2014年高考数学三角函数、解三角形
1．已知函数，
(1)求的最大值和最小值;
(2)若方程仅有一解,求实数的取值范围.
2．已知函数的最小正周期是．
(1)求的单调递增区间；
(2)求在[，]上的最大值和最小值．
3．已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在区间上的最小值和最大值.
4．已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
5．已知向量（为常数且），函数在上的最大值为．
（1）求实数的值；
（2）把函数的图象向右平移个单位，可得函数的图象，若在上为增函数，求取最大值时的单调增区间．
6．在中，角的对边分别为且.
(1)求;
(2)若，求的面积.
7．设函数，其中向量。
（1）求的最小值，并求使取得最小值的的集合。
（2）将函数图像沿轴向右平移，则至少平移多少个单位长度，才能使得到的函数的图像关于轴对称。
8．已知函数，钝角（角对边为）的角满足.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若，求.
9．设函数f(x)＝sin＋sin＋cosωx(其中ω＞0)，且函数f(x)的图象的两条相邻的对称轴间的距离为.
(1)求ω的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．
10．已知函数f(x)＝tan.
(1)求f的值；
(2)设α∈，若f＝2，求cos的值．
11．已知函数,的最大值为2．
（Ⅰ）求函数在上的值域；
（Ⅱ）已知外接圆半径，，角所对的边分别是，求的值．
12．在中，分别为角的对边，的面积满足.
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若，设角B的大小为x,用x表示c并求的取值范围.
13．在中，内角的对边分别为.已知.
（1）求的值；（2）若，求的面积.
14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且C＝120°．
（1）求角A；（2）若a＝2，求c．
15．已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期和对称中心；
（Ⅱ）若将的图像向左平移个单位后所得到的图像关于轴对称，求实数的最小值.
16．（本小题满分12分）设．
（Ⅰ）求最大值及相应值；
（Ⅱ）锐角中，满足．求取值范围．
17．在△，已知
(1)求角值；
(2)求的最大值.
18．已知：三个内角A，B，C所对的边，向量，设
（1）若，求角；
（2）在（1）的条件下，若，求三角形ABC的面积．
19．在中，边、、分别是角、、的对边，且满足
（1）求；
（2）若，，求边，的值.
20．在中，的对边分别为且成等差数列．
（1）求B的值；
（2）求的范围．
21．已知中，角、、的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）设向量，且，求的值.
22．在中，角所对的边分别为，已知，
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，求的取值范围.
参考答案
1．(1)，(2)
【解析】
试题分析：(1)先用余弦的二倍角公式将其降幂，再用诱导公式及化一公式将其化简为或的形式，再根据正弦或余弦的最值情况求其最值。(2)由（1）知，所以方程仅有一解，则函数在的图像与函数的图像仅有一个交点。画出其函数图像可得的范围。
试题解析：解：(1)
1分
3分
4分
所以当，即时，5分
当，即时，6分
(2)方程仅有一解，则函数在的图像与函数的图像仅有一个交点。8分
由图像得11分
的取值范围为13分
考点：1三角函数的化简变形；2三角函数的最值问题；3三角函数图像；4数形结合思想。
2．(1)；(2)最大值、最小值
【解析】
试题分析：(1)首先利用三角恒等变换将函数解析式化为
，然后根据周期公式确定的值.最后利用正弦函数的单调性求出的单调递增区间
(2)由
试题解析：
解：(1)
＝3分
最小正周期是
所以，从而5分
令，解得7分
所以函数的单调递增区间为8分
(2)当时，9分
11分
所以在上的最大值和最小值分别为、.12分
考点：1、三角函数的恒等变换；2、函数的性质；
3．（1）；（2）的最小值为；的最大值为.
【解析】
试题分析：本题主要考查降幂公式、诱导公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值等基础知识，考查数形结合思想，考查学生的计算能力.第一问，利用降幂公式、诱导公式、两角和的正弦公式化简表达式，使之得到的形式，再利用求函数周期；第二问，将代入，先求出的范围，再数形结合求出的范围，从而得到的最大值和最小值.
