2013年10月下旬(高中)理论与实践中小学数学灌曩
在人教版高中《数学o》中，“函数单调性”的概
念是借助几何直观，通过观察一次函数、二次函数图
像的升降性而抽象出来的．具体描述为：
如果对于定义域，内某个区间D上的任意两个自
变量的值，：，当<时，都有)<
))>_厂(：))，那么就说函数)在区间D
上是增(减)函数．
这一定义，乃是一种形式化的数学表示，在认识
上具有一定的跳跃性．学生会产生思维障碍，觉得是
天上掉下来的“林妹妹”．为什么要“任意两个”啊?突
兀得很．
能否基于学生的现有基础，运用一定的教学方法
和教学组织形式，使学生经历“函数单调性”的发现、
探究和解决的过程，进而掌握一些基本的数学技能、
数学思想方法，积累基本的数学活动经验?带着这一
问题，笔者向众多一线数学教师讨教，多数人认为：束
缚教学的最大桎梏是函数单调性的无限性，基于高中
学生的认知能力，还是糊涂些吧，高中数学有时也需
要“糊涂”．
函数单调性的定义真的属于“难得糊涂”一类的
教学内容吗?笔者对此作了认真研究和深层思考，得
出诸多理由认为：函数单调性的教学不能“糊涂”．
1．诸多铺设，只为函数单调性的登台亮相——不
该“糊涂”
“函数单调性”是函数中最抽象的性质之一，为
使学生能正确理解并掌握这～概念，数学教材从小学
开始便作了许多准备和铺垫．
在小学教材[2]中，对函数单调性的把握是以直
观感知为主要途径．例如，在小学三年级的“分数的初
步认识”中，通过分月饼的游戏，让学生感知，随着等
分份数的增多，每人得到的月饼就越小；在小学四年
级的“三位数乘两位数”中，通过购物活动，让学生发
现，在件数不变的情况下，费用会随着单价的提高而
增大；在小学六年级的“圆柱与圆锥”中，通过实验观
察，让学生清楚，当圆柱(锥)的底面积不变时，圆柱
(锥)的体积会随着高度的增高而增大．当圆柱(锥)
的体积不变时，圆柱(锥)的高度会随着底面积的增
大而减小．这种借用实际事例作为感官传递物，使学
生在感觉的基础上对函数单调性的概念(不涉及自变
量范围)产生初步的描述性的知觉(自然语言)，是小
学数学教材刻意安排的一条经线．
在初中教材[3]中，对函数单调性的感悟则以图
像直观为主要抓手．例如，在八年级的一次函数中，通
过列表、描点、画出一次函数图像等步骤，让学生直观
了解一次函数的单调性(与一次项系数有关)；在九
年级的反比例函数和二次函数中，通过对图像的观察
体验，让学生形象感知反比例函数和二次函数的局部
单调性(涉及自变量的范围)．这种坚持以“图形语
言”为主渠道，立足函数图像的直观性，通过对一些简
单初等函数图像的分析研究，为抽象的函数单调性概
念提供几何“观是初中教材的一大伏笔．
在高中数学中，函数单调性作为重要的知识点被
贯串于教学全过程，并不断地加以深化和提高．高一
年级，要求在诸多铺垫的基础上，抽象出函数单凋性
的严格定义，要将先前感知的“自然语言”、“图形语
言”转化为“符号语言”，并能利用“符号语言”(定义)
对一些简单的初等函数的单调性做出判断(初步应
用)；高二年级，以函数单调性为典范，侧重于通性、通
法的描述，体会数学定义、数学方法的一般性，强化数
学基本技能的掌握；高三年级，侧重于函数单调性的
综合应用，如与导数、不等式等结合．这种多层次，多
角度地认识和剖析函数的单调性，正是新教材循序渐
进、螺旋式上升的一大亮点．
诸多铺垫，九年坚守，数学教材如此处心积虑，苦
心经营，皆因函数单调性的特殊地位和作用．如果我
们将函数单调性定义的产生过程“糊涂”掉，那么，我
们先前所作的一切努力将会功亏一篑，感悟数学的通
性、通法将成无源之水，无本之木，螺旋式上升的整体
教学结构也将是断线的珍珠，无梁之殿堂．
2．承前启后，源自函数单调性的枢纽功能——不
能“糊涂”
“函数单调性”是函数中最基本的性质之一，被
贯穿在中小学课程的始终，即使在大学的数学课程
中，它仍然是一个奠基式的重要概念．
函数单调性是高中数学课程的枢纽工程．首先，
单调性作为函数的重要性质，它决定了函数图像的基
ll中小学数学理i仑与实践………………-?lJl稿o月下旬(高中)
本形状，决定了函数的变化规律，这就有了极值点、零
点、极值、最值、值域、单调区间等最基本的数学概念．
其次，单调性作为一种特殊的对应，它给一一对应、反
函数、方程、不等式、数值逼近等数学概念和数学方法
提供了最直观的几何解释．导数作为研究一元函数变
化率的重要工具，更是极大地丰富了函数单调性的内
涵和外延，切线、极限、拐点、凹凸性等概念都与函数
