(2)当点P在线段AB(不包括A，B两点)上时．①求证：∠BDE＝∠ADP；②设DE＝x，DF＝y.请求出y关于x的函数解析式；(2)①由已知得：OB＝OC，∠BOD＝∠COD＝90°，又∵OD＝OD，∴△BDO≌△COD，∴∠BDO＝∠CDO，∵∠CDO＝∠ADP，∴∠BDE＝∠ADP，②连接PE，∵∠ADP是△DPE的一个外角，∴∠ADP＝∠DEP＋∠DPE，∵∠BDE是△ABD的一个外角，∴∠BDE＝∠ABD＋∠OAB，∵∠ADP＝∠BDE，∠DEP＝∠ABD，∴∠DPE＝∠OAB，∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝45°，∴∠DPE＝45°，∴∠DFE＝∠DPE＝45°，∵DF是⊙Q的直径，∴∠DEF＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DF＝2DE，即y＝2x；(3)请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2∶1？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．3)当BD∶BF＝2∶1时，过点F作FH⊥OB于点H，∵∠DBO＋∠OBF＝90°，∠OBF＋∠BFH＝90°，∴∠DBO＝∠BFH，又∵∠DOB＝∠BHF＝90°，∴△BOD∽△FHB，∴OBHF＝ODHB＝BDFB＝2，∴FH＝2，OD＝2BH，∵∠FHO＝∠EOH＝∠OEF＝90°，∴四边形OEFH是矩形，∴OE＝FH＝2，∴EF＝OH＝4－12OD，∵DE＝EF，∴2＋OD＝4－12OD，解得：OD＝43，∴点D的坐标为(0，43)，∴直线CD的解析式为y＝13x＋43，由??í?ìy＝13x＋43，y＝－x＋4得：?íìx＝2，y＝2，则点P的坐标为(2，2)；当BDFB＝12时，连接EB，同(2)①可得：∠ADB＝∠EDP，而∠ADB＝∠DEB＋∠DBE，∠EDP＝∠DAP＋∠DPA，∵∠DEB＝∠DPA，∴∠DBE＝∠DAP＝45°，∴△DEF是等腰直角三角形，过点F作FG⊥OB于点G，同理可得：△BOD∽△FGB，∴OBGF＝ODGB＝BDFB＝12，∴FG＝8，OD＝12BG，∵∠FGO＝∠GOE＝∠OEF＝90°，∴四边形OEFG是矩形，∴OE＝FG＝8，∴EF＝OG＝4＋2OD，∵DE＝EF，∴8－OD＝4＋2OD，OD＝43，∴点D的坐标为(0，－43)，直线CD的解析式为：y＝－13x－43，由?íìy＝－13x－43，y＝－x＋4，得：?íìx＝8，y＝－4，∴点P的坐标为(8，－4)，综上所述，点P的坐标为(2，2)或(8，－4)【点评】此题考查了一次函数、矩形的性质、圆的性质的综合，关键是综合运用有关知识作出辅助线，列出方程组，注意数形结合思想的应用．3．(2014·广安)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于点A(－4，0)，B(－1，0)两点．(1)求抛物线的解析式；(2)在第三象限的抛物线上有一动点D.①如图(1)，若四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形，当平行四边形ODAE的面积为6时，请判断平行四边形ODAE是否为菱形？说明理由．②如图(2)，直线y＝12x＋3与抛物线交于点Q，C两点，过点D作直线DF⊥x轴于点H，交QC于点F.请问是否存在这样的点D，使点D到直线CQ的距离与点C到直线DF的距离之比为5∶2？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)把点A(－4，0)，B(－1，0)代入解析式y＝ax2＋bx＋3，得?íì16a－4b＋3＝0a－b＋3＝0，解得???í??ìa＝34b＝154，∴抛物线的解析式为：y＝34x2＋154x＋3.(2)①如答图1，过点D作DH⊥x轴于点H.∵S?ODAE＝6，OA＝4，∴S△AOD＝12OA·DH＝3，∴DH＝32.因为D在第三象限，所以D的纵坐标为负，且D在抛物线上，∴34x2＋154x＋3＝－32，解得：x1＝－2，x2＝－3.∴点D坐标为(－2，－32)或(－3，－32)．当点D为(－2，－32)时，DH垂直平分OA，平行四边形ODAE为菱形；当点D为(－3，－32)时，OD≠AD，平行四边形ODAE不为菱形．②假设存在．如答图2，过点D作DM⊥CQ于M，过点C作CN⊥DF于N，则DM∶CN＝5∶2.