2o13~10月下旬(高中)…………………．高考研究中小学数予囊
——评析2．013年高考全I!l新课标卷理科两卷中的选择压轴题
湖北省英山一中(438700)王胜林
许多高中教师喜欢研究高考试题，在陆续解答今
年各地高考试题的过程中，笔者对全国新课标卷理科
两份试卷中的选择压轴题印象深刻，它们立足双基，
内涵丰富，解题入口宽，解题路径多，能力要求高，可
较好地考查考生的数学素养．
例1(全国新课标卷I理12)设AA…BC的三
边长分别为。～b．r△AB…C的面积为S(n=1，2，
3，…)，{；6l>cl，b1+1=2al，Ⅱ1=(z，b+l=
，。：，则()．
(A){S}为递减数列
(B){S}为递增数列
(c)S一．}为递增数列，{S}为递减数列
(D){S}为递减数列，{S：}为递增数列
分析：本题将生成的数列组{。，b，c}作为三角
形的三边，巧妙地将数列知识与三角形的周长、面积
融合在一起．可较好地考查数列知识、不等式性质、解
三角形知识等．并且，随着解法的不同，还可考查均值
不等式知识、“二分法”思想、数形结合思想或特殊与
一般的辩证关系等，对考生的计算推理能力、分析化
归能力、合情推理能力和探究发现能力的要求都较
高．文[1j已给出了四种解法，受益非浅，本文再给出
五种思路，聊以助兴．
思路1先从n=1，2，3进行试探，由已知得b
cI+n131，bj+nl1
．
3l
—一l+t，zT。l+。I，
．
·
．+c：=(c。+÷)+(÷c。+÷．)=C1+
=2=aI，．·．：÷÷
c，==}：+÷．·．63+c，=(÷c+3—2+02，‘。‘+3l2+
16
：)+(1c36)=c+6：=c．+6，=2…，
猜想AABC的周长o+b+C=3al(定值)．
联想海伦公式s=
p(p一口)(P—b)(P—c)，
变形得S=
,／p(p—n)l(P一(b+c)P+b．c)j，兵中P
1(。+6+c)
，p(p—n)和p一(6+c)p都是定
值，因而S与6c具有相同的增减性，故要研究6c
的增减性．根据已有的研究，知6：c=(3c，+
16
，)(÷c+36，)=素(c．+6。)+16lc>6Ic，
63c=(÷c+16)·({c+36)=素(c+
+寺6c>6zcz>6，c一，猜想6c递增，所以{S}
为递增数列，选(B)．
点评：推理出三角形周长为定值后，敏锐地发现
S与b．c具有相同的增减性，对函数意识和思维深刻
性的要求较高．
思路2由已知，得6+c=—1(6+c)+
。，，．·．6+，+。+．一2。．：(6+Cn一2。．)，．·．6+Cn
=÷一+Cn_1—2a1)=(÷)一+Cn_2—
2a1)…·=(÷)(6I十cl一2a1)=o，
一4气一
薯l申小学数学高考研究……………………20l3年10月下旬(高中)
．
‘
．b+c=2aI(定值)．
又lb+一c+。I=}÷(6一Cn)Ilb一cl=
÷一一。．-(÷)一：一．-…=
()(6j-c一)．
．．1b一I单调递减．画出以B，C为焦点，20。
为长轴的椭圆，A，A，…，A在第一象限的椭圆上，则
它们随着n的增大逐渐靠近短半轴的上顶点A，即以
BC为底边的AA…BC的高越来越大，故{S}递增．
点评：此法与文[1]的解法3有相通之处，探索
b。一c+时，因正负性不确定而取绝对值，较好地回
避了分类讨论．当然，也可退到初始的几项，借助数轴
的直观性思考：如图1，易知C1，62，C3，b4逐渐靠近nl，6l，
c2，6j，c也逐渐靠近Ⅱ，当6，c越趋近于相等时，以
曰为底边的三角形的高越大，即面积越大(思路3)．
64c
b2C3。lb3。26
图1
思路4问题中隐含了特殊与一般的辩证关系，
故可考虑取特殊数组，如取n。=8，b=10，C=6，则
s=24；。：=8，6：=7，c：=9~cosC2=
=一手，s。=1×56×√1一()。=12,B24
=8，b3=8．5，c3=7．5，求得S3=6v／2l>S2>SI，
故选(B)．
当然，S：，S也可用海伦公式求解(思路5)．
反思1问题的本质是什么?
得到6+为定值后，由b：÷和c：
÷aL，发现类似“二分法”，即6，存在逐步逼近的
趋势，结合均值不等式中取“=”的条件，感悟到随着
n的变大～b，c越接近时其积越大，这是立意“多考点
想少考点算”，需要考生具有较好的数感，对思维深刻
性和数学素养的要求较高．
反思2命题者为什么命出迷惑支(C)和(D)
呢?