或导函数的单调性息息相关．
函数单调性也是大学数学课程的基础知识．在数
学分析中，单调性与导数的有机结合，打开了微分学
的研究空间；拉格朗日中值定理的证明就用到单调性
与导数的相关知识；导函数()在‰的某个小领域
的单调性，能决定原函数厂()在处是否取得极值；
二元函数厂(，，)关于的单调性，能用来研究厂(，Y)
的连续性．在实变函数中，囿变函数的单调性是高中
初等函数单调性的继续和深化；坐标函数
．(￡)：[a，b]的单调性，能保证n维空间R中的连续
曲线-厂((t)(t)(t))：[o，b]长度的存在性．在
应用数学中，函数的单调性被更多地应用在问题解的
最优化上．
函数单调性的枢纽作用还体现在数学思想方法
的传承和借鉴上．单调性是学生在函数学习中碰到的
第一个性质，强化单调性概念的发现、形成和定义的
探究过程，不仅为后续学习函数的奇偶性、对称性、周
期性等内容采集基本的数学思想和方法，还为数学概
念的产生、探究和形式化过程提供可一脉相传的数学
活动经验．
毋庸置疑，函数单调性是高中及至大学数学课程
的重要载体，也是数学概念形式化的典型案例．倘若
我们将函数单调性的产生过程“糊涂”掉，就好比摩
天大楼省略坚固的基础工程，跨海大桥免去沉稳的桥
墩建没，不利于学生对函数单调性的正确把握和后续
的学习与发展，也有悖于教材的设计初衷．
3．突破无限，彰显函数单调性的表率作用——切
忌“糊涂”
函数单调性概念难懂，实质是“无限”的桎梏．如
果函数Y=-厂()的定义域，是一个有限集，那么，判断
其是否单调就很容易了，只要按自变量的大小顺序，
逐项检验函数值是否都比前一项大(小)就是．但是，
如果函数Y=_厂()的定义域j是像区间[o，b]或是实
数集R等那样的无限集合，我们就无法一一枚举，也
没有相邻两项可以比较了．如何跨越“有限”到达“无
限”的彼岸?给函数单调性下数学定义的探究过程，就
是一个挣脱“无限”桎梏的蜕变过程，也是一次直面
“无限”的破冰之旅，切不可“糊涂”．
对“任意的”对象进行处理，以实现一个也不少
的“无限”目标．这种用“任意”来实现“无限”的数学
思想，是函数单调性中应对“无限”的主旋律．这种思
一2．
想，学生在之前的数学学习中已经体验过，试看两例．
例lA，B是两个无穷集合，要证明A曰．根据
定义，需要逐一验证中的每一个元素都属于曰．但
是，因为A中有无限个元素，一个一个地举例验证，没
完没了，不可行也不可能．于是，为了跨越“无限”的
障碍，就一般性地“任取”一个元素A，若能证明
∈B就行了．
例2要证明在定义域为无限集合的区间[，b]
上函数厂()=g()．那就只需要证明：对任意的‰∈
[Ⅱ，b]，都有，(‰)=g()．
例1和例2的数学方法是一样的．通过对“任意一
个”进行操作，实现“无限”目标的数学方法，是数学
语言的一次大改革的产物，也是数学中处理“无限”
的最基本的思想．这种思想方法，在后续的学习中将
会经常用到．如极限定义中的V—j形式，微积分严
格化中的s一6语言．和函数单调性一样，它们都体现
了这样一个转换过程：有限形式的定义，反映的是无
限的内涵．
自然数集是无限集，通过相邻两项的“传递”，能
到达自然数后面的“永远”．这种借“传递”束触及“永
远”的数学方法，在函数的单凋性中首次亮相．这种数
学方法在后续的学习中将会经常采用，再看两例．
例3等差(比)数列是一个无穷数列．如何定义
这个无穷数列呢?逐一说明，只能解决前面的有限项，
如何应对后面的“无穷”呢?好在“相等”具备“传递
性”(n=b，b=c毒n=c)，这样我们只须说明相邻两
n
项的等量关系(传递性)n一n～。=d(=q)，再结
Ⅱn
一1
合首项n．，就能定义数列后面的“无穷”了．
例4数学归纳法是用来证明与自然数相关的命
题的，也涉及到“无限”的制约．如何将“无限”的本质
转化为“有限”的形式?数学归纳法证明格式中的第2
步，就是寻求相邻两个命题之间是否具有“真”或
“假”的“传递性”．
例3和例4的数学思想是相同的．通过相邻两项
的“传递性”来承载“永远”的数学思想，是应对与自
然数有关的“无限”问题的首选策略．
数学是正面研究无限的科学，“无限”在数学中
屡见不鲜，任何采用回避或是“糊涂”的做法，都是不
可取的．跨越“无限”，应从函数单调性的教学起锚扬
帆．
4．返璞归真，追寻函数单调性的教育形态——告
别“糊涂”
形式化是数学的基本特征之一，学习形式化的表
达是数学学习的一项基本要求．如何将函数单讽性的
概念形式化?笔者以为还是要做好“无限”这篇文章．