设D(m，34m2＋154m＋3)(m＜0)，则F(m，12m＋3)．∴CN＝－m，NF＝－12m∴CF＝CN2＋NF2＝－52m.∵∠DMF＝∠CNF＝90°，∠DFM＝∠CFN，∴△DMF∽△CNF，∴DFCF＝DMCN＝52，∴DF＝52CF＝－54m.∴DN＝NF＋DF＝－12m－54m＝－74m.又DN＝3－(34m2＋154m＋3)＝－34m2－154m，∴－34m2－154m＝－74m，解得：m＝－83或m＝0(舍去)∴34m2＋154m＋3＝－53，∴D(－83，－53)．综上所述，存在满足条件的点D，点D的坐标为(－83，－53)．安徽省数学专题八综合型问题要点梳理综合题，各地中考常常作为压轴题进行考查，这类题目难度大，考查知识多，解这类习题的关键就是善于利用几何图形的有关性质和代数的有关知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的．要点梳理近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现，其解题关键是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数和几何知识解题．值得注意的是，近年中考几何综合计算的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情境型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，在考查考生计算能力的同时，考查考生的阅读理解能力、动手操作能力、抽象思维能力、建模能力，力求引导考生将数学知识运用到实际生活中去．一个趋势代数几何综合题从内容上来说，是把代数中的数与式、方程与不等式、函数，几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质，以及解直角三角形的方法、图形的变换、相似等内容有机地结合在一起，同时也融入了开放性、探究性等问题，如探究条件、探究结论、探究存在性等．经常考查的题目类型主要有坐标系中的几何问题(简称坐标几何问题)，以及图形运动过程中求函数解析式问题等．三个步骤解综合题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻译并转化为显性条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题，逐个击破；第三，要善于联想和转化，将以上得到的显性条件进行恰当的组合，进一步得到新的结论，尤其要注意的是，恰当地使用分析综合法及方程与函数的思想、转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、运动观点等数学思想方法，能更有效地解决问题．1．(2014·重庆)从－1，1，2这三个数字中，随机抽取一个数，记为a，那么，使关于x的一次函数y＝2x＋a的图象与x轴、y轴围成的三角形的面积为14，且使关于x的不等式组?íìx＋2≤a，1－x≤2a有解的概率为____．2．(2014·沈阳)如图，?ABCD中，AB＞AD，AE，BE，CM，DM分别为∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线，AE与DM相交于点F，BE与CM相交于点N，连接EM.若?ABCD的周长为42cm，FM＝3cm，EF＝4cm，则EM＝____cm，AB＝____cm.5133．(2014·随州)如图①，正方形纸片ABCD的边长为2，翻折∠B，∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，EF，GH分别是折痕(如图②)．设AE＝x(0＜x＜2)，给出下列判断：①当x＝1时，点P是正方形ABCD的中心；②当x＝12时，EF＋GH＞AC；③当0＜x＜2时，六边形AEFCHG面积的最大值是114；④当0＜x＜2时，六边形AEFCHG周长的值不变．其中正确的是____．(写出所有正确判断的序号)①④4．(2014·黄冈)已知：在△ABC中，BC＝10，BC边上的高h＝5，点E在边AB上，过点E作EF∥BC，交AC边于点F.点D为BC上一点，连接DE，DF.设点E到BC的距离为x，则△DEF的面积S关于x的函数图象大致为()D5．