试题解析：（1）∵
∴.7分
（2）∵，∴，
∴.
当，即时，的最小值为；
当，即时，的最大值为.-13分
考点：降幂公式、诱导公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值.
4．：（1）；（2）；.
【解析】
试题分析：（1）先利用和差化积公式以及二倍角公式，将原式化为，再利用积化和差公式将此式变形化简得到：，再根据公式：，求出所给函数的周期；（2）根据已知条件，求出，再依据函数，在上的单调性得到：函数在时取得最大值，在时取得最小值，并分别求出最大值和最小值以及对应的的值.
试题解析：（1）
5分
所以的最小正周期为.7分
（2）由（1）知，
因为，所以.
当，即时，函数取最大值；
当，即时，函数取最小值.
所以，函数在区间上的最大值为，最小值为.13分
考点：1.和差化积公式；2.三角函数的周期；3.三角函数的单调性；4.三角函数的最值；5.二倍角公式
5．（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）把向量，（为常数且），代入函数整理，利用两角和的正弦函数化为，根据最值求实数的值；（2）由题意把函数的图象向右平移个单位，可得函数的图象，利用在上为增函数，就是周期，求得的最大值，从而求出单调增区间．
试题解析：（1）．
因为函数在上的最大值为，所以故．
（2）由（1）知：，
把函数的图象向右平移个单位，可得函数．
又在上为增函数的周期即，
所以的最大值为，
此时单调增区间为．
考点：1．平面向量数量积的运算；2．三角恒等变换；3．三角函数的最值；4．三角函数的单调性；4、函数的图象变换．
6．(1)；(2).
【解析】
试题分析：(1)利用正弦定理得到，然后化简得到，从而求出，再由同角三角函数的基本关系式可求出；(2)由余弦定理得，结合，求出的值，利用三角形的面积计算公式得到三角形的面积.
试题解析：(1)在中，由正弦定理可得
又因为，所以
即
∴
又，所以
∴，又因为
∴，又因为
(2)由余弦定理得，将代入得
又，故
∴.
考点：1.正弦定理；2.余弦定理；3.同角三角函数的基本关系式；4.三角形的面积计算公式.
7．（1）最小值为，；（2）至少向右平移个单位长度。
【解析】
试题分析：（1）按照数量积公式写出函数解析式，然后将其化简为的形式，根据的最小值为可得的最小值，当取最小值为时，，求出即可。（2）假设向右平移（）个单位长度后图像关于轴对称，此时整体角等于，即可求出的最小值。
试题解析：解：（1）
.4分
故函数的最小值为，此时，于是,
故使取得最小值的的集合为7分
（2）由条件可得，因为其图象关于轴对称，所以，，又，故当时，取得最小值，于是至少向右平移个单位长度，才能使得到的函数的图象关于轴对称12分
考点：1平面向量的数量积公式；2三角函数的化简；3三角函数的最值；4三角函数图像的平移伸缩变化。
8．（1）;（2）,.
【解析】
试题分析：（1）先用降幂公式将第二项化为，再利用两角和与差和余弦公式将两项展开合并同类型，再利用设辅助角公式化为一个角的三角函数，再利用正弦函数的单调性及复合函数同增异减法则求的单调增区间；（2）先利用利用大边对大角及，判断出角B为锐角，根据列出关于B的方程，求出B角，再利用余弦定理求出列出关于边的方程，求出，再利用余弦定理检验△ABC是否为钝角三角形，不是钝角三角形的值舍去.
试题解析：（1），由
，所以函数的单调递增区间是.
（2）由
又因为，所以，故
根据余弦定理，有，解得或
又因为为钝角三角形，所以.
考点：1.两角和与差的三角公式及降幂公式；2.三角函数的单调性；3.余弦定理；4.运算求解能力.
9．（1）ω＝2.（2）1
【解析】(1)f(x)＝sinωx＋cosωx＝2sin.
∵函数f(x)图象的两条相邻的对称轴间的距离为，
∴T＝＝π，∴ω＝2.
(2)由(1)得f(x)＝2sin，∴g(x)＝2sin.