以下是笔者施教的几个环节，主旨是：努力揭示数学
概念的逐步形成过程，体会蕴涵在其中的数学思想方
2013年l0月下旬(高中)理论与突践
法，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态
环节1：直观感知，给函数单调性绘几何定义．
由图像感知．观察一次函数Y=和二次函数Y=
的图像(图1)，得到如下结论：函数厂()=的图像
在R上是上升的；函数，()=的图像在(一。o，0)
上是下降的，在(0，+。。)上是上升的(与初中教学接
轨)
l
～
／O
I
．}
D
tl‘2''
图1
由特殊到一般，给函数单调性下几何定义：如图
2，我们称函数_厂()在(。，b)上是单调递增的，在
(b，c)上是单调递减的．
环节2：理性思考，给函数单调性作文字描述．
让数据说话．分析函数Y=-厂()(图2)，在区间
(o，b)和(b，c)中，函数值Y与自变量之间的变化关
系．给函数单调性作文字(自然语言)定义：一般地，
设函数厂()的定义域为如果在定义域，内某个区间
D上，随着的增大，相应的厂()也随着增大(减小)，
则称函数，()在区问D上是增(减)函数
●‘
、==
t／：!～
／口b图
2
环节3：突破“无限”，给函数单调性下“数学”定义．
用问题铺垫．通过设置系列问题，暴露跨越“无
限”的思维过程，让学生感悟数学的研究方法，积累基
本的数学活动经验．
问题1：如何“数学”地判断“随着的增大，相应
的_厂()也随着增大(减小)”?
若定义域，是一个有限集，只须按自变量的大小
顺序，逐项检验函数值是否都比前一项大(小)即可．
但是，对于定义域为无限集的(o，6)，穷举法显然不
行，也找不到相邻的两项进行比较．因此，问题的关键
是如何跨越“无限”．
问题2：以往应对“无限”都有哪些方法?
回顾例1、例2的处理方式，得知用“任意”实现
“无限”是数学中处理“无限”的最常用方法．
中小学数学慢
因为(。，b)是无限集，所以，在(。，b)上任意选取
的数组也应该是无限集{}(几乎每个学生都这样认
为)．即在区间(口，b)上任取1<2<3<…<<
…
，再判断是否有，()<_厂()<，()<…<
，()<或1)>2)>，(3)>…>)>
…(3)成立．
问题3：(3)式仍然是一个涉及“无限”的不等式
链，如何应对这个“无限”?
观察(3)式，发现这一“无限”的特殊性，即与自然
数有关，且有相邻项．倘若依次两两进行比较，只能解
决前面的有限项，将问题聚焦到不等式链后面的“永
远”．
问题4：如何解决(3)式后面的“永远”?
回首初中信息技术课程[4]中S=1+2+3+…
+n的计算方法，无论多大的n，只要通过循环“传
递”，S+j|s总能得到S；盘点多米诺骨牌的游
戏过程，发现后面的骨牌并不需要一一推倒，靠“传
递”(第k块倒下，碰倒第k+1块)也能保证后面的
“永远”倒下．结论：“传递”能到达自然数后面的“永
远”，是应对与自然数相关的“无限”问题的有效策
略．
问题5：不等式具有“传递性”吗?
显然不等式具有“传递性”(o>b，b>cj口>
c)，(3)式中，若A)
，()<，(。)<八X)再结合“用任意”实现“无限”
的数学思想，便可将(3)式的“无限”形式转化为：对于
任意两个自变量的值，，当<：时，都有-厂(。)
<：)(1厂()>．厂(。))．这样，函数单调性的形式化
定义便水到渠成了．
以跨越“无限”为目标，以图形语言、自然语言到
数学语言为主线，如此“咬文嚼字”一番，数学的严谨
性顿然显现，学生也不会再感到突然了．用“任意”实
现“无限”，靠“传递”承载“永远”，高中数学中突破无
限的两种常用的数学思想方法，均在函数单调性的概
念中隐含，不加以挖掘，岂非可惜?
总之，函数单调性承载了厚重的数学功能，藏匿
了诸多的数学思想，有待我们去挖掘和研究，任何将
函数单调性的形式化的定义直接灌输给学生的“糊
涂”做法是不可取的．
参考文献：
[1]刘绍学．普通高中课程标准实验教科书数学
(必修o)A版[M]．北京：人民教育出版社，2007．
[2]卢江、杨刚．义务教育课程标准实验教科书
数学[M]．北京：人民教育出版社，2008．
[3]范良火．义务教育课程标准实验教科书数学
[M]．杭州：浙江教育出版社，2006．
[4]王劲松．义务教育初中课本(试用)信息技术
(九年级)[M]．杭州：浙江教育出版社，2009．
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