2014学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷
高三数学（理科）
2015.04
一、填空题（满分56分）
1、已知集合，集合，则
2、若复数（为虚数单位），则
3、已知直线的一个法向量是，则此直线的倾斜角的大小是
4、某中学采用系统抽样的方法从该校高一年级全体800名学生中抽取50名学生进行体能测试。现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数。若从1～16中随机抽取1个数的结果是抽到了7，则在编号为33～48的这16个学生中抽取的一名学生的编号应该是
5、在中，角所对的边分别为，若，，，则的面积为
6、设函数，则不等式的解为
7、直线与曲线（为参数，）的交点坐标是
8、甲、乙两人各进行一次射击，假设两人击中目标的概率分别是0.6和0.7，且射击结果相互独立，则甲、乙至多一人击中目标的概率是
9、矩阵中每一行都构成公比为2的等比数列，第
列各元素之和为，则
（2011届长宁二模理科12题）
10、如图所示：在直三棱柱中，，，
则平面与平面所成的二面角的大小为
11、执行如图所示的程序框图，输出的结果为，二项式
的展开式中项的系数为，则常数
12、设是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，若
函数的值域为，则函数的值域是
13、所在平面上一点满足（，为常数），若的面积为6，则的面积为
14、对于曲线所在平面上的定点，若存在以点为顶点的角，使得对于曲线上的任意两个不同的点恒成立，则称角为曲线相对于点的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线相对于点的“确界角”。曲线相对于坐标原点的“确界角”的大小是
二、选择题（满分20分）
15、下列不等式中，与不等式同解的是（）
A.B.C.D.
16、设为两个随机事件，如果为互斥事件，那么()
A.是必然事件B.是必然事件C.与一定为互斥事件D.与一定不为互斥事件
17、在极坐标系中，与曲线关于直线对称的曲线的极坐标方程是（）
A.B.C.D.
18、已知函数，各项均不相等的数列满足。令
。给出下列三个命题：
（1）存在不少于3项的数列，使得；（2）若数列的通项公式为，则对恒成立；（3）若数列是等差数列，则对恒成立
其中真命题的序号是（）
A.（1）（2）B.（1）（3）C.（2）（3）D.（1）（2）（3）
三、解答题（满分74分）
19、（12分，第1小题6分，第2小题6分）
如图，在中，，斜边，是的中点。现将以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，点为圆锥底面圆周上的一点，且
（1）求该圆锥的全面积；
（2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）
20、（14分，第1小题7分，第2小题7分）
一个随机变量的概率分布律如下：
其中为锐角的三个内角
（1）求的值；
（2）若，，求数学期望的取值范围
21、（14分，第1小题6分，第2小题8分）
用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如右图所示，它的外框是一个等腰梯形，内部是一段抛物线和一根横梁，抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点时梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点，抛物线于梯形下底的两个焊接点为。已知梯形的高是40厘米，两点间的距离为40厘米
（1）求横梁的长度；
（2）求梯形外框的用料长度。
（注：细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确
到1厘米）
22、（16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
已知函数，
（1）求函数的零点；
（2）若直线（为常数）与的图像交于不同的两点，与的图像交于不同的两点，求证：；
（3）求函数的最小值
23、（18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
对于一组向量，，，…，（），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“向量”。
（1）设，若是向量组，，的“向量”，求实数的取值范围；
（2）若，向量组，，，…，（）是否存在“向量”？给出结论并说明理由；
（3）已知，，均是向量组，，的“向量”，其中，。
设在平面直角坐标系中有一点列满足：为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值
2015届徐汇高三数学二模（理）第1页共4页（市二.四点木编辑）
第11题
开始
是
否
输出
结束
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