双曲线的定义:平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a点的集合叫做双曲线。请思考？1、平面内与两定点
的距离的差等于常数2a（小于|F1F2|）的集合是什么？相关结论：1、当||MF1|-|MF2||=2a<|F
1F2|时x2与y2的系数符号，决定焦点所在的坐标轴，当x2,y2哪个系数为正，焦点就在哪个轴上，双曲线的焦点所
在位置与分母的大小无关。例1、已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6，则
(1)a=_______,c=_______,b=_______例2、已知双曲线两个焦点的坐标为
F1(-5,0)、F2(5,0),双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。解：因为
双曲线的焦点在x轴上，所以设它的例3：k>1,则关于x、y的方程(1-k)x2+y2=k2-1所表示的曲线是
（)
解：原方程化为：课堂练习：1、已知点F1(-8,3)、F2(2,3)，动点P满足|
PF1|-|PF2|=10，则P点的轨迹是()3、说明下列方程各表示什么曲线。一.双曲线的简单几何性质
一.双曲线的简单几何性质一.双曲线的简单几何性质三.小结:
F1,F2-----焦点||MF1|-|MF2||=2a|F1F2|-----焦距.F2
.F1Myox注意：对于双曲线定义须抓住两点：一是平面内的动点到两定点的距离之差的绝对值是一个常数；二是这个常
数要小于|F1F2|M2、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（等于|F1F2|）的集合是什么？3、平面内与两定
点的距离的差的绝对值等于常数（大于|F1F2|）的轨迹是什么？双曲线的一支是在直线F1F2上且以F1、F2为端点向外的
两条射线不存在2、当||MF1|-|MF2||=2a=|F1F2|时，3、当||MF1|-|MF2||=2a>|F
1F2|时,M点的轨迹不存在4、当||MF1|-|MF2||=2a=0时，P点轨迹是双曲线其中当|MF1|-|MF2||=
2a时，M点轨迹是与F2对应的双曲线的一支；当|MF2|-|MF1|=2a时，M点轨迹是与F1对应的双曲线的一支.
M点轨迹是在直线F1
F2上且以F1和F2为端点向外的两条射线。
M点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线。xyo设M（x,y）,双曲线的焦距为2c（c>0）,F1(-c
,0),F2(c,0)常数为2aF1F2M即(x+c)2+y2-(x-c)2+y2=+
2a_以F1,F2所在的直线为X轴，线段F1F2的中点o为原点建立直角坐标系1.建系.2.设点．3.列式．|
MF1|-|MF2|=2a如何求这优美的曲线的方程？4.化简.F1F2xOy焦点在y轴上的双曲线的标准方
程想一想F2F1yxoF1(0,-c),F2(0,c),焦点位置确定：椭圆看分母大小双曲线
看x2、y2的系数正负焦点在y轴上的双曲线的图象是什么？标准方程怎样求？注：(2)双曲线的标准方程为________
______(3)双曲线上一点Ｐ，|PF1|=10,则|PF2|=_________3544或16||P
F1|-|PF2||=6∵2a=62c=10∴a=3c=5∴b2=52-3
2=16∴所求双曲线的标准方程为标准方程为A、焦点在x轴上的椭圆C、焦点在y轴上的椭圆B、焦点在y轴上的双曲线
D、焦点在x轴上的双曲线∵k>0∴k2+1>01+k>0∴方程的曲线为焦点在y轴上的双曲线。故选（B）
A、双曲线B、双曲线一支C、直线D、一条射线2、若椭圆
与双曲线的焦点相同,则a=3D方程表示的曲线是双曲线方程表示
的曲线是双曲线的右支方程表示的曲线是x轴上分别以F1和F2为端点，指向x轴的负半轴和正半轴的两条射线。yB2A1A2
B1xObaMNQ1.范围:两直线x=±a的外侧2.对称性:关于x轴,y轴,原点对称;
原点是双曲线的对称中心;对称中心叫双曲线的中心3.顶点::(1)双曲线与x轴的两个交A(-a,0),A(a,0)叫双
曲线的顶点12(2)实轴:线段AA实轴长:2a虚轴:线段BB虚轴长:2b12
12yB2A1A2B1xObaMNQ4.渐进线:(1)渐进线的确定:矩形的对角
线(2)直线的方程:y=±x推理证明:双曲线方程可变为 当x时，
方程近似变为 y=,即双曲线上的点无限接近直线y=(1)概念:焦距与实轴长之比yB2A1
A2B1xObaMNQ5.离心率(2)定义式:e=(3)范围:e
>1(c>a)(4)双曲线的形状与e的关系即:e越大,渐进线斜率越大,其开口越阔.二.应用举例:例1.求双曲线9
y–16x=144的实半轴与虚半轴长,焦点坐标,离心率及渐进线方程.22故渐进线方程为:
y=±－x解:把方程化成标准方程:－-－=1y16x922故实半轴长a=4,虚半
轴长b=3∴c=√16+9=5.________∴e=－5434五， 二.应用举例:例2.
求一渐进线为3x+4y=0,一个焦点为(4,0)的双曲线的标准方程.分析:因焦点在x轴上,故其标准方程可知为:其渐进线方程可知又因c=4,故可列方程组求出a,b的值.1.双曲线的几何性质:①范围;②对称性;③顶点;④渐进线;⑤离心率2.几何性质的应用 |
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