16
上海中学数学
? 2013年第12期
高中数学恒成立问题的新思考
221000
江苏省徐州市第
一中学刘
颖
对
于恒成立问题
,
教师都会有针对性地进行讲 值。由即得所求
.用导数知
识可知/
(.r)在
解和训练,但学生仍然掌握得不是很好,究其原因是
^
_一
11
)h士減
很多学生对这类恒成立问题的实质并未弄清楚.
(,为增函数’在(上雇
在
近年的数学高考题及高考模拟题中经常出现
随
,在(
+
,+
oo)
上为增函数
.所
以
可得
恒成立问题,这样的题目一般综合性强,考査函数、 仏
数列、不等式及多方面的知识,同时考查学生分析问 f
/(
1
)>0
题、解决问
题、综合
运用知
识的能力
,因
此备受命题
j
仏
z
,即解
之得
a
=
y.
者青睐.
1
/(—1)>0
_
、
“恒成
立
”问
题的两种
基本解决思想方法展
示
解析2:已知^
?的范围
,求a的范围,可以将a
分离出来,但是此时需分.r取值的三种情况讨论.
例1设k
|<
l,求
正常数
a,使得.r
+
or
3
.
⑴r
〉0时,
众
广+
_
|
_
f
-3
,卞
面
目标转而去
解析
1
:原
命
题等价于
a.r
3
-
:++
>
0个旦成求函数
/(.r)=,r
-2+
j.r
-3的
最
大值.
这里
利用导
立,故本
题转而去求函数/(
.
r
)=a.r3-.r+
+的最小 数的知识可以解决;
分点. 我们可以在BC上取更多的点来进行探究,也
上面的讨论中,我们选择的是底边BC的
两端 可
以改变fi、_F为中点这一属性进行探索,可以得到
点的情形,如果选择B、C上的其他点,有没有比较
许
多令人意想不到的结果.
好的结果呢?平时徒手将一边准确地3等分都比较难,但这
图16中H与N分别是底边BC的
两
个
4等分
里可
以看到,
可以徒手
得到很多奇数甚
至是素数
的
点,即BH
=
CiV
=
BC/4.
通过计算
,可以
证明等分点
,
这
一点相当令
人意外
.
与FD的交点为复印纸的7等分点,即点将
=
复印纸左右分成3:4,上下分成2:5.而￡N与
―、w
—
FD的交点N''是复印纸的9.等分点,即点iV
''将复
印笔者通过复印纸的三个方面的复印纸数理研究
纸左右分成5:4,
上下分成
2:7
.
的新成果,展示了复印纸的神奇的一面
.实际
上
这方
AED
AED
面的研究成果非常多,比如用复印纸折封闭立体、用
柳珊
職力
1/2W
醒
,
藤
喊糾
:1?腾
’
F^j\
许多内容由于篇幅所限不能一一展示.数学新课程
/\
F
/\ 实施中强调探究教学、研究型学习、问题解决学习,
/\
I\需要这方面的资源作保证
,可惜我国在教材
开发方
8“N
C
B1
M
C
面原创性成果还不多.
图I6
图
17 在我国,与折纸有关的教学探究也不算少,中考
图17中J、M分别是底边
BC的
两个
8等
分点, 中也经常见到与折纸有关的问题,但是国内的相关
即(3/8)BC.通过计算,可以证明￡7与 探究所论述的往往是比较特殊的图形,很少能做广
FD的交点广为复印纸的15等分点,即点J
''将复印
泛、深人的探
讨
,离结论上升为广为人知的研究成果
纸左右分成7:8,
上
下
分
成4:11.而EM与FD的
还有较大的距离
.
而如何总结归纳已有研究成果,并
交点M''是复印纸的17等分点,即M''点将复印纸左
将之用来促进新课程的实施,是摆在数学教育工作
右分成9:8,上下分成4:13. 者前面的一个重要课题.
上海中学
数学.2013年第12期
(2) x<0时’《<.厂2+知下法同(1); 所以06[O,|],^(0)
=
(cos0-2)+^J
=2
+46
(3) .r
—
0时,
不等式恒成乂
,a6R;
[
1,4—2/^],所以w
〉
4—2/2
.
综上可以求得a的值为土.解析2:由cos20
—
3
〉
2wcos0
—
4讲可得2cos
2
0
3
_4
〉2
mcos0
—
4
?x,从
而命
题转化为求c
os20—
一般来说
,对于恒成
立
问题,分离参数法和利用
兀
一
函数的性质都可以解决.至于哪种方法解决简单,要
mcOS0+
2
m
_2
>o,0e[o,f
]恒成立的充要条件?