一是文[1]解法3的过程，如果出错即会错选此
二选支．二是用错三角形面积公式，即S=
一46．
÷n6sc=1(％+62一c)=1+2aj(6
)5一s=(6+)一(6)]
=_(6一]=_6n)''_又+
c为定值后，因为6一c=专～{=
，6>。，所以，当为奇数时，6>。；当n为偶
数时，b
故当n为奇数时，S>S；当n为偶数时，S‘
S+。，选(D)．
例2(全国新课标卷lI理12)已知点A(一1，
0)，B(1，0)，c(o，1)，直线Y=n+6(。>0)将
AABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是
()．
(A)(0，1)
(B)(1_,／f，-2)
(c)(1—2，了1]
(D÷，÷)
分析：本题是直线平分三角形面积问题，随着解
法的不同，可较好地考查三角形面积、解方程组、不等
式知识、函数知识，以及分类与整合思想、数形结合思
想、运动变化思想、极限思想或特殊与一般的辩证思
想等，对考生的数学能力和数学素养的要求都较高．
方法1：(1)当直线Y=a+6交AC、BC于E、F
…由可得E(，)·
LV=0+D．一一‘
由得F(a+l，)．因为点在线Lv=黜+6．、0十I
段Ac上，所以一1≤L二<0
，解得0<Ⅱ≤6<1．
因为s=1c·FC)=
=
1
，即n2=一2b+46—1()，．·．0<一2b。+46
—
1≤6j1一<6≤了1；(2)当直线y=。+6交
AB、Bc于、Ⅳ时，可求得=一，y=}{，由条
20l3年10月下旬(高中)…………………·高考研究
件知(1十一)一a_+b
a1
—1，即
zo
=。；由点在线段
n十I—
OA上，得0<一一<1，即n>6>0；由点Ⅳ在线段曰c
a
上，得o<等<1J6<1．解不等式b2>6>
t)，得÷<6<一}，综上得1一譬<6<÷。
方法2：设直线Y=ax6分别交边AC、BC、OC于
、Ⅳ、D，目朋c=m、NC=，贝0由s△=—}可得mn
：1．显然0
n
≤，m≠n，所以譬≤”≤一．m≠I．设_l!)到1G、
曰c的距离为f，则有—t=丽DN+—D丽M=1
,~～rv2
IV1117n几VV
：—一
，目l】{一：+．令，)：巩+，则由
111,+J7
≤r丌≤日m≠l，得八m)的值域为(2，l，所以
2<{一≤≤丁l，因为6=1__CD：1
一
，所以I__孚6≤≥．
方法3：当直线Y=ax+b平行于AB时，设该直线
~OC-YD点，则一i三角形相似的知识，得()=
÷，即()=一}6=1一5-，所以n一0时，6
／O
一1一，故排除(A)(D)；比较(B)与(C)，取只适合
一个选支的6值，如6=-(了I一，÷)，代入()
式，得n：一-v~446
一∈(O，1)，满足题意，故选(B)．
点评：差异比较后的取值排除(检验)法，解某些
选择题时非常有效．
方法4：同方法3排除(A)(D)后，当a=1时，设
直线y=+6交嚣、BC、OC-#P、Q、，则有()=
()=1PQ-l''所以6=。P
一1e({一，上2)，故选(B)．
中小学数学
点评：本题存在几个特殊情形：①n一一+0，②Ⅱ=
1，③直线过A与BC边的中点(此时b=1一)，④
一，+。。(此时b不易确定)，方法4是从特殊情形①、．
②入手．在方法1或2中，若只考虑两种情况中的一
种，或忽视直线与△ABC三边的交点在相应线段上等
基本事实，就会误选另三个迷惑支之一而致错．直线
分三角形成一个小三角形和一个四边形，它们的面积
比存在如F定理：
定理若AABC的三个顶点为(，)、B(2，
Y)、C(x，，Y)，直线f分别交边4B、，4c于点肘、N，则
善=一三筹中≠≠S△tc(2一1)(3一1)’’‘’‘
)(类似地，纵坐标亦然)．
证明：设：，：肛(0≤A,Ix≤1)，
贝0有一1=A(2一】)．一I：=tx(3一1)，
·
，．
·
．A=-==，=
S△AⅣ
S△^
-
I
~AM．ANsinA
。
兰：兰．：：兰一
(2一1)(3一I)
例2中，=0，=一1，=1，由此定理可得
—兰：{_：，这就是方法l中I：FJ()．二T。二F，哒足力L。
初解例l，感觉有点“乱”，但深入下去就会发现
乱中有“序”；直接求解例2，需要分类讨论，分类标准
的选取是关键，且不得忽视隐含信息．两题郁有直觉
思维和极限思想指导下的特殊求法：冽1是取特殊数
组，例2是取特殊位置或特殊数值．这两题无论怎么思
考求解，需要考生剥基础知识、基本技能的掌握程度，
对数学思想方法和数学本质的理解水平，以及具备的
思维能力和数学素养都较高．
参考文献：
[1]申明生．2013年一道全国高考题的解析．中
小学数学(高中版)2013(7～8)．
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