8837y?????
所以可以预测此时PM2.5的浓度约为37.…………………………………………12分
【说明】本题主要考查了线性回归分析的相关知识，包括散点图，用最小二乘法求回归直线
方程，以及用回归方程进行预测等知识，考查了考生数据处理和运算能力.
18．（本小题满分14分）
如图，ABC?是边长为4的等边三角形，ABD?是等腰直角三角形，ADBD?，平
面ABC?平面ABD，且EC?平面ABC，2EC?.
（1）证明：//DE平面ABC；
（2）证明：AD?BE.
证明：（1）取AB的中点O，连结DO、CO，…………1分
ABD?是等腰直角三角形，ADBD?，
?DOAB?，122DOAB??，………………2分
又平面ABD?平面ABC，平面ABD平面ABCAB?，
DO?平面ABD，
?DO?平面ABC，………………………………3分
由已知得EC?平面ABC，
?//DOEC，…………………………………………………………………………………4分
又2ECDO??，
D
CA
B
E
O
D
CA
B
E
（第18题图）
5
?四边形DOCE为平行四边形，……………………………………………………………5分
?//DEOC，…………………………………………………………………………………6分
而DE?平面ABC，OC?平面ABC，
?//DE平面ABC.……………………………………………………………………………7分
（2）O为AB的中点，ABC?为等边三角形，
?OCAB?，…………………………………………………………………………………8分
由（1）知DO?平面ABC，而OC?平面ABC，
可得DOOC?，………………………………………………………………………………9分
DOABO?，
OC??平面ABD，…………………………………………………………………………10分
而AD?平面ABD，
?OCAD?，………………………………………………………………………………11分
又//DEOC，
?DEAD?，………………………………………………………………………………12分
而BDAD?，DEBDD?，
AD??平面BDE，…………………………………………………………………………13分
又BE?平面BDE，
?AD?BE.…………………………………………………………………………………14分
【说明】本题主要考查空间中点、线、面的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和逻辑
推理能力．
19．（本小题满分14分）
已知数列??na的前n项和为nS，且满足12a??，1320nnaS????（n?N）.
（1）求2a，3a的值；
（2）求数列??na的通项公式；
（3）是否存在整数对(,)mn，使得等式248nnamam????成立？若存在，请求出所
有满足条件的(,)mn；若不存在，请说明理由.
解：（1）当1n?得21320aS???，解得24a?，………………………………………1分
6
当2n?得32320aS???，2122Saa???，
解得38a??，…………………………………………………………………………………3分
（2）当2n?时，11()3()0nnnnaaSS??????，
即1()30nnnaaa????，12nnaa???（2n?），…………………………………………5分
另由212aa??得12nnaa???，
所以数列??na是首项为2?，公比为2?的等比数列，……………………………………6分
(2)nna???.…………………………………………………………………………………7分
（3）把(2)nna??代入248nnamam????中得2(2)(2)48nnmm??????，
即2(2)8
(2)4
n
nm?????
，……………………………………………………………………………8分
2(2)1688(2)4
(2)4(2)4
nn
nnm?????????????
，
要使m是整数，则须有8
(2)4n??
是整数，
(2)4n???能被8整除，……………………………………………………………………9分
（法一）当1n?时，(2)42n???，84
(2)4n???
，此时2m??，…………………10分
当2n?时，(2)48n???，81
(2)4n???
，此时1m?，………………………………11分
当3n?时，(2)44n????，82
(2)4n????
，此时14m??，………………………12分
当4n?，(2)420n???，8
(2)4n??
不可能是整数，…………………………………13分
综上所求，所求满足条件的整数对有(2,1)?，(1,2)，(14,3)?.………………………14分
（法二）(2)41n?????，2?，4?，8?，
当(2)41n????，无解；…………………………………………………………………10分
7
当(2)42n????，解得1n?时，(2)42n????，2m??；…………………………11分
当(2)44n????，解得3n?时，(2)44n????，14m??；………………………12分
当(2)48n????，解得2n?时，(2)48n???，1m?；……………………………13分
综上所求，所求满足条件的整数对有(2,1)?，(1,2)，(14,3)?.………………………14分
【说明】本题主要考查等比数列的定义，会根据数列的递推关系求数列的前几项以及通项公
式，考查考生运算求解、推理论证、处理变形的能力.
20．（本小题满分14分）
已知动点),(yxM和定点)1,0(N，MN的中点为P，直线MN，OP的斜率之积为
12?，动点M的轨迹为1C．
（1）求曲线1C的方程；
（2）若(,)Qst（0t?）为曲线1C与抛物线2C：22xpy?的公共点，记1C，2C在点
Q处的切线分别为1l，2l，证明：12ll?．
解：（1）由题意得1(,)22xyP?，……………………………………………………………1分
1MNykx???，
1
12
2
OP
y
yk
xx
?