由x∈，可得≤x＋≤π，
∴当x＋＝，即x＝时，
g(x)取得最大值g＝2sin＝2；
当x＋＝，即x＝时，
g(x)取得最小值g＝2sin＝1
10．（1）（2）－
【解析】(1)f＝tan＝.
(2)因为f＝tan＝tan(α＋π)＝tanα＝2，所以＝2，即sinα＝2cosα.①又sin2α＋cos2α＝1，②由①、②解得cos2α＝.
因为α∈，所以cosα＝－，sinα＝－.
所以cos＝cosαcos＋sinαsin＝－×＋×＝－.
11．（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）函数，
解方程：，解得的值，再根据的单调性求其值域.
(Ⅱ)利用（Ⅰ）的结果将，再利用正弦定理将其转化为边长的关系，从而求出的值.
试题解析：解：（1）由题意，的最大值为，所以．2分
而，于是，．4分
在上递增．在递减，
所以函数在上的值域为；5分
(Ⅱ)化简得．7分
由正弦定理，得，9分
因为△ABC的外接圆半径为．．11分
所以12分
考点：1、三角函数的性质；2、正弦定理.
12．(Ⅰ)；(Ⅱ).
【解析】
试题分析：(Ⅰ)因为已知，又因为三角形的面积的可表示为.解得.所以.本题掌握三角形的面积公式的形式是关键.
(Ⅱ)由于，.所以.又因为已知.所以利用正弦定理可求出边c关于x的表达式.再根据角的范围求出正弦值的范围即为边长c的范围，最后面是易错点.
试题解析：（1）在中，由，得
∵∴5分
（2）由及正弦定理得：
，
∴
∵∴
∴
∴，，即12分
考点：1.三角形的面积公式.2.特殊值的三角函数的方程.3.三角函数图像.4.最值问题.
13．（1）,（2）.
【解析】
试题分析：（1）要求角的关系，所以要用正弦定理，即
，再用积化和差公式，化为，有因为,得到.
(2)在解三角形中求面积一般用，给出了角，所以本题关键是求的值.由（1）中给出了之间的关系，且所以由余弦定理就可解除，进而本题得解.
试题解析：(1)由正弦定理知
，即，化为，得,所以.
（2）由（1）知，即，又因为，所以由余弦定理
得，解得，因为，所以，故的面积为.
考点：1.正余弦定理；2.三角形面积公式.
14．（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）由正弦定理，得代入已知式，再结合两角和与差的三角函数公式及三角形内角和定理，化简整理，即可求得角的值；（2）由（1）及已知条件可得，从而再利用余弦定理即可求出的值．
注：第（1）小题也可利用余弦定理求角A．
试题解析：(1)由正弦定理，得：
又．
(2)由（1）及已知条件可得，由余弦定理，得．
考点：1．应用正（余）弦定理解三角形；2．三角恒等变换．
15．（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）这一问关键是利用倍角公式化简表达式；（Ⅱ）先利用平移得到表达式，再根据图像关于轴对称得到，解出.
试题解析：（Ⅰ）
3分
由得，
所以最小正周期是，对称中心为，.6分
（Ⅱ）将的图像向左平移个单位后得到，8分
所以，.因为，所以的最小值为.12分
考点：1.倍角公式；2.图像平移；3.对称中心；4.周期；5.对称.
