第三章函数及其图象第10讲函数及其图象
1．常量、变量：在某一过程中保持数值不变的量叫做__常量__；可以取不同数值的量叫做__变量__．函数：一般地设在一个变化过程中有两个变量x与y如果对于x的每一个确定的值都有唯一确定的x是__自变量__是x的__函数__．函数自变量取值范围：由解析式给出的函数自变量取值范围应使解析式有意义；对于实际意义的函数自变量取值范围还应使实际问题有意义．函数的图象和函数表示方法：(1)函数的图象：一般地对于一个函数如果把自变量x与函数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标在坐标平面内描出这些点用光滑曲线连接这些点所组成的图形就是这个函数的图象．(2)画函数图象时应注意该函数的自变量的取值范围．(3)函数的表示法：①__解析法__；②__列表法__；__图象法__．
两种思想方法(1)函数思想研究一个实际问题时首先从问题中抽象出特定的函数关系转化为“函数模型”然后利用函数的性质得出结论最后把结论应用到实际问题中去从而得到实际问题的研究结果．(2)数形结合思想数形结合直观形象为分析问题和解决问题创造了有利条件如用函数图象解答相关问题是典型的数形结合思想的应用．
1．(2014·内江)在函数y＝中自变量x的取值范围是()
A．x≥－2且x≠1．且x≠1－2(2014·重庆)2014年5月10日上接到通知后小华立即在电脑上打字录入这篇文稿录入一段时间后因事暂停过了一小会小华继续录入并加快了录入速度直至录入完成．设从录入文稿开始所经过的时间为x录入字数为y下面能反映y与x的函数关系的大致图象是()
3．(2014·黄石)如图是半圆O的直径点P从点A出发沿半圆弧AB顺时针方向匀速移动至点B运动时间为t的面积为则下列图象能大致刻画S与t之间的关系的是()
4．(2012·安徽)如图点在半径为2的⊙O上过线段OA上的一点P作直线l与⊙O过A点的切线交于点B且∠APB＝60设OP＝xPAB的面积y关于x的函数图象大致是()
5．(2014·黄冈)已知：在△ABC中＝边上的高h＝5点E在边AB上过点E作EF∥BC交AC边于点F.点D为BC上一点连接DE设点E到BC的距离为x则△DEF的面积S关于x的函数图象大致为()
确定自变量的取值范围【例1】(2014·黄冈)函数y＝中自变量x的取值范围是()
A．x≠0．＞2且x≠0．且x≠0【点评】代数式有意义的条件问题：(1)若解析式是整式则自变量取全体实数；(2)若解析式是分式则自变量取使分母不为0的全体实数；(3)若解析式是偶次根式则自变量只取使被开方数为非负数的全体实数；(4)若解析式含有零指数或负整数指数幂则自变量应是使底数不等于0的全体实数；(5)若解析式是由多个条件限制必须首先求出式子中各部分自变量的取值范围然后再取其公共部分此类问题要特别注意
,第三章函数及其图象)(这是边文，请据需要手工删加)
1．(1)(2014·黄山模拟)函数y＝中自变量x的取值范围是()
A．x＞－1．＜－1．－1．(2)(2014·六安模拟)函数y＝的自变量x的取值范围是__且x≠－2__．由自变量取值求函数值【例2】已知y＝－2x＋4且1≤x＜3求函数值y的取值范围．解：解法一：∵－1≤x＜3－2x＞－6＋4≥－2x＋＞－6＋4即6≥－2x＋4＞－2.∵y＝－2x＋＞－2即－2＜y≤6解法二：∵y＝－2x＋4＝.∵－1≤x＜3－1≤＜3－2≤4－y＜6－2－4≤－y＜6－4－6≤－y＜－2＜y≤6结合不等式的性质运用代入法由自变量的具体值或取值范围可确定函数的对应值或范围．
2．(2014·池州模拟)已知函数y＝3x的图象经过点(－1)，点B(－2)，则y__＞__y(填“＞”“＜”或“＝”)确定实际背景下的函数关系式【例3】(2014·宿州模拟)如图将长和宽分别是a的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．(1)用含a的代数式表示纸片剩余部分的面积；(2)当a＝6＝4且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时求正方形的边长．
解：(1)设纸片剩余部分的面积为y则y＝ab－4x(2)∵ab－4x＝4x当a＝6＝4时＝(负值舍去)【点评】本题利用了几何中的公式用自变量表示因变量．
3．(2014·资阳)某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台空调的采购单y1(元/台)与采购数量x(台)满足y＝－20x＋1500(0＜x为整数)；冰箱的采购单价y(元/台)与采购数量x(台)满足y＝－10x＋1300(0＜x为整数)．(1)经商家与厂家协商采购空调的数量不少于冰箱数量的且空调采购单价不低于1200元问该商家共有几种进货方案？(2)该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱且全部售在(1)的条件下问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．解：(1)设空调的采购数量为x台则冰箱的采购数量为(20－x)台由题意得解得11≤x≤15所以不等式组的解集为11≤x≤15可取的值为11共有5种进货方案(2)设总利润为W元＝－10x1300＝－10(20－x)＋1300＝＋1100则＝(1760－y)x1＋(1700－y)x2＝1760x－(－20x＋1500)x＋(1700－10x－1100)(20－x)＝(x－9)＋当x＞9时随x的增大而增大当x＝15时最大值＝30×(15－9)＋＝(元)采购15台空调时有最大利润10650元观察图象求解实际问题【例4】(2014·绍兴)已知甲、乙两地相距90两人沿同一公路从甲地出发到乙地骑摩托车骑电动车图中DE分别表示A离开甲地的路程(km)与时间t()的函数关系的图象根据图象解答下列问题．(1)A比B后出发几个小时？B的速度是多少？(2)在B出发后几小时两人相遇？