(2014·盐城)如图，反比例函数y＝kx(x＜0)的图象经过点A(－1，1)，过点A作AB⊥y轴，垂足为点B，在y轴的正半轴上取一点P(0，t)，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B?在此反比例函数的图象上，则t的值是()A.1＋52B.32C.43D.－1＋52A代数型综合题【例1】(2013·沈阳)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝825x2＋bx＋c经过点A(32，0)和点B(1，22)，与x轴的另一个交点为C.(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D在对称轴的右侧，x轴上方的抛物线上，且∠BDA＝∠DAC，求点D的坐标．(3)在(2)的条件下，连接BD，交抛物线对称轴于E，连接AE.判断四边形OAEB的形状，并说明理由．解：(1)将A(32，0)，B(1，22)代入y＝825x2＋bx＋c得???í??ì825×94＋32b＋c＝0，825＋b＋c＝22，∴b＝－82，c＝4225，∴y＝825x2－82x＋4225.(2)当∠BDA＝∠DAC时，BD∥x轴．∵B(1，22)，∴当y＝22时，22＝825x2－82x＋4252，解得x1＝1，x2＝4，∴点D的坐标为(4，22)．(3)四边形OAEB是平行四边形．理由如下：抛物线的对称轴是x＝52，∴BE＝52－1＝32.∵A(32，0)，∴OA＝BE＝32.又∵BE∥OA，∴四边形OAEB是平行四边形【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、解方程、平行四边形的判定等知识点．1．(2014·长春)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(1，－1)，且对称轴为直线x＝2，点P，Q均在抛物线上，点P位于对称轴右侧，点Q位于对称轴左侧，PA垂直对称轴于点A，QB垂直对称轴于点B，且QB＝PA＋1，设点P的横坐标为m.(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；(2)求点Q的坐标(用含m的式子表示)；(3)请探究PA＋QB＝AB是否成立，并说明理由．几何型综合题【例2】(2014·咸宁)如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为(－4，4)．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D.BD与y轴交于点E，连接PE.设点P运动的时间为t(s)．(1)∠PBD的度数为，点D的.坐标为用t表示)；45°(t，t)((2)当t为何值时，△PBE为等腰三角形？③若BP＝BE，在Rt△BAP和Rt△BCE中，??í?ìBA＝BCBP＝BE，∴Rt△BAP≌Rt△BCE(HL)．∴AP＝CE.∵AP＝t，∴CE＝t.∴PO＝EO＝4－t.∵∠POE＝90°，∴PE＝PO2＋EO2＝2(4－t)．延长OA到点F，使得AF＝CE，连接BF，如图2所示．在△FAB和△ECB中，??í?ìAB＝CB∠BAF＝∠BCE＝90°AF＝CE，∴△FAB≌△ECB.∴FB＝EB，∠FBA＝∠EBC.∵∠EBP＝45°，∠ABC＝90°，∴∠ABP＋∠EBC＝45°.∴∠FBP＝∠FBA＋∠ABP＝∠EBC＋∠ABP＝45°.∴∠FBP＝∠EBP.在△FBP和△EBP中，??í?ìBF＝BE∠FBP＝∠EBPBP＝BP，∴△FBP≌△EBP.∴FP＝EP.∴EP＝FP＝FA＋AP＝CE＋AP.∴EP＝t＋t＝2t.∴2(4－t)＝2t.解得：t＝42－4∴当t为4秒或(42－4)秒时，△PBE为等腰三角形．(3)探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．∵EP＝CE＋AP，∴OP＋PE＋OE＝OP＋AP＋CE＋OE＝AO＋CO＝4＋4＝8.∴△POE周长是定值，该定值为8.【点评】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理及分类讨论的思想等知识，综合性强．熟悉正方形与一个度数为45°的角组成的基本图形(其中角的顶点与正方形的一个顶点重合，角的两边与正方形的两边分别相交)是解决本题的关键．2．