1一i三数学教学2013年第1期
点到直线距离公式推导的些许改进
430079华中师范大学数学与统计学院徐章韬
1．引言
点到直线距离公式的推导有多种方法，如
向量法、柯西不等式法、最值法【1】等多种方
法，但以人民教育出版社教材给出的面积法最
为自然．其自然之处，在于想法的自然，美中
不足的是图1中点‘、R的坐标选取稍稍有点
复杂，导致有点运算量．这里能不能改进一下，
改进点的坐标，使这种推导过程的想法既自然，
又少运算量呢?本文旨在解决这一问题．
图1教材中点到直线的距离公式推导用图
2．推导
这里不妨把点的坐标设为(X，)，因为
A(x—B)+B(y+A)+C：Ax+By+C=0，
所以点S的坐标可设为(X—B，Y+A)(这里似
乎有点不自然，下面会阐述)．面积公式可以用
行列式表达出来，这里不妨用三阶行列式解一
下．
1}XY1I
SAp"=JI．I—B+Ab''Z~PoSR-5XYA1l的绝对===I一+上I削绝用
lXOYo1l
值=-5‘1Axo+Byo+cI，另一方面，lSI：
，~'']IPoQI=
3．用于教学
虽然三阶行列式、矩阵等一些内容进入
了选修教材之中，然而，这些内容还是没有引
起足够的重视．有教师可能会说，三阶行列式
学生接受不了，而且点坐标的设法太不自然
了，太不好想了，此法不好!我们认为，教学的
目的是为了促进学生更好的发展，一些好的想
法可以通过教学进入学生的视野．下面先说说
将之用于教学时，要考虑的几个问题．
(1)比如，有学生会问道，△PoSR一定要
是直角三角形吗，若是斜三角形时，又该如何
推导，显然本文所取的三角形就是斜三角形的
例子．
(2)为什么会想到把点S的坐标设为(—
B，Y+A)?
若这样来解释，就自然了．直线Ax+
By+C=0的法向量是(，B)，方向向量
是(一B，)，那么把直线上的任一点R(x，Y)按
方向向量(一，)平移，就得到点(X—B，Y+
A)．有关直线的法向量、方向向量的知识在人
教社教材的阅读材料中出现过，学生应该不陌
生．用向量的观点看直线，也是教材隐性的要
求之一．还有如湘教版教材就直接用向量的方
法处理直线．
另外在人教社教材中的习题中有这样一
道习题：设点Po(xo，Yo)在直线Ax+By+C=
0上，求证这条直线的方程可以写成A(x—
0)+B(y—Yo)=0．为了使点s的坐标设
法显得自然，仿上面的习题，可以补充一道习
题：设点1''o(0，Yo)在直线Ax+By+C=0上，
求证点(0一B，0+)也在这条直线上．
无论采取哪种措施，都可以让点S坐标的
设法不再显得突兀．
(3)非要用行列式表示面积公式吗?
我们说，不是这样的．如图2，
SAAOB=言fDlI(二)BIsinZAOB，而
cosZAOB=，设AOA册)，llj(二)jE；I
B(x2，y2)，则
2013年第1期数学款学．f一．f5
一=三IlI
=去丽
=x22x22xX
=Ixly2-x2yl1．………·‘…㈤
图2三角形面积公式的推导
对任意三角形，A(xl，y1)，B(x2，y2)，C(xa，
ys)，其面积公式，也可由(木)式表达，这里，
不妨把点看作原点(O，0)，则A(xl—X3，
Yl—ys)，B(x2一X3，Y2一y3)，显然，AABC
的面积等于△A(=}B的面积．这样，任意三
角形的面积公式就是妄I(1一xs)(y2一Ys)-
(z2一X3)(Yl—ys)1．
说明：此式可以写成二阶行列式的形式
Il—3Yl—Y3l，当然也可写成三阶行2lX2一X3Y2一3l……’～‘…一
1IXlYl1I
列式的形式去IX2Y21I，不过要注意面积IX3Y31lIlI
为正值，计算时要取行列式的绝对值．
(4)用面积公式S=寺06sinC的变式S=
1
二
去lXlY2一x2YlI推导距离公式．
不妨把点(0，Yo)看作原点(0，0)，则
点冗、的坐标分别变为R(—XO，Y一0)
和S(—B—XO，Y+A—yo)，则△Rs的
面积为
去l(—o)(+A—Yo)一(Y一0)(—B一
11
xo)I=去IAz+By—Axo—Byol=-~lAxo+
Byo+el，
~ISRI=)d_豢．
这样，既充分挖掘了教材中的思想，又稍
许减少了一些计算量．
4．教学研究无止境
张景中院士是面积法的创始人，对面积法
有独到的见解．下面的推导法，让我们的思维
不再固化，耳目一新．不妨设．B·C≠0，若把
直线方程Ax+By+C=0写成截距式+=
1，考虑原点到直线Ax+By+C=0的距
离d，立刻看出d=labl
．
注枣。：一C
ao，V‘十n
6=一，代入化简z…10d=—CA2+B2，容易
验证，此公式对A．B．C=0时仍然成立．
观念不要固着，任意的点(XO，Yo)也有资
格充当原点．考虑点(0，o)到直线Ax+By+
C=0的距离d．作坐标平移=—Xo，Y=
Y—Yo，在新坐标系中，(XO，Yo)成为原点，直线
方程Ax+By+C=0变成A(x+xo)+B(y+
yo)+C=0，即Ax+B+(z0+B蜘+)=0，
于=．
笛卡尔曾说：“我一生只做两件事，一是做
简单的事，一是将复杂的事变成简单的事．”当
直线写成截距式时，原点到直线的距离一望而
知．由这种简单情形出发，能推导点到直线的
距离公式吗?张院士给出的方法让人看到了化
归思想方法的威力，同时也告诉我们，原点与
坐标系的点的地位是相对的，观念千万不要固
着，教学研究无止境1
5．回眸一望
再回过头来审视一下教材中的推导法，
思想是自然的，但解法稍嫌繁琐．仔细分析
一下原因，是没有充分应用解析几何“设而
不求”的策略，能否用设而不求来试试呢?