解：(1)由图可知比B后出发1小时；B的速度：＝20()(2)由图可知A的速度：90÷2＝45()．设B出发后x小时两人相遇则45(x－1)＝20x解得＝所以出发小时后两人相遇【点评】要学会阅读图象正确理解图象中点的坐标的实际意义由图象分析变量的变化趋势分析变量之间的关系、加深对图象表示函数的理解进一步提高从图象中获取信息的能力运用数形结合的思想观察图象求解．
4．(2014·哈尔滨)早晨小刚沿着通往学校唯一的一条路(直路)上学途中发现忘带饭盒停下往家里打电话妈妈接到电话后带上饭盒马上赶往学校同时小刚返回两人相遇后小刚立即赶往学校妈妈回家分钟妈妈到家再经过3分钟100米/分的速度步行小刚和妈妈的距离y(单位：米)与小刚打完电话后的步行时间t(单位：分)之间的函数关系如图下列四种说法：打电话时小刚和妈妈的距离为1250米；打完电话后经过23分钟小刚到达学校；小刚和妈妈相遇后妈妈回家的速度为150米/分；小刚家与学校的距离为2550米．其中正确的个数有()
A．1个B．2个C．3个D．个
第11讲一次函数及其图象～2014年安徽中考命题分析 2015年安徽中考命题预测 一次函数的概念、图象和性质用待定系数求函数的表达式用一次函数解决实际问题并确定自变量的取值范围是近几年安徽省中考的常见内容之一．近三年安徽中预测2015年安徽中考对一次函数的考查方式会继续沿袭近几年的风格特点．
年份 考察内容 题型 题号 分值2014 － － － －2013 － － － －2012 比较一次函数函数值的大小 解答题 21(3) 6
1．概念：形如函数__＝kx＋b(k都是常数且k≠0)__叫做一次函数其中x是自变量．特别地当b＝0时则把函数__＝kx__叫做正比例函数．正比例函数y＝kx的图象：过__(0)，(1，k)__两点的一条直线．
3．正比例函数y＝kx的性质：(1)当k＞0时__y随x的增大而增大__；(2)当k＜0时__y随x的增大而减小__．一次函数y＝kx＋b的图象：
5．一次函数y＝kx＋b的性质：过__(0)，(－)__的一条直线．(1)__当k＞0时随x的增大而增大__；(2)__当k＜0时随x的增大而减小__．
一个方法待定系数法是求一次函数解析式的常用方法一般是先设待求的函数关系式(其中含有未知常数)再根据条件列出方程或方程组通过解方程或方程组求出未知系数从而得到所求函数解析式的方法．
1．(2014·深圳)已知函数y＝ax＋b经过(1)，(0，－2)则a－b＝()
A．－1B．－3C．3D．(2014·济南)若一次函数y＝(m－3)x＋5的函数值y随x的增大而增大则()
A．m＞0．＜0．＞3．＜3(2014·枣庄)将一次函数y＝x的图象向上平移2个单位平移后若y＞0则x的取值范围是()
A．x＞4．＞－4．＞2．＞－2(2014·江西)直线y＝x＋1与y＝－2x＋a的交点在第一象限则a的取值可以是()
A．－1B．0C．1D．(2014·河北)如图直线l经过第二、三、四象限的解析式是y＝(m－2)x＋n则m的取值范围在数轴上表示为()
一次函数y＝kx＋b中系数k和b对图象及性质的影响【例1】(1)(2014·成都)在平面直角坐标系中已知一次函数y＝2x＋1的图象经过P(x1，y1)，P2(x2，y2)两点若x＜x则y__＜__y(填“＞”“＜”或“＝”)(2)(2014·达州)直线y＝kx＋b不经过第四象限则()
A．k＞0＞0．＜0＞0＞0＜0【点评】(1)一次函数y＝kx＋b当k＞0时随x的k＜0时随x的增大而减小．(2)一次函数y＝kx＋b(k为常数≠0)是一条直线当k＞0图象经过第一、三象限随x的增大而增大；当k＜0图象经过第二、四象限随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为(0)．
1．(2014·铜陵模拟)A两点在一次函数图象上的位置如图所示两点的坐标分别为A(x＋a＋b)(x，y)，下列结论正确)
A．a＞0．＜0．＝0．＜0待定系数法求一次函数的解析式【例2】(2014·怀化)设一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过A(1)，B(0，－2)两点试求k的值．解：把A(1)，B(0，－2)代入y＝kx＋b得解得即k的值分别为5－2【点评】k是一次函数y＝kx＋b的未知系数这种先设待求函数关系式再根据条件列出方程或方程组求出未知数从而得出所求结果的方法就是待定系数法．
2．(2014·淮北模拟)如图(0，1)，M(3，2)，N(4，4)．动点P从点A出发沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动且过点P的直线l：y＝－x＋b也随之移动设移动时间为t秒．(1)当t＝3时求l的解析式；(2)若点M位于l的异侧确定t的取值范围；(3)直接写出t为何值时点M关于l的对称点落在坐标轴上．
解：(1y＝－x＋b交y轴于点P(0)，由题意得b＞0＝＋t当t＝3时＝4＝－x＋4(2)当直线y＝－x＋b过M(3)时＝－3＋b解得b＝5＝1＋t＝4当直线y＝－x＋b过N(4)时＝－4＋b解得＝＝1＋t＝＜t＜7(3)t＝1时落在y轴上；＝时落在x轴上一次函数与一次方程、一次不等式综合问题【例3】(1)已知一次函数y＝ax＋b(a≠0)中的部分对应值如下表那么关于x的方程ax＋b＝0的解是__＝2__．
x －1 0 1 2 3 4y 6 4 2 0 －2 －4(2)若直线y＝－x＋b与x轴交于点(2)，则关于x的不等式－x＋b＞0的解集__x＜2__．【点评】进一步熟悉函数图象的作法通过图象体会一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的内在联系提高识图能力．一次函数y＝kx＋b当y＝0则kx＋＝0得到一元一次方程当y＞0则有kx＋b＞0得到一元一次不等式．
3．(1)(2014·毕节)如图函数y＝2x和y＝ax＋4的图象相交于点A(m)，则不等式2x≥ax＋4的解集为()