看实际问题.变量好分离的一般采用分离变量法,不
令
(=(;030,《
2
_
?^+2?1
—2
〉
0,?6[0,1]恒成
立
.对
好分离的利用函数的性质解决.
于此问题
又有
两种解法
.①利用二次函数根的分布
二、常
见的
两类
问
题
的解法比较
例2已知/(.r)是定义在[一1,1]上的奇函数,知
识d<
0或
j
2
、
"
^
2
^
^
,从而得w范围;
当a,66[
-
1,1],
且a+
b
^Q时,有
/(a)
:{
(6)
〉0,
2m~2
>0
a十办1一
m+2?n
—2
>
0
(1)判断函
数/(
.r)的
单调性
,并
证明;
(2)若/(1)=
②分区
间
讨论
方法:令g(0
=
i
2
—
+
2,
1,
且/
(x
X
w
2
—
2?
w
6
+
l对
所有[
―
1,1],66
m
[
―
1,1]恒成
立
,求实数m的取
值
范围.
[
f<0
(
f>l
分
析:问
题
(1)利用函数单调性的
证明不难得 L
⑴〉
o
|_
>
0
’
m
到/(.r)在[_1,1]
上
为增函数,则问题(2)等价
于
2
l
<
w
2—
2m6+l对所有66[
—
1,1]恒成
立
,有以下
范围.
两种解法
.
与二次函数问题结合在一起的恒成
立
问题,要
解析1:同例1中的法1一样用分离变量的方 复杂
一
些
,
用哪种方法要视问题环
境
而定.
一般用分
法
,
也要分
w
〉
0,m
<
0和m
=
0
三种情况讨论.
离变量的方式,当变量不好分离时用二次函数的性
解析
2:若将/(6)
=
w
2
-
2w6+l,66[-l,l]
质解,但二次函数根的分布是一个难点,应尽量
看成是6的一次函数或常函数,则问题会简化很多.
/(
-
D^
l
恒成
立
问题不仅涉及到一次函数、二次函数的
由直线的单调性,易得,从而可以求得性质
、图像,还以方程、不等式和数列等各部分知识
—
2或W
=
0或m
>
2.
“
为载体,考查等价转化、分类讨论、数形结合、函数和
.
与一次
?
函数(或常函
数
)结合在
一
起的恒成立问
方程等数学
思
想
方
法,这非常有利
于考
查学生的综
题,
一般用一次函数
(或常函数)的图像和性质去解合解题能力,在培养学生思维的灵活性、创造性等方
比较简便.
面都将起到积极的作用.
例3已知奇函数/(t)的定义域为R,且/Cr)
三、
反
思与
心得
在[
0,
+
oo)
上是增函数,
是否存在实数w,使得
‘
^
恒成立问
题可
以嵌人各部分知
识
进行考查,题
/(cos20-3)+/(im-2mcosd)>/(O)Mde[O,j]目灵活多
变
,
从而造成学生掌握、解决不
好
的情况
.
恒成立?若存在,试求出符合条件的所有实数w的 实际上解决此类问题的基本思想方法和基本问题类
取值范围
,若
不存在
,
试
说明
理由
. 型还是很好分析的,而且在两种方法比较之后,还应
分析:由奇函数的性质,/(COS20
—3
)+/(4M
—
该在这个基础上更进一步分析、总
结
,以利于学
生更
2mcos0)
〉/(
O)等价
于/
(cos20
—
3)
〉/(
2mcos0
—
好
地分析和掌握
.
4m),又由
题意知/
(.r)为R
上的增函数
,所以命
题
这两种方法表面上不同,实质却是
一样的
,都是
即求cos20
-
3
〉
2舰
对所有06[0,爷]t宜将
问题转化为求函数的最值问题’这正体现了新课
.
2
程的髙考命题立意—注重函数思想.当然,这是两
成立的充要条件.下面也给出两种解法.