???（0x?），…………………………………………2分
12MNOPkk???，
????21112yyx??????（0x?），…………………………………………………………3分
化简整理可得：2212xy??（0x?），
?曲线C的方程为2212xy??（0x?）．…………………………………………………5分
（注：若过程及结果中没有写0x?，则扣1分）
（2）由题意知0s?且0t?，所以1l，2l的斜率存在且不等于0，
8
设直线1l的方程为1()ytkxs???，即11()ykxtks???，………………………………6分
把它代入1C中并整理得2221111(12)4()2()20kxktksxtks???????，
由题意得：222211116()4(12)2()20ktksktks????????????，
经化简得：21()tks?2112k??，即??222112210skstkt??????有且仅有一解，
所以
122stks??
，由2222st??，得
12skt??
，………………………………………10分
（注：若没有过程，直接得出1l为12sxty????，从而求得
12skt??
，则只得1分）
因为2C经过点Q，所以22spt?，即22spt?，
所以2C的方程为2
2tyxs?
，………………………………………………………………11分
求导得
22''tyxs?
，
222''xsttysss?????
，
即2l的斜率为
22tks?
，……………………………………………………………………13分
121kk????，
12ll??.……………………………………………………………………………………14分
【说明】本题考查了直线的斜率，直线的方程，直线的垂直关系，轨迹方程，椭圆及抛物线
的方程，圆锥曲线在某点处的切线方程等，考查考生数形结合以及综合求解能力．
21．（本小题满分14分）
已知函数()ln(,)Rbfxxaxabx????，且对任意0x?，都有0)1()(??xfxf.
（1）求a，b的关系式；
（2）若)(xf存在两个极值点1x，2x，且12xx?，求出a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，证明0)
2(2?af
，并指出函数()yfx?零点的个数（要求
说明理由）．
解：（1）法一：根据题意，令1x?，可得0)11()1(??ff，
∴(1)0fab????，…………………………………………………………………………1分
9
经验证，可得当ab?时，对任意0x?，都有0)1()(??xfxf，
∴ba?．………………………………………………………………………………………2分
法二：1()()lnlnbafxfxaxxbxxxx???????
baaxbxxx?????，
1()()0baxx????，………………………………………………1分
∴要使上式对任意0x?恒成立，则须有0ba??，即ba?.……………………………2分
（2）由（1）可知()lnafxxaxx???，且0x?，
2
221''()aaxxafxaxxx????????
，………………………………………………………3分
令2()gxaxxa????，
要使)(xf存在两个极值点1x，2x，且12xx?，则须有()ygx?有两个不相等的正数根，
2
0
10
2
140
(0)0
a
a
a
ga
??
?
???
??
?????
?
?????
或2
0
10
2
140
(0)0
a
a
a
ga
??
?
???
?
?????
?
?????
，解得102a??或无解，………………………5分
a?的取值范围102a??,……………………………………………………………………6分
（3）由（2）可知可得210
28a??
，
由题意知2ln
22ln2222ln)2(3322???????aaaaaaaf
，
令32()2lnln2
2xhxxx????
，则24
22223344''()22xxxhxxxx???????
，
而当1(0,)2x?时，4434434(1)0xxxx????????，即''()0hx?，
()hx?在1(0,)2上单调递减，
∴1163()()2ln24ln23lne021616hxh?????????，
10
即当102a??时，0)
2(2?af
．……………………………………………………………8分
函数()yfx?有3个零点，下面给出证明：
由（2）知2
2''()axxafxx????
，2()gxaxxa????，
令()0gx?得：2
11142axa???
，2
21142axa???
，…………………………………9分
当210??a时，()ygx?的对称轴1(1,)2xa????，2140a????，(0)0ga???，
∴21x?，又121xx?，可得11x?，
此时，)(xf在),0(1x上单调递减，),(21xx上单调递增，),(2??x上单调递减，
所以()yfx?在(0,)??最多只有三个不同的零点,………………………………………10分
又∵(1)0f?，
∴()fx在)1,(1x上递增，即1[,1)xx?时，()0fx?恒成立，
而0)
2(2?af
且210
28a??
，所以2
1(,1)2ax?
，即2
1(0,)2ax?
∴2
01(,)2axx??
，使得0)(0?xf，……………………………………………………12分
由0101xx???，得
0
11x?，又0)1(,0)()1(0
0????fxfxf
，…………………13分
∴()fx恰有三个不同的零点：
00
1,1,xx.
综上所述，函数()yfx?恰有3个不同的零点．…………………………………………14分
【说明】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,包括函数的极值、零点，二次方
程根的分布等知识，考查考生综合运用数学知识解决问题的能力，同时也考查函数与方程思
想、化归与转化思想.
命题人：殷木森、李勇、蔡俊杰审题人：魏显峰
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