A．x≥B．D．(2)(2014·鄂州)在平面直角坐标系中已知点A(2)，B(4，7)，直线y＝kx－k(k≠0)与线段AB有交点则k的取值范围为__≤k≤3__．(3)(2014·合肥模拟)直线y＝2x＋b经过点(3)，求关于x的不等式2x＋b≥0的解集．解：∵直线y＝＋经过点(3)，∴5＝2×3＋b＝－1即不等式2x－1≥0解得x≥一次函数的实际应用
【例4】(2014·亳州模拟)梅凯种子公司以一定价格销售“黄金1号”玉米种子如果一次购买10千克以上(不含10千克)的种子超过10千克的那部分种子的价格将打折并依此得到付款金额y(单位：元)与一次购买种子数量x(单位：千克)之间的函数关系如图所示下列四种说法：①一次购买种子数量不超过10千克时销售价格为5元/千克；一次购买30千克种子时付款金额为100元；③一次购买10千克以上种子时超过10千克的那部分种子的价格打五折；④一次购买40千克种子比分两次购买且每次购买20千克种子少花25元钱．其中正确的个数有()
A．1个．个．个．个【点评】(1)数形结合把数式和图形结合起来进行思考互相解释、互2)认真审题理解题意看懂坐标轴及图象上的点所表示的实际意义是解决这类问题的关键注意分段函数是由自变量的取值决定的．
4．(2014·聊城)甲、乙两车从A地驶向B地并以各自的速度匀速行驶甲车比乙车早行驶2并且甲车途中休息了0.5如图是甲、乙两车行驶的距离y()与时间x()的函数图象．(1)求出图中m的值；(2)求出甲车行驶路程y(x(h)的函数解析式并写出相应的x的取值范围；(3)当乙车行驶多长时间时两车恰好相距50m.
解：(1)由题意得m＝1.5－0.5＝1(3.5－)＝40＝40×1＝40.答：a＝40＝(2)当0≤x≤1时设y与x之间的函数关系式为y＝k由题意得40＝k＝当1＜x≤1.5时＝；当1.5＜x≤7设y与xy＝＋b由题意得解得＝40x－20.y＝(3)设乙车行驶的路程y与时间x之间的关系式为y＝k＋b由题意得解得＝80x－160.当40x－20－50＝80x－160时解得x＝.当40x－＋＝80x－160时解得x＝.－2＝－＝.答：乙车行驶小时或小时两车恰好相距50
第12讲反比例函数及其图象～2014年安徽中考命题分析 2015年安徽中考命题预测 与反比例函数有关的问题几乎在历届中考题中都可以找到有基础题、中档题还有作为选拔功能的综合题．从题型来看有选择题、填空题、还有解答题．主要考查反比例函数的定义、图象及其性质也常和一次函数、二次函数等知识综合考查．预测2015年反比例函数会继续与其他函数进行综合考查．
年份 考察内容 题型 题号 分值2014 反比例函数与几何知识综合 选择题 9 42013 反比例函数与几何知识综合 选择题 9 42012 实际问题中求反比例函数的解析式及其反比例函数的增减性 解答题 21 12
1．概念：函数__＝(k≠0)__叫做反比图象：反比例函数的图象是双曲线不与两坐标轴相交的两条双曲线．性质：(1)当k＞0时其图象位于__第一、三象限__在每个象限内随x的增大而__减小__；(2)当k＜0时其图象位于__第二、四象限__在每个象限内随x的增大而__增大__；(3)其图象是关于原点对称的中心对称图形又是轴对称图形．
4．应用：如图点A和点C是反比例函数y＝(k≠0)的图象上任意两点画AB⊥x轴于点B轴于点D则有SAOB＝S＝；注意根据图象所在象限来确定k的符号．
一个模型反比例函数关系在生产、生活、科技等方面广泛应用解决这类问题的关键是将实际问题数学化建立反比例函数的模型然后利用反比例函数的性质、图象解决问题．注意：反比例函数的图象反映的变化规律明显常利用它的图象找出解决问题的方案．
1．(2014·株洲)已知反比例函数y＝的图象经过点(2)，那么下列四个点中也在这个函数图象上的是()
A．(－6)B．(1)
C．(2，－3)D．(3－2)(2014·宁夏)已知两点P(x1，y1)，P2(x2，y2)在函数＝的图象上当x＞x＞0时下列结论正确的是()
A．0＜y＜y＜y＜y＜y＜0．＜y＜0(2014·随州)关于反比例函数y＝的图象下列说法正确的是()
A．图象经过点(1)
B．两个分支分布在第二、四象限两个分支关于x轴成轴对称当x＜0时随x的增大而减小
4．(2014·安徽)如图矩形ABCD中＝3＝4动点P从A点出发按A→B→C的方向在AB和BC上移动记PA＝x点D到直线PA的距离为y则y关于x的函数图象大致是()
5．(2014·聊城)如图一次函数y＝k＋b的图象和反比例函数y＝的图象交于A(1)，B(－2－1)两点若y＜y则x的取值范围是()
A．x＜1．＜－22＜x＜0或x＞1．＜－2或0＜x＜1
反比例函数图象的确定【例1】已知图中的曲线是反比例函数y＝(m为常数)图象的一支．(1)这个反比例函数图象的另一支在第几象限？常数m的取值范围是什么？(2)若该函数的图象与正比例函数y＝2x的图象在第一象限内的交点为A过A点作x轴的垂线垂足B，当△OAB的面积为4时求点A的坐标及反比例函数的解析式．
解：(1)这个反比例函数图象的另一支在第三象限－＞0＞5(2)∵点A在直线y＝2x上设点A的坐标为(x)(x0＞0)则点B的坐标为(x)．∵S＝4·x0·2x0＝4＝±2(舍去负值)点A的坐标为(2)，又∵点A在双曲y＝上＝－5＝8.∴反比例函数的解析式为y＝【点评】一次函数与反比例函数的图象的性质取决于系数的值反过来由图象的性质也可以确定系数的符号．要熟记函数的性质并灵活应用这些性质．
1．(1)(2014·芜湖模拟)若反比例函数y＝的图象过点(－2)，则一次函数y＝kx－k的图象过()
A．第一、二、四象限．第一、三、四象限第二、三、四象限．第一、二、三象限
(2)(2014·池州模拟)一次函数y＝＋(k≠0)与反比例函数y＝(k≠0)的图象在同一直角坐标系下的大致图象如图所示则k的取值范围是()
A．k＞0＞0．＜0＞0＜0＜0．＞0＜0待定系数法确定反比例函数解析式【例2】(2014·广安)如图反比例函数y＝(k为常数且k≠0)经过点A(1)．(1)求反比2)在x轴正半轴上有一点B若△AOB的面积为6求直线AB的解析式．