(2014·绍兴)如图，在平面直角坐标系中，直线l平行x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在l上，连接OB，动点P满足∠APQ＝90°，PQ交x轴于点C.(1)当动点P与点B重合时，若点B的坐标是(2，1)，求PA的长．解：(1)∵点P与点B重合，点B的坐标是(2，1)，∴点P的坐标是(2，1)．∴PA的长为2.(2)当动点P在线段OB的延长线上时，若点A的纵坐标与点B的横坐标相等，求PA∶PC的值．过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，如图1所示．∵点A的纵坐标与点B的横坐标相等，∴OA＝AB.∵∠OAB＝90°，∴∠AOB＝∠ABO＝45°.∵∠AOC＝90°，∴∠POC＝45°.∵PM⊥x轴，PN⊥y轴，∴PM＝PN，∠ANP＝∠CMP＝90°.∴∠NPM＝90°.∵∠APC＝90°.∴∠APN＝90°－∠APM＝∠CPM.在△ANP和△CMP中，∵∠APN＝∠CPM，PN＝PM，∠ANP＝∠CMP，∴△ANP≌△CMP.∴PA＝PC.∴PA：PC的值为1∶1.(3)当动点P在直线OB上时，点D是直线OB与直线CA的交点，点E是直线CP与y轴的交点，若∠ACE＝∠AEC，PD＝2OD，求PA∶PC的值．②若点P在线段OB的反向延长线上，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，PM与直线AC的交点为F，如图3所示．同理可得：PM＝32x，CA＝2PF＝4x，OC＝15x.∴PN＝OM＝12OC＝152x.∴PA∶PC＝PN∶PM＝152x∶32x＝153.综上所述：PA∶PC的值为155或153.代数和几何型综合题【例3】(2013·宁波)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(0，4)，点B的坐标为(4，0)，点C的坐标为(－4，0)，点P在射线AB上运动，连接CP与y轴交于点D，连接BD.过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连接EF，BF.(1)求直线AB的函数解析式；解：(1)设直线AB的函数解析式为y＝kx＋4，代入(4，0)得：4k＋4＝0，解得：k＝－1，则直线AB的函数解析式为y＝－x＋4；
解：(1)∵抛物线y＝x＋bx＋c经过点(1－1)且对称轴为在线x＝2，解得.∴这条抛物线所对应的函数关系式＝－4x＋2(2)∵抛物线上点P的横坐标为mP(m，m2－4m＋2)＝－2＝PA＋1＝m－2＋1＝m－1点Q的横坐标为2－(m－)＝3－m点Q的纵坐标为(3－m)－(3－m)＋＝－2m－1点Q的坐标为(3－m－2m－1)(3)PA＋QB＝AB成立．理由如下：∵P(m－4m＋2)(3－－2m－1)(2，m2－4m＋2)(2，m2－－)，∴AB＝(m－2m－1)－(m－4m2)＝2m－3又∵＝－2＝m－1＋QB＝m－2＋m－1＝2m－3＋QB＝AB
解：1)如图1由题可得：AP＝OQ＝＝t(秒)∴AO＝PQ.∵四边形OABC是正方形＝AB＝BC＝OC＝∠AOC＝∠OCB＝∠ABC＝90＝90＝90－∠DPQ＝∠PDQ.∵AO＝PQ＝AB＝PQ.在△BAP和△PQD中，∴△BAP≌△PQD.∴AP＝DQ＝PD.∵∠BPD＝90PD，∴∠PBD＝∠PDB＝45＝t＝t.∴点D坐标为(t)．故答案为：45(t，t)．
(2)①若PB＝PE则∠PBE＝∠PEB＝45＝90＝90＝∠BPD.∴点E与点D重合．∴点Q与点O重合．与条件“DQ∥y轴”矛盾这种情况应舍去．②若EB＝EP则∠PBE＝∠BPE＝45＝90＝90°－∠BEC＝∠EBC.在△POE和△ECB中，
∴△POE≌△ECB.∴OE＝BC＝EC.∴OE＝OC.∴点E与点C重合(EC＝0)．∴点P与点O重合(PO＝)．∵点B(－4)，
∴AO＝CO＝4.此时t＝AP＝AO＝4.
(3)①若点P在线段OB的延长线上过点P作PM⊥x轴垂足为M过点P作PN⊥y轴垂足为N与直线AC的交点为F如图2所示．∵＝ANP＝∠CMP＝.∵∠ACE＝∠AEC＝AE.∵AP⊥PC＝CP.∵PM∥y轴＝＝CM.∴FM＝OA.设OA＝x＝＝2OD＝＝＝x.∴PM＝x.∵∠APC＝90＝CF＝＝＝90＝x.∵∠PNO＝∠NOM＝∠OMP＝90四边形PMON是矩形．∴PN＝OM＝x.∴PA：PC＝PN∶PM＝x∶x＝.
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