不妨设S(xo，y1)，R(Xl，o)，那么点到直线
的距离就是d：=：卷Xl三XOylyo)==：、／【一J十【一
—产—，又(z0，1)，(z1，Yo)在直
＼／1+()‘
线Ax+By+C=0，那么有Axl+B珈+=0，
Ax0+By1+C=0，上述两式相减，然后相除，
i～l6数学教学2013年第1期
就有__jA这样jd==
lAxo+Byo-4-C1
、／／+B2。
教材的编写受很多因素的制约，“设而不
求”是一种技法，能否出现在教科书正文中还
有待研究．但是，可以在教材的旁边处加上一
两句指引探引方向的话，教材就由静态走向开
放了．
6．些许感想
课程改革之前，我们奉教材为“金科玉
律”，唯教材是从；课程改革之后，我们敢对
教材“批判”了，但是在“批判”之中少了一些建
设．按当下人们的观念，教材虽不是权威，但却
不容易轻易否定．经过教育专家的“洗脑”，一
线教师也能说上一些教育学的话语了，如“不
是教教材，而是用教材”．如何用教材?我们认
为，本例就是用教材的一个例子．要充分挖掘
点到直线的距离公式中所内蕴的思想方法，需
要教师调动学生多方面的知识储备：三角形公
(上接第1_6页)
切多边形．内接四边形和外切四边形的性质和
特征．点的几何轨迹．利用几何变换和几何轨
迹懈题．塞瓦定理和梅涅劳斯定理．作为点的
几伺轨迹的椭圆、双曲线、抛物线．经典作图
不能问题．
空间中的直线与平面．立体几何的基本概
念(点、直线、平面、空间)．关于构建几何学公
理化方法的概念．相交直线、平行直线和异面
直线．空间中直线的夹角．直线的垂直．直线与
平面的平行与垂直，特征与性质．三垂线定理．
平面的垂直和斜角．直线与平面之间的夹角．
平面的平行、平面的垂直，及其特征和性质．
二面角，二面角的平面角．点到平面的距离．直
线到平面的距离．平行平面之间的距离．异面
直线之间的距离．平行映射．正交映射．多边
形的正交射影的面积．实物投影．中心映射．
多面体．多面体的顶点、棱、面．展开图．
多面角．凸多面体．欧拉定理．棱柱，它的底、
侧棱、高、侧面．直棱柱和斜棱柱．正棱柱．平
行六面体．立方体．棱锥，它的底、侧棱、高、
侧面．三棱锥．正棱锥．棱台．立方体、平行六
式变式表达法、直线的方向向量、法向量、
点与直线的位置关系、点的平移等等，还要考
虑学生的知识储备等学情因素，并组织成易于
学生接受的教学序列．张院士的做法更加体现
了数学思想方法的威力：从简单情形出发，努
力把复杂的问题转化为简单情形．习惯的做法
是，草草推导完直线的距离公式，然后就是大
批量的训练．这种做法的好处是能熟练掌握并
运用这个公式，不足之处是把知识当作工具使
用，知识的发生、发展过程及教育价值淡化了．
在探究课、复习课上如此推导点到直线的距离
公式，其育人作用不会亚于习惯的做法．数学
思想是自然的，思想指导下的方法也应该自然，
各种奇思也好，妙想也罢，如果不自然，意义就
不是很大了．
参考文献
f11余树林，袁新宝．点到直线距离公式
的十三种推导方法．中学数学杂志，2009(1)：
2】一22．
面体、棱柱和棱锥中的对称．空问中对称的概
念r中一对称、轴对称、镜面对称)．多面体的
截面．作截面．正多面体的表示f四面体、立方
体、八面体、十二面体和二十面体1．
旋转体和旋转面．圆柱和圆锥．圆台．底、
高、侧面、母线、展开图．轴截面和与底平彳亍
的截面．球和球面，它们的截面．作为圆锥截面
的椭圆、双曲线、抛物线．球的切面．多面体
的外接球和内切球．圆柱和圆锥的表面．
物体的体积和表面积．物体体积的概念．
相似物体的体积比．立方体、平行六面体、棱
柱、圆柱的体积公式．棱锥和圆锥的体积公式．
圆柱和圆锥的表面积公式．球的体积和球的表
面积公式．
坐标与向量．空问中的笛卡儿坐标．两点
之间的距离公式．球面方程和平面方程．点到
平面的距离公式．向量．向量的模．向量的相
等．向量的加法和向量的数乘．向量之间的夹
角．向量的坐标．向量的数量积．共线向量．将
向量分解为两个不共线的向量．共面向量．将
向量分解为三个不共面的向量．
(待续)
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