解：(1)∵反比例函数y＝(k为常数且k≠0)经过点A(1)，∴3＝解得k＝3反比例函数的解析式为＝(2)设B(a)，则BO＝a的面积为6·a·3＝6解得a＝4(4，0)，设直AB的解析式为＝＋b经过A(1)B(4，0)，∴解得直线AB的解析式为y＝－x＋4【点评】反比例函数解析式中只有一个待定系数由一对已知对应值即可确定函数解析式而一次函数中有两个待定系数要求出其系数需要已知两对对应值．
2．(2014·襄阳)如图一次函数y＝－x＋2的图象与反比例函数y＝的图象相交于A两点与x轴相交于点C.已知＝点B的坐标为(m)．(1)求反比例函数的解析式；(2)请直接写出当x＜m时的取值范围．
解：(1)作BD⊥x轴D，如图在中＝＝＝即m＝－2n
把点B(m)代入y＝－x＋2得n＝－m＋＝2n＋2解得n＝－2＝4点坐标为(4－2)把B(4－2)代入y＝得k＝4×(－2)＝－8反比例函数解析式为y＝－(2)当x＜4的取值范围为y＞0或y＜－2实际背景下的反比例函数的图象【例3】(2014·蚌埠模拟)我市某蔬菜生产基地在气温较低时用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后大棚内温度y()随时间x(BC段是双曲线y＝的一部分．请根据图中信息解答下列问题：(1)恒温系统在这天保持大棚内温度18的时间有多少小时？(2)求k的值；(3)当x＝16时大棚内的温度约为多少度？
解：(1)恒温系统在这天保持大棚温度18的时间为10小时(2)∵点B(12)在双曲线y＝上＝解得k＝216(3)当x＝16时＝＝13.5所以当x＝16时大棚内的温度约为13.5【点评】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系然后利用待定系数法求出它们的关系式．若问题中两个变量不是单一的一次函数或反比例函数关系而是二者的复合则应分段讨论并注意在实际问题中提炼出函数模型往往要加自变量的取值范围．
3．(2014·宣城模拟)工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序即需要将材料烧到800然后停止煅烧进行锻造操作在8时材料温度降为煅烧时温度y()与时间x()成一次函数关系；锻造时温度y()与时间x()成反比例函数关系(如图)．已知该材料初始温度是32(1)分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数解析式并且写出自变量x的取值范2)根据工艺要求当材料温度低于480时须停止操作那么锻造的操作时间有多长？
解：(1)停止加热时设y＝(k≠)，由题意得＝解得k＝4800当y＝800时＝800解得x＝6点B的坐标为(6)，材料加热时设＝＋32(a≠0)由题意得800＝6a＋32解得a＝128材y与x的函数关系式为y＝128x＋32(0≤x≤6)．∴停止加热进行操作时y与x的函数关系式为y＝(x＞6)(2)把y＝480代入y＝得x＝10－6＝4(分)故锻造的操作时间有4分钟反比例函数与几何图形的结合【例4】(2014·德州)如图y＝(x＞0)经过△OAB的顶点A和OB的中点C轴点A的坐标为(2)．(1)确定k的值；(2)若点D(3)在双曲线上求直线AD的解析式；(3)计算△OAB的面积．
解：(1)将点A(2)代入解析式＝得k＝6(2)将D(3)代入反比例解析式y＝得m＝＝点D坐3，2)，设直线AD解析式为y＝＋
将A(2)与D(3)代入得解得＝－1＝5则直线AD解析式为y＝－x＋5(3)过点C作CN⊥y轴垂足为点N延长BA交y轴于点M轴轴为OB的中点即＝＝()都在双曲线y＝上＝＝3由＝得到S＝9则△AOB面积为9【点评】本题主要考查反比例函数知识的综合运用关键是利用待定系数法数形结合的思想来解决此类题目当然要熟练掌握反比例函数的性质及图象特征．
4．(1)(2014·深圳)如图双曲线＝经过斜边上的点A且满足＝与BC交于点D＝21求k＝____．
(2)(2014·玉林)如图是平行四边形对角线OB在y轴正半轴上位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y＝和y＝的一支上分别过点A作x轴的垂线垂足分别为点M和N则有以下的结论：＝；阴影部分面积是(k＋k)；当∠AOC＝90|k1|＝|k；若四边形OABC是菱形则两双曲线既关于x轴对称也关于y轴对称．其中正确的是____．(把所有正确的结论的序号都填上)
第13讲二次函数及其图象～2014年安徽中考命题分析 2015年安徽中考命题预测 对函数的概率、图象、性质以及函数思想方法的考查是近几年安徽中考试题的一个显著特点．二次函数与一次函数一样建立函数与方程之间的联系同时注意函数图象与方程中的代数信息的相互转化．预测2015年会继续以解答题的形式考查二次函数的知识并且涉及二次函数及其应用．
年份 考察内容 题型 题号 分值2014 由实际问题抽象出二次函数 选择题 12 5用待定系数法求二次函数的解析式 解答题 22 122013 用待定系数法求二次函数的解析式 解答题 16 82012 － － － －
1．定义：形如__y＝ax＋bx＋c(其中a是常数且a≠0)__叫做二次函数．利用配方可以把二次函数y＝ax＋bx＋c表示成__＝a(x＋)＋__二次函数的图象是抛物线当__＞0__时抛物线的开口__向上__这时当__－__时的值随x的增大而__减小__；当__－__时的值随x的增大而__增大__；当x＝__－__时有__最小值__．当__a＜0__时抛物线开口__向下__这时当__－时的值随x的增大而__增大__；当__－__时的值随x的增大而__减小__；当x＝__－__时有__最大值__．抛物线的对称轴是直线x＝__－__抛物线的顶点是__(－)__．图象的平移
