数学高考10招（7）避实击虚正难则反
数学上也常有这样的情景：正面求解如同碰上坚固的堡垒，勉而为之会陷入久攻不下的被动局面，“坚持到底”未必正确，蓦然回首，转换解题方向，很可能别有洞天.
【例1】若集合A和B各含6个元素，A∩B含有3个元素，C同时满足两个条件：
①且C中含有3个元素；②C∩A≠，则这样的集合C的个数是（）
A.82B.83C.84D.219
【思考】C∩A≠的情况有多种，C∩A=的情况只有一种，既如此，何必正面攻击？变换主攻方向吧，迂回作战，反面突击.
【解答】不妨设A={a,b,c,d,e,f},B={d,e,f,m,n,p}.那么：
A∩B={d,e,f}有三个元素，A∪B={a,b,c,d,e,f,m,n,p}有9个元素.
A∪B中含3个元素的子集共有=84个.
其中C∩A=的情况只有一种，即由B中异于A的三元组成集合{m,n,p},故符C∩A≠的集合有84－1=83（个）.∴选B.
【例2】某种战斗机击中目标的概率是0.7,要使m架这种战斗机同时射击一次可以击中目标的概率超过0.95，则m的最小值是（）
A.2B.3C.4D.5
【思考】m架战斗机同时射击一次击中目标的情况有难以算清的好多种，而射击一次全击不中的情况只有一种.因而同上题一样，也要从反面着手.
【解】m架战斗机全不击中的概率（1－0.7）m=0.3m，∴m架战斗机射击一次击中的概率为1－0.3m,令1－0.3m>0.95,得0.3m<0.05.
∵0.33=0.027<0.05,0.32=0.09>0.05.∴mmin=3.选B
【例3】甲、乙、丙3个求职者到四个工作单位应聘，每个人只能选择一个单位，而且甲单位必须录用1人，则甲恰好不在甲单位的概率是（）
A.B.C.D.
【思考】甲单位必须录用1人，不一定只录用1人，故甲单位录用人的情况有多种，而不录的情况只有一种；甲恰好不在甲单位的情况有3种，而甲恰在甲单位的情况只有一种.因此，为计算简单，还是从反面入手.
【解】先算基本事件总数，没有限制的应聘方法有43=64种（重复排列，每人都有4种选择方法），其中无人去甲单位的应聘方法有33=27种.故甲单位必须录用1人的应聘方法共有64－27=37种.设事件A：甲恰好不在甲单位，则事件：甲恰在甲单位，由于乙、丙共有42=16种选择方法，即Card()=16.∴CardA=37－16=21.于是P（A）=.选C.
【例4】已知椭圆=1,则其内接三角形面积的最大值为（）
A.6B.9C.12D.12
【思考】没有椭圆内接三角形面积的计算公式，无法走先列函数式再求其极值的道路.但是同样的问题对于圆则是轻而易举的.“椭”的反面是“不椭”，也就是圆.那么椭圆与圆有没有恰当的方法联系起来呢？
【解】如图所示，椭圆长、短轴之比为4∶3,
将椭圆按cosα=投影到平面M，得到半径
为R=3的圆O1，圆内接正△C1E1F1的面积最大，
最大面积为:.
于是椭圆内接三角形最大面积为选B.
【小结】与上一招相比，本计是另一种形式的转换，即正面向反面转换，解几问题向平几问题转换等，指导思想还是一个：化难为易，化未知为已知.
以下几种题型适合正面避之，反面求之：
1.正面繁杂，反面单一或相对简练的集合题型；
2.互相对立事件的概率之和为1，一方繁杂而其对立面单一的概率题型；
3.正面难以直接计算，而反面结论清楚、明白的其他题型.
考前预演
1.以正方体的顶点为顶点的四面体共有()
A.52个B.58个C.64个D.70个
2.在棱长为1的正方体上，分别用过同一顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，所剩下的凸多面体的体积是()
A.B.C.D.
3.在正项数列{an}中，a1=1,且Sn=(an+),则a10=()
A.+3B.－3C.3+2D.3－2
4.10颗骰子同时掷出，共掷5次，至少有一次全部出现一个点的概率是()
A.B.C.D.
5.设关于x的方程x2+4mx－4m+3=0,x2+(m－1)x+m2=0,x2+2mx－2m=0中至少一个存在实数根，则m的取值范围是()
A.m≤－B.m≥－1C.－D.m≤－或m≥－1
参考答案
1.B本题直接计算不妥，应反面求之.正方体的8个顶点中，任取四点有种取法,但其中四点共面的情况有12种(即6个表面和6个对角面)，故共有－12=58个四面体.
2.B直接求所剩多面体的体积是不明智的，应转而求所截下的每个小三棱锥的体积，它们均为V=,而大正方体体积为1，∴V凸多面体=1－.
3.B本题将Sn转化为an是不合算的，应返过来将an转化成Sn:
则（Sn+Sn－1）(Sn－Sn－1)=1.∴
以下分别令n=2,3,4,…，n,得：,各式相加：.
而S1=a1=1,∴,于是an=Sn－Sn－1=
4.D10个骰子都出现一个点的概率为,不都出现一个点的概率为1－,5次不都出现一个点的概率为,5次至少有一次都出现一个点的概率为
5.D假设三个方程都没有实根，由Δ<0，则应有：
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例4题解图
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