揭阳市2015年高中毕业班高考第二次模拟考试
数学(理科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数．
一、选择题：DBCDACBB
解析：8．因m、n均取自1-6，故向量有种取法，由知，，则，这样的共有（个），故所求的概率．
二、填空题：9.1；10.；11.6；12.7；13.；14.；15..
三、解答题：
16．解：（1）由为图象的最高点知，---------------------1分
又点M知函数的最小正周期，-----------------------3分
∵∴,-------------------------------------------------5分
(2)由（1）知，
由得，----------------------------------------6分
∵∴----------------------------------------7分
∴-------------------------9分
∵-------------11分
∴------------12分
17．解：（1）甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图如右图示：--3分
乙班的平均水平较高；----------------------------4分
（2）由上数据知：甲班这10人中“优秀”的学生有2名，
则从这10名学生中随机选取3人，至多有1人“优秀”
的概率.----------------------------8分
（3）因样本20名学生中，“优秀”的有4名，故从这20名学生中任选1名，恰好抽到“优秀”的概率为，----------------------------------------------------------------------------------10分
据此可估计从该校中任选1名学生，其为“优秀”的概率为0.2，因,
所以.---------------------------------------------------------------------------12分
18．解：（1）设数列的公比为，
∵成等差数列，
即，化简得，------4分
解得：或------------------------------------------------------------------6分
∵，∴不合舍去，
∴.-----------------------------------------7分
(2)∵
=------------9分
，------------------------------------------10分
∴=，-----------------------------------------------------12分
∴
.----------------------------------------14分
19．解：（1）证明：AB∥CD，AD⊥CD∵侧面PAD⊥底面ABCD，且平面平面，
∴AB⊥平面PAD--------------------------------------------2分
又∵平面PAD，
∴AB⊥PD------------------------------------------------------3分
（）平面，
∴PE⊥底面ABCD，-------------------------------------------------------------------------5分
在PEA中，
∴（）------7分
∵-------------------------------9分
当且仅当，即时，“＝”成立，
即当取得最大值时，-----------------------------------------------------10分
解法1：∵，，∴PD⊥PA，--------------------11分
又(1)知AB⊥PD，
∴平面,又PB平面
∴PD⊥PB，------------------------------------------13分
∴为二面角A－PD－B的平面角
在中,,
即当取得最大值时，二面角A－PD－B的余弦值为．轴建立空间直角坐标系如图示：
则E（0，0，0），A(，0，0)，
D(，0，0)，P(0，0，)，
∴,
设平面PDB的法向量为
由得，，
令，则，∴------------------------12分
又是平面PAD的一个法向量，
设二面角二面角A－PD－B的大小为，则，
即所求二面角A－PD－B的余弦值为．,由、得
,.
∴，---------------------2分
由得
∴，------------------------4分
∵，∴当，即时，有最大值，
即，---------------------------------------6分
∴，，
∴所求双曲线的方程为.------------------------------------7分
（其它解法请参照给分）
（2）假设存在直线满足题设，设，
将代入并整理得
，------------------------------------------------------------8分
由，得-----------①
又--------------------10分
由可得
化简得------------②------------------------------------------12分
将②代入①得
化简得，
解得或
所以存在直线，使得，此时的取值范围为．-------14分
21．解：（1）当时，不等式即，
显然，当时，原不等式可化为：--------------------------2分
当时，原不等式可化为：或或，∴
综上得：当时，原不等式的解集为---------------3分
（2）∵--------------------------------------4分
若时，∵，由知，在上，，
若，由知，当时，，
当时，，
∴当时，函数的单调增区间为，，单调减区间为.----6分
(其它解法请参照给分)
（3）在区间上，函数的图象总在直线是常数）的下方，
即对都有，对都有，-------7分
显然，
即对，恒成立
对，------------------------------8分
设，，，
则对，恒成立，----9分
∵当时
∴函数在上单调递增，∴------------------------10分
又∵＝，
当即时，对于，有
∴函数在上为减函数
∴----------------------------------------------11分
当，即时，当，
当，
∴在上，--------------------------------12分
（或当时，在上，，当时取等号）
又∵当时，要即还需满足
，解得，
∴当时，；---------------------------------------------13分
当时，．-----------------------------------------------------------------14分
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