二次函数的三种解析式(1)一般式y＝ax＋bx＋c(a是常数)；(2)交点式y＝a(x－x)(x－x)(a，x1，x2是常数)；(3)顶点式y＝a(x＋h)＋k(a是常数)．
1．(2014·安徽)某厂今年1月份新产品的研发资金为a元以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x则该厂今年三月份的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y＝__(1＋x)__．(2014·新疆)对于二次函数y＝(x－1)＋2的图象下列说法正确的是()
A．开口向下．对称轴是x＝－1顶点坐标是(1)D．与x轴有两个交点(2014·哈尔滨)将抛物线y＝－2x＋1向右平移1个单位再向上平移2个单位后所得到的抛物线为()
A．y＝－2(x＋1)－1．＝－2(x＋1)＋3＝－2(x－1)＋1．＝－2(x－1)＋3(2014·黔东南州)已知抛物线y＝x－x－1与x轴的一个交点为(m)，则代数式m－m＋2014的值为()
A．2012B．2013
C．2014D．2015
5．(2014·聊城)如图是二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)图象的一部分＝－1是对称轴有下列判断：－2a＝0；－2b＋c＜0；－＋c＝－9a；④若(－3)，(，y2)是抛物线上两点则y＞y其中正确的是()
A．①②③B．①③④
C．①②④D．②③④
待定系数法确定二次函数的解析式【例1】(2013·安徽)已知二次函数图象的顶点坐标为(1－1)且经过原点(0)，求该函数的解析式．解：设二次函数解析式为y＝a(x－1)－1(a≠0)．∵函数图象经过原点(0)，∴a·(0－1)－1＝0＝1.∴该函数的解析式为y＝(x－1)－1或y＝x－2x【点评】根据不同条件选择不同设法．(1)若已知图象上的三个点则设所求的二次函数为一般式y＝ax＋＋(a≠0)，将已知条件代入列方程组求出a的值；(2)若已知图象的顶点坐标或对称轴函数最值则设所求二次函数y＝a(x＋m)＋k(a≠0)将已知条件代入求出待定系数；(3)若已知抛物线与x轴的交点则设抛物线的解析式为交点式y＝(x－x)(x－x)(a≠0)，再将另一条件代入可求出a值．
1．(1)(2014·杭州)设抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)过(0，2)，B(4，3)，C三点其中点C在直线x＝2上且点C到抛物线的对称1，则抛物线的函数解析式为__＝x－x＋2或y＝－x＋x＋2__．(2)(2014·淮南模拟)已知抛物线y与x轴交于点A(1)，B(3，0)且过点C(0－3)．求抛物线的解析式和顶点坐标；请你写y＝－x上并写出平移后抛物线的解析式．
解：①∵抛物线y与x轴交于点(1，0)，B(3，0)，可设抛物线解析式为y＝a(x－1)(x－3)把C(0－3)代入得3a＝－3解得a＝－1故抛物线解析式为y＝－(x－)(x－3)即y＝－x＋4x－3＝－x＋4x－3＝－(x－2)＋1顶点坐标(2)②先向左2个单位再向下平移1个单位得到的抛物线的解析式为y＝－x平移后抛物线的顶点为(0)落在直线y＝－x上利用二次函数的图象、性质解答【例2】(2014·六安模拟)已知抛物线y＝ax＋bx＋(a≠0，a≠c)过点A(1)，顶点为B且抛物线不经过第三象限．(1)使用a表示b2)判断点B所在象限并说明理由；(3)若直线y＝2x＋m经过点B且与该抛物线交于另一点C(＋8)求当x≥1时的取值范围．解：(1)∵抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)，经过(1，0)，把点代入函数即可得到b＝－a－c(2)B在第四象限理由如下：∵抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)过点A(1)，∴x1＝1，x2＝所以抛物线与x轴有两个交点又因为抛物线不经过第三象限所以a＞0且顶点在第四象限
(3)∵C(＋8)且在抛物线上＋＝＝－8＋c＝－b＋c＝8把B两点代入直线解析式易得c－a＝4即解得如图所示在A的右侧当x≥1时＝－2【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用以及根与系数的关系和一次函数与二次函数交点的问题根据数形结合得出是解题的关键．
2．(2014·贺州)二次函数图象的顶点在原点O经过点(1，)，点F(01)在y轴上．直线y＝－1与y轴交于点H.(1)求二次函数的解析式；(2)点P是(1)中图象上的点过点P作x轴的垂线与直线y＝－1交于点M求证：FM平分∠OFP；(3)当△FPM是等边三角形时求P点的坐标．
解：(1)解：∵二次函数图象的顶点在原点O设二次函数的解析式为y＝ax将点A(1)代入＝得＝二次函数的解析式为y＝x
(2)证明：∵点P在抛物线y＝x上可设点P的坐标为(xx2)，过点P作PB⊥y轴于点B则BF＝x－＝x中＝＝x＋1直线y＝－1PM＝x＋1＝PM＝∠PMF又∵PM∥y轴＝∠PMF＝∠MFH平分∠OFP(3)解：当△FPM是等边三角形时＝60＝30在中＝2FH＝2×2＝4＝＝FMx2＋＝解得x＝±2x2＝×＝3满足条件P的坐标为(2)或(－2)
利用二次函数解决实际应用题【例3】(2014·马鞍山模拟)某水渠的横截面呈抛物线形水面的宽为AB(单位：米)现以AB所在直线为x轴以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系设坐标原点为O.已知AB＝8米设抛物线解析式为y＝－4.(1)求a的值；(2)点C(－1)是抛物线上一点点C关于原点O的对称点为点D连接CD求△BCD的面积．
解：(1)∵AB＝8由抛物线的对称性可知＝(4，0)．∴0＝16a－4.∴a＝(2)过点C作CE⊥AB于点E过点D作于点F.∵＝＝x2－4.当＝－1时＝×(－1)－4＝－(－1－)．∵点C关于原点O的对称点为点D(1，)．∴CE＝DF＝.∴＝＋S＝OB·DF＋OB·＝×＋×4×＝15.∴△BCD的面积为15平方米【点评】解二次函数的实际应用题关键是根据已知条件建立二次函数模型．