16．（Ⅰ）时，（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）
3分
∴当，即时，6分
（Ⅱ）由
或,得,
∵为锐角，∴8分
∵,∴，从而
,即12分
考点：本题考查了三角恒等变换，三角函数性质，解三角形等．
点评：熟练运用三角恒等变换化简三角函数、利用三角函数性质求解值域问题是解决此类问题的关键，考查逻辑推理和运算求解能力，简单题
参考答案
17．⑴;⑵．
【解析】
试题分析：⑴根据题意观察所给代数式特点可见此式中全为角的正弦，结合正弦定理可化角为边转化为，可将此式变形为，根据特征可联想到余弦定理，从而可求出的值，即可得出;⑵由⑴中所求的值，在中可得的值，这样可得的关系，则，运用两角差的余弦公式展开可化简得的形式，再根据公式化简，最后结合函数的图象，结合的范围，可求出的范围，即可得到的最大值．
试题解析：⑴因为，
由正弦定理，得，2分
所以，所以，4分
因为，所以．6分
⑵由，得，所以
，10分
因为，所以，12分
当，即时，的最大值为．14分
考点：1.正弦定理;2.余弦定理;3.三角函数的图象
18．（1）；（2）三角形ABC的面积为．
【解析】
试题分析：（1）由向量数量积坐标计算公式可得函数的表达式，利用三角函数的有关公式（倍角公式、辅助角公式等）将其化简得，由已知，列出方程，即可求得角的值；（2）由已知条件，化为，结合正弦定理可得：，由此得，进而求出角的值．有三角形内角和定理得，联立，可求出角和，最后可求得三角形ABC的面积．
试题解析：（1）
因为，即，所以或（舍去）6分
（2）由，则，
所以，又因为，所以
所以三角形ABC是等边三角形，由，所以面积为．12分
考点：1．向量数量积运算；2．利用三角恒等变换求角；3．正弦定理、余弦定理解三角形，求三角形的面积．
19．（1）（2）或.
【解析】
试题分析：（1）根据正弦定理把已知等式转化为角的三角函数式，然后再化简整理，可得.即可得出的值；（2）应用向量的数量积公式把转化为关于边的等式，即.①；然后再利用余弦公式表示出，整理得到.②，解①和②组成的方程组，即可得到a，c的值.
试题解析：解：（1）由正弦定理和，得
，2分
化简，得
即，4分
故.
所以.5分
（2）因为，所以
所以，即.（1）7分
又因为,
整理得，.（2）9分
联立（1）（2），解得或.10分
考点：1.正弦定理和余弦定理；2.向量的数量积.
20．(1)；（2）
【解析】
试题分析：（1）对于三角形问题中的边角混合的式子，可以利用正弦定理和余弦定理边角转化，或边化角转化为三角函数问题，或角化边转化为代数问题来处理，该题由等差中项列式，再利用正弦定理边化角为，，又根据三角形内角的关系，得
，进而求；(2)由（1）得，可得，代入所求式中，化为自变量为的函数解析式，再化为，然后根据的范围，确定的范围，进而结合
的图象确定的范围，进而求的范围.
试题解析：（1）成等差数列，∴，由正弦定理得，，代入得，，即：，，又在中，，∵，∴；
（2）∵，∴，∴=
==，∵，∴，∴，∴的取值范围是.
考点：1、等差中项；2、正弦定理；3、型函数的值域.
21．(1)；(2).
【解析】
试题分析：（1）这个等式中既有边又有角，这种等式一般有两种考虑：要么只留边，要么只留角.在本题中这两种方法都行.
思路一、由正弦定理得：，然后用三角函数公式可求出.
思路二、由余弦定理得：，化简得.再由余弦定理可得.
(2)由得；解这个方程，可求出的值，再用正切和角公式可求出.
试题解析：(1)法一、
6分
法二、由余弦定理得：，化简得：
，
即.
所以，6分
(2)
或者.
当时，（舍去）；
当时，.12分
考点：1、三角变换；2、正弦定理与余弦定理；3、向量.
6．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：(Ⅰ)利用正弦定理、结合角的范围来求；(Ⅱ)利用余弦定理、边角互换，然后利用基本不等式来求解.
试题解析：（Ⅰ）由条件结合正弦定理得，
从而，
∵，∴5分
（Ⅱ）法一：由已知：，
由余弦定理得：
（当且仅当时等号成立）∴（，又，
∴，从而的取值范围是12分
法二：由正弦定理得：
∴，，
∵，∴，
即（当且仅当时，等号成立）从而的取值范围是12分
考点：正弦定理、余弦定理以及基本不等式，考查分析问题、解决问题的能力
试卷第2页，总4页
试卷第1页，总4页
答案第2页，总17页
答案第1页，总17页
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