种最常见的方式,有些时候有的问题并不笛要转化
解析1:由cos20—3>2mcos0—4m得w〉
反而简便,如案例:对任意.r6R,不等式
I
.r
|
恒
二■、,则命题转化为求只⑷=9r
2
二、
,
成立,求a的范围?在这个问题中,可以利用广UI
U
0S°
}
2
_
^C0S°
2
_
与两个函数的图像就可以得到结论;再如
06[0,f
]的最大值?足(0)=
2(coJ~2)
=
°
^J-2, 案例:不等式々(4-t)在.r6[0,3]上恒成立,
18上海中学数学? 2013年第12期
现实生活问题与
一次函
数
529224
广东省台山市
任
远中学陈泽宁
利用一次函数的图像与性质来分析问题是现实 间的函数关系式;
世界的一种研究手段,它是根据一次函数的性质,利(3)在(2)的条件下,若乙用户2、3月份共用气
用实际问题构建出一次函数模型,从而达到解决实 175m3(3月份用气量低于2月份用气量),
共
缴费
际问题的目的.历年的中考常以不同的题型出现这 455元,乙用户2、3月份的用气量各是多少?
类问题
,
使之成为中考数学的重点考查内容
,笔者以
分析
:(1)根
据单价
X数
量
=总
价就可
以求出
2013年中考不同题型的
试题来
研究此
问题. 3月份应
该
缴纳的费用;
一图
像户皂题
(2)
■
统计
=总
、&
、
的关系建立方程就可以求出《值,再从0<.r<75,
图像信息题是由图像给出数据信息,探求变量之 75<.r
<
125和
工〉
125
运用待
定系数
法分别
表
示
出
间关系,再综合运用有关函数知识加以分析,从而达到
j与
.r的函数关系式即可;
解决实际问题的题型?
这类
问
题来源广泛
,
蕴含信
息丰(3)
设乙用户
2月份用气.rm
3
,则3月
份用气
富,能培养学生学会收集、整理和加工彳目息的能力?
(
175_.r)m3,分
三种情况:
.r〉125,175
—
.r
^
75
例1(2013江苏徐州)为增强公民的节约意
时
,75<.r
<
125,175
_
.r
<
75时,当75<.r
<
125,
识
,合
理利用天
然气资源,某市自1月1日起对市区
75<
175—.r
<
125
时分别建立方程求解即可
.
民用管道天然气价格进行调整,实行阶梯式气价,调
解:(
1)由
题意,得:
60X2
.
5
=
150(
元);
整后的收费价格如表1所示:
(
2)由
题意
,
得:
a=(325-75X2.5)十(125
—
75),a
=2
.75,/.a+0.25
=
3,
每月用气
量单价
(
元/
m
3
)
设
OA的解析
式为:y!
=h:r
,则有2.5X75=
不超出
75m
3
的部分.
2.5
75^
,,/.^1
=2
.5,
超出75m3不超出125m
3的部
分
a?
?
?线
段
OA的解析式为
:y,
=2
.
5
.r(0
《
.r
<
75)
;
超出125m3的部分
a+0.25
设线段的解析式为:y2
=、
.r+6,由图像,得
f
187.5
=
75k2+b ,k2=2.75
(1)
若甲用户
3月份的用
38g
|
_
jc
|
325
=
125/fe2+6
’
|
&=18
.75
’
气量为
—
60
m
3
,则应缴费
.
.
.线
段的解析式为:
^
=2
.
75.r
_
18
.
75(75
J
;
325 "7
]|
<
.:r
<
125);(385
—
325)+3
=20
,故C(145,385),
设
(2)若调价后每月支出的
|射线BC的解析式为;由图像,得
燃气费为
少
元)
,每月的用气
量
X
!
I;.
,325
=
125^+6,
,^
=
3
为.r(吃),〉与工
之间的关系如o75125‘
(
385
=
145^+^
>
,
=
-50
''
图1所示,求a的值及:y与工之
i
''
.
.
.射
线
BC的
解析式为:y3
=3
x
-50
(.r〉125).
求a的范围.在这个问题中,利用y=和函数方法,让学生能从较髙的角度审视方程、不等
7.K4—.r)两个函数的图像就可以得到结论. 式、数列、向量等与函数相关的问题,以提高学生分
但由此更可以看出,恒成立问题以函数为载体
析问题
、
解决问题的能力
.当然,
此处也只是恒成立
|±帛, 问题的一角,更多的还需要在实际学习中归纳,总结
新课程
的目标是培养
具
有创新意
识
,探索精神
掘?
的高素质人才,这就增添了许多具有研究价值的领
域,提供了拓展学生思维的视野,高考命
题越来越多
地
体现
着
这
方
面
的
要
求.
所
以在高中数学教学中,
要
[1]单埠等.普通高中课程标准实验教科书?数学必修1
不断强化函数的应用意识
,培
养
学生的函数观念和 [M].江苏教育出版社,Mil.
|
|