3．(2014·毕节)某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件每件利润6元．每提高一个档次每件利润增加2元但一天产量减少5件．(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数且1≤x≤10)求出y关于x的函数关系式；(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元求该产品的质量档次．解：(1)∵第一档次的产品一天能生产95件每件利润6元每提高一个档次每件利润加2元但一天生产量减少5件．∴第x档次提高的档次是(x－1)档．∴y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]即y＝－10x＋180x＋400(其中x是正整1≤x≤10)
(2)由题意可得－10x＋180x＋400＝1120整理得x－＋＝0解得x＝6＝12(舍去)．答：该产品的质量档次为第6档结合几何图形的函数综合题【例4】(2014·滁州模拟)如图抛物线y＝－(x－1)＋c与x轴交于A(A，B分别在y轴的左右两侧)两点与y轴的正半轴交于点C顶点为点D已知A(－1)．(1)求点B的坐标；(2)判断△CDB的形状并说明理由；(3)将△COB沿x轴向右平移t个单位长度(0＜t＜3)得到△QPE与△CDB重叠部分(如图中阴影部分)面积为S求S与t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．
解：(1)∵点(－1)在抛物线y＝－(x－1)2＋c上＝－(－1－1)＋c得c＝4抛物线解析式为＝－(x－1)＋4令x＝0得y＝3(0，3)；令y＝0得x＝－1或x＝3(3，0)(2)△CDB为直角三角形．理由如下：由抛物线解析式得顶点D的坐标为(1)．如答图①所示过点D作DM⊥x轴于点M则OM＝1＝4＝OB－＝过点C作CN⊥DM于点N则CN＝1＝DM－MN＝DM－OC＝1在中由勾股定理得BC＝＝＝3；在中由勾股定理得CD＝＝＝；在中由勾股定理得BD＝＝＝2.∵BC＋CD＝BD为直角三角形(勾股定理的逆定理)(3)设直线BC的解析式为ykx＋b(3，0)，C(0，3)，∴解得k＝－1＝3＝－x＋3直线QE是直线BC向右平移t个单位得到直线QE的解析式为y＝－(x－t)＋3＝－x＋3＋t；设直线BD的解析式为y＝mx＋n(3，0)，D(1，4)，∴解得m＝－2＝6＝－2x＋6.连接CQ并延长射线CQ交BD于点G则G()，在△COB向右平移的过程中：(Ⅰ)当0＜t≤时如答图②所示：设PQ与BC交于点K可得QK＝CQ＝t＝＝－t设QE与BD的交点为F则解得(3－t)，S＝S－S－S＝PQ－PB·PK－BE＝×3×3－(3－t)－t·2t＝－t＋3t
(Ⅱ)当＜t＜3时如答图③所示：设PQ分别与BC交于点K点J.∵CQ＝t＝＝PB＝3－t.直线BD解析式为y＝－2x＋6令x＝t得y＝6－2t(t，6－2t)．＝－S＝PB－PB·PK＝(3－t)(－)－(3－t)＝t－3t＋综上所述与t的函数关系式为S＝【点评】本题是运动型二次函数综合题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数的图象与性质、勾股定理及其逆定理、图形面积计算等知识点．第(3)问弄清图形运动过程是解题的先决条件在计算图形面积时要充分利用各种图形面积的和差关系．
4．(2014·无锡)如图二次函数y＝ax＋bx(a＜0)的图象过坐标原点O与x轴的负半轴交于点A过A点的直线与y轴交于点B与二次函数的图象交于另一点C且C点的横坐标为－1＝3∶1.(1)求点A的坐标；(2)设二次函数图象的顶点为F其对称轴与直线AB及x轴分别交于点D和点E若△FCD与△AED相似求此二次函数的关系式．
解：(1)如图过点C作交y轴于点M.∵ACBC＝3∶1＝.∵＝＝＝＝4CM＝4点A的坐标为(－4)
(2)∵二次函数y＝ax＋bx(a＜0)的图象过A点(－4)，∴16a－4b＝0＝4a＝ax＋4ax对称轴为直线x＝－2点坐标为(－2－4a)．设直线AB的y＝kx＋n将A(－4)代入得－4k＋n＝0＝4k
∴直线AB的解析式为y＝kx＋4k点坐标为(0)，D点坐标为(－2)，C点坐标为(－1)．∵C(－1)在抛物线＝＋4ax上＝a－4a＝－a.∵△AED中＝若△FCD与△AED相似则△FCD是直角三角形＝∠ADE＜90＜90＝(－2，－4a)(－1)，D(－2)，k＝－a＝(－1＋2)＋(3k＋4a)＝＋＝(－2＋1)＋(2k－3k)＝1＋a＝CD是等腰直角三角形是等腰直角三角形＝45＝45＝OA＝4＝＝1＝－1此二次函数的关系式为y＝－x－4x
第14讲函数的应用～2014年安徽中考命题分析 2015年安徽中考命题预测 特别是实际生活中提供的新材料创设的新情景、提出的新问题将会在命题中占很大比例．最值问题多以探究创新问题的形式出现在中考试卷中；函数与方程组相结合的综合问题预测2015年会继续以解答题的形式考查函数的应用.年份 考察内容 题型 题号 分值2014 利用一次函数的最值解决实际问题(与不等式的综合) 解答题 20(2) 52013 利用二次函数的最值解决实际问题(与反比例函数综合) 解答题 22(2)(3) 12 2012 利用二次函数解决实际问题 解答题 23 14
1．函数的应用主要涉及到经济决策、市场经济等方面的应用．利用函数知识解应用题的一般步骤：(1)设定实际问题中的变量；(2)建立变量与变量之间的函数关系如：一次函数二次函数或其他复合而成的函数式；(3)确定自变量的取值范围保证自变量具有实际意义；(4)利用函数的性质解决5)写出答案．利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题．
三种题型(1)选择题——关键：读懂函数图象学会联系实际；(2)综合题——关键：运用数形结合思想；(3)求运动过程中的函数解析式——关键：以静制动．
1．(2014·河北)某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比设边长为x厘米．当x＝3时＝18那么当成本为72元时边长为()
A．6厘米B．12厘米C．24厘米D．厘米
2．(2014·赤峰)如图一根长5米的竹杆AB斜立于墙AC的右侧底端B与墙角C的距离为3米当A下滑x米时底端B便随着向右滑行y米反映y与x变化关系的大致图象是()
3．(2013·安徽)图①所示矩形ABCD中＝x＝y与x满足的反比例函数关系如图②所示等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点为EF的中点则下列结论正确的是()
A．当x＝3时＜EM当y＝9时＞EM当x增大时的值增大当y增大时的值不变
4．(2014·兰州)如图在平面直角坐标系中四边形OBCD是边长为4的正方形平行于对角线BD的直线l从O出发沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动运动到直线l与正方形没有交设直线l扫过正方形OBCD的面积为S直线l运动的时间为t(秒)下列能反映S与t之间函数关系的图象是()
5．(2014·咸宁)科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度将这种植物分别放在不同温度的环境中经过一定时间后测试出这种植物高度的增长情况部分数据如表：
温度t/－4 －2 0 1 4植物高度增长量l/科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为__－1__
一次函【例1】(2014·绵阳)绵州大剧院举行专场音乐会成人票每张20元学生票每张5元暑假期间为了丰富广大师生的业余文化生活影剧院制定了两种优惠方案方案①：购买一张成人票赠送一张学生票；方案②：按总价的90付款某校有4名老师与若干名(不少于4人)学生听音乐会．(1)设学生人数为x(人)付款总金额为y(元)分别建立两种优惠方案中y与x的函数关系式；(2)请计算并解：(1)按优惠方案①可得y＝20×4＋(x－4)×5＝＋(x≥4)，按优惠方案②可得y＝(5x＋20×4)×＝＋72(x≥4)(2)因为y－y＝0.5x－(x≥4)，①当y－y＝0时得0.5x－12＝0解得x＝24当购买24张学生票时两种优惠方案付款一样多．②当y－y＜0时得0.5x－12＜0解得x＜24＜时＜y优惠方案①付款较少．③当y－y＞0时得0.5x－12＞0解得x＞24当x＞24时＞y优惠方案②付款较少【点评】解决本题的关键是根据题意正确列出两种方案的解析式进而计算出临界点x的取值再进一步讨论．
1．(2014·淮北模拟)某校校园超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒乙品牌的进货单价是甲品牌进货单价的2倍考虑各种因素预计购进乙品牌文具盒的数量y(个)与甲品牌文具盒的数量x(个)之间的函数关系如图所示．当购进的甲、乙品牌的文具盒中甲有120个时购进甲、乙品牌文具盒共需7200元．(1)根据图象求y与x之间的函数关系式；(2)求甲、乙两种品牌的文具盒进货单价；(3)若该超市每销售1个甲种品牌的文具盒可获利4元每销售1个乙种品牌的文具盒可获利9元根据学生需求超市老板决定准备用不超过6300元购进甲、乙两种品牌的文具盒且这两种品牌的文具盒全部售出后获利不低于1795元问该超市有几种进货方案．哪种方案获利最大？最大获利为多少元？
解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b由函数图象得解得与x之间的y＝－x＋300(2)∵y＝－x＋300当x＝120时＝180.设甲品牌进货单价是a元则乙品牌的进货单价是2a元由题意得120a＋180×2a＝7200解得a＝15乙品牌的进货单价是30元．答：甲、乙两种品牌的文具盒进货单价分别为15元元(3)设甲品牌文具盒进货m个则乙品牌文具盒的进货(－m＋300)个由题意得解得180m≤181，∵m为整数＝180共有两种进货方案：方案1：甲品牌进货180个则乙品牌的进货120个；方案2：甲品牌进货181个则乙品牌的进货119个；设两种品牌的文具盒全部售出后获得的利润为W元由题意得W＝＋(－m＋300)＝－5m＋2700.∵k＝－5＜0随m的增大而减小＝180时最大＝1800元反比例函数相关应用题【例2】(2014·铜陵模拟)某地计划用120～180天(含120与180天)的时间建设一项水利工程工程需要运送的土石方总量为360万立方米．(1)写出运输公司完成任务所需的时间y(单位：天)与平均每天的工作量x(单位：万立方米)之间的函数关系式并给出自变量x的取值范围；(2)由于工程进度的需要实际平均每天运送土石方比原计划多5000立方米工期比原计划减少了24天原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万立方米？解：(1)由题意得y＝把y＝120代入y＝得x＝3.把y＝180代入y＝得x＝2自变量的取值范围为2≤x≤3＝(2≤x≤3)(2)设原计划平均每天运送土石方x万立方米则实际平均每天运送土石方(x＋0.5)万立方米根据题意得－＝解得x＝2.5或x＝3.经检验x＝2.5或x＝－3均为原方程的根但x＝－3不符合题意故舍去．答：原计划每天运送2.5万立方米实际每天运送3万立方米【点评】本题考查了反比例函数的应用及分式方程的应用现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系然后利用待定系数法求出它们的关系式．
2．(2012·安徽)甲、乙两家商场进行促销活动甲商场采用“满200减100”的促销方式即购买商品的总金额满200元但不足400元少付100元；满400元但不足600元少付200元；……乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销．(1)若顾客在甲商场购买了510元的商品付款时应付多少元钱？(2)若顾客在甲商场购买商品的总金额为x(400≤x＜600)元优惠后得到商家的优惠率为p(p＝)写出p与x之间的函数关系式并说明p随x的变化情况；(3)品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲、乙两商场的标价都是x(200≤x＜400)元你认为选择哪家商场购买该商品花钱较少？请说明理由．解：(1)510－200＝310(元)(2)p＝随x的增大而减小(3)购x元(200≤x＜400)在甲商场的优惠额是100元乙商场的优惠额是x－0.6x＝0.4x当0.4x＜100即200≤x＜250时选甲商场优惠；当0.4x＝100即x＝250时选甲、乙商0.4x＞100即250＜x＜400时选乙商场优惠二次函数相关应用题【例3】(2014·安庆模拟)如图某公路隧道横截面为抛物线其最大高度为6米底部宽度OM为12米．现以O点为原点所在直线为x轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；(2)求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD—DC—CB，使C点在抛物线上点在地面OM上则这个“支撑架”总长的最大值是多少米？
解：(1)M点的坐标为(12)，顶点P的坐标为(6)(2)设抛物线为y＝a(x－6)＋6抛物线y＝(x－)2＋6经过点(0)．∴0＝(0－6)＋6＝－6＝－.∴抛物线解析式为＝－(x－6)＋6＝－x＋2x(3)设A(m)，则(12－)，C(12－m－m＋2m)(m，－m＋2m)．∴“支撑架”总长AD＋DC＋CB＝(－m＋2m)＋(12－2m)＋(－m＋2m)＝－m＋2m＋12＝－(m－3)＋15.∵a＝－＜0.∴当m＝3时＋DC＋CB有最大值为15米【点评】根据图形特点建立恰当的平面直角坐标系将实际问题转化为数学问题．建立平面直角坐标系时要尽量将图形放置于特殊位置这样便于解题．
3．(2014·武汉)九(1)班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销
时间x(天) 1≤x＜50 50≤x≤90售价(元/件) x＋40 90每天销量(件) 200－2x已知该商品的进价为每件30元设销售该商品的每天利润为y元．(1)求出y与x的函数关系式；(2)问销售该商品第几天时当天销售利润最大最大利润是多少元？(3)该商品在销售过程中共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．解：(1)当1≤x＜50时＝(200－2x)(x＋40－30)＝－2x＋180x＋2000当50≤x≤90时＝(200－2x)(90－30)＝－120x＋12000综上所述：y＝(2)当1≤x＜50时二次函数开口向下二次函数对称轴为x＝45当x＝45时最大＝－2×45180×45＋2000＝6050当50≤x≤90时随x的增大而减小当x＝50时最大＝6000综上所述该商品第45天时当天销售利润最大最大利润是6050元(3)当时每天销售利润不低于4800元．即60－20＋1＝41(天)函数的综合应用【例4】(2014·嘉兴)实验数据显1.5小时内其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(时)的关系可近似地用二次函数y＝－200x＋400x刻画；1.5小时后(包括1.5小时)y与x可近似地用反比例函数y＝(k＞0)刻画(如图所示)．(1)根据上述数学模型计算：喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？当x＝5时＝45求k的值．(2)按国家规定车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”不能驾车上路．参照上述数学模20：00在家喝完半斤低度白酒第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．
解：(1)①y＝－200x＋＝－200(x－1)＋200喝酒后1时血液中的酒精含量达到最大值最大值为200(毫克/百毫升)②∵当＝时＝45＝(k＞0)＝＝＝225(2)不能驾车上班．理由：∵晚上20：00到第二天早上7：00一共有11小时将x＝11代入y＝则y＝＞20第二天早上7：00不能驾车去上班【点评】此题主要考查了反比例函数与二次函数综合应用根据图象得出正确信息是解题关键．
4．(2014·泰州)某研究所将某种材料加热到1000时停止加热并立即将材料分为A两组xmin时两组材料的温度分别为yB℃，yA，yB与x的函数关系式分别为y＝kx＋b＝(x－60)＋m(部分图象如图所示)当x＝40时两组材料的温度相同．(1)分别求y关于x的函数关系式；(2)当A组材料的温度降至120时组材料的温度是多少？(3)在0＜x＜40的什么时刻两组材料温差最大？
解：(1)由题意可得出：y＝(x－60)＋m经过(0)，则1000＝(0－60)＋m解得m＝100＝(x－60)＋100当x＝40时＝×(40－60)＋100解得y＝200＝kx＋b经过(0)，(40，200)，则解得＝－20x＋1000(2)当A组材料的温度降至120时＝－20x＋1000解得x＝44当x＝44＝×(44－60)＋100＝164()，∴B组材料的温度是164(3)当0＜x＜40时－y＝－20x＋－(x－60)－100＝－x＋＝－(－)2＋100当x＝20时两组材料温差最大为100
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