2013年第1期数学教学l—i
对2012年高考福建卷理科解析几何题的研究
435200湖北省阳新县高级中学邹生书
优质高考题是命题专家精心设计的杰作,
倾注了命题人的心血和智慧,有些题目甚至是
命题人研究成果的具体化和特例,这样的命题
具有潜在的研究价值和教育价值,对高中数学
教学具有一定的导向性,2012年全国高考福建
卷理科第19题就是这样的一道优质高考题,该
题平中透奇,具有研究价值,题目如下:
m2口,2
题目如图1,椭圆E:+=l(a>
0‘D
b>0)的左焦点为点F1,右焦点为点F2,离心
率e=妄.过点F】的直线交椭圆于A、B两
点,且△ABF2的周长为8.(I)求椭圆E的方
程.(II)设动直线2:Y=kx+m与椭圆E有
且只有一个公共点P,且与直线X=4相交于
点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,
使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求
出点M的坐标;若不存在,说明理由.
I
一
,
,一—一/j
B\\
图1
本题答案是:(I)椭圆E的方程为+
y2
:1;
(II)存在这样的定点M,其坐标
为(1,0)(过程略).
笔者一向对解析几何题情有独钟,解完题
后总喜欢对条件结论进行观察、分析、猜想、
研究,希望能从中找到一些有价值性的东西.
解完此题后,笔者惊喜地发现:直线=4就
是已知椭圆的右准线,定点M就是椭圆的右焦
点,由此特例我们提出如下问题:对于一般情
形下的椭圆,是否也有此性质?笔者紧紧抓住
这一想法投入研究,为了避免盲目的运算推理,
笔者借助几何画板动态演示得出:不仅椭圆有
此性质,而且双曲线、抛物线也有同样性质.
为了扩大战果,笔者在此基础上对问题的条件
和结论进行互换作变式探究,同时借助几何画
板演示证实所得性质的若干逆命题也成立.现
将研究的主要过程和相关结论整理成文与大家
交流.
1.纵向推理归纳探究
探究1如图2,已知P是椭圆+=
l(a>b>01上一点,若椭圆在点P处的切
n2
线与右准线X=相交于点Q,试探究:在
C
坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直
径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;
若不存在,说明理由.
Y
P/
/\
f
图2
解:1段设存在这样的定点M,由对称性
知点必在轴上,设点M的坐标为(m,0).
设点P的坐标为(XO,YO),由文[1]知椭圆在点
P处的线方程为—XOX+百YoY:l
,将其与
ⅡU
z:aA联立方程组,解得点Q的坐标为faA,
C\C
_==1.因为以PQ为直径的圆恒过点
1一l8数学教学2013年第1期
M,故.:0,又:(0一m,
,痂=(譬一m,),所以
(X0--0).(譬一cyo)_0j即
—
(xo-m)(
—
a2
-cm)+
—
b2(c-
—
xo)
:0,也就是
(xo—m)(0一am)+b2c—XO)=0.以XO为主
元整理得(C2一cm)o+cm2—02m+b2c=0.
依题意这个关于0的方程有无数个解,所以
{一cm===0解得m:c,故存在1am2
一a2m+b2c=0
,
“一
这样的定点,其坐标为(C,0),由此知定点
M就是右准线对应的右焦点.于是一般的,椭
圆有如下性质:
性质1已知P是椭圆+:1
(a>b>0)上一点,若椭圆在点P处的切线
n2
与右准线=相交于点Q,则以PQ为直径
的圆恒过右焦点.
2.横向推理类比探究
同样对于双曲线有如下类似性质:
2口.2
性质2已知P是双曲线一=1
(a>0,b>0)上一点,若双曲线在点P处的切
线与右准线=相交于点Q,则以PQ为直
径的圆恒过右焦点f证明略).
探究2如图3,已知P是抛物线2=
2px(>0)上一点,若抛物线在点P处的切
线与准线=一1J相交于点Q,试探究:在坐标
平面内是否存在定点,使得以PQ为直径的
圆恒过定点?若存在,求出点的坐标;若
不存在,说明理由
y
Q<
D
‘\
图3
解:假设存在这样的定点,由对称性
知点M必在轴上,设点M的坐标为(m,0).
点P的坐标为(XO,yo),由文[1]知抛物线在
点P处的切线方程为YoY=p(x+0),将
其与=一联立方程组解得点Q的坐标
/
为(一P,__).因为以PQ为直径的
圆恒过点M,所以M.MQ=0,又MP=
一,莉=(一P一),
所以(一,珈).(一P一m,):。,
即(m—。)(m+笔)+p(。一笔)=0.以。为
主元整理得(兰一m)骱+re(m+p一)一2:0,
依题意这个关于0的方程有无数个解,所以
m
P
--(mm
+
=
罟
O
),
一譬:。,解得m=P,故存在
这样的定点M其坐标为(p。,0),由此知定点
就是抛物线的焦点.于是对抛物线有如下性
质:
性质3已知P是抛物线Y=2px(p>
0)上一点,若抛物线在点P处的切线与准线
=一1J相交于点Q,则以PQ为直径的圆过抛
物线的焦点.
3.综合归纳完美统一
综合以上三性质可得圆锥曲线的一个统
一完美的性质如下:
性质4已知P是圆锥曲线C上一点,若
曲线C在点P处的切线与曲线的准线相交
于点Q,则以PQ为直径的圆恒过该准线对应
的焦点.
4.逆向推理变式探究
对性质4的部分条件和结论进行互换作变
式探究,笔者用几何画板演示,证实圆锥曲线
还有如下优美性质(限于篇幅证明留给读者):
性质5已知P是圆锥曲线C上异于长轴
端点(或实轴端点或抛物线顶点)的一点,F是
曲线C的焦点,若过点F且与PF垂直的直
线与曲线C在点P处的切线相交于点Q,则
点Q必在与焦点F对应的准线上.
2013年第1期数学教学1-19
一道高考题的研究报告
663300云南省广南一中玉邴图
2012年全国高考大纲卷理科第8题、文1PEI和lPFI之比引申为之积、之和、之差
科第10题是:等进行探索,得到什么结论?-
已知E、F是双曲线:X2一Y2:2的
两个焦点,点P在上,IPEl=21PFI,则
COSZEPF=()
100A
(A);(B)兰;(C);(D)三.
该问题取材于圆锥曲线焦点三角形的边
角关系,在解答过程中,用到圆锥曲线定义、
正、余弦定理等知识,难易适中,设计新颖,别
具一格,十分有趣.笔者认为这是一道不可多
得的好题,也恰好笔者任教高二年级数学,于
是就将其作为一次研究性课题材料.
笔者要求,就椭圆、双曲线焦点三角
形(椭圆或双曲线上一点和两个焦点组成的
三角形叫做焦点三角形)为依托,通过查阅资
料、请教老师、独立思考、互相交流、共同探
索研究等方法,完成一篇报告,建议从以下几
方面进行探究:
(一)从知识链上,寻求问题的多种解法.
(二)将问题推广、引申,即双曲线方
程和椭圆方程推广为一般的方程以及将
性质6己知P是圆锥曲线上异于长
轴端点(或实轴端点或抛物线顶点)的一点,
F是曲线的焦点,若过点F且与PF垂直的
直线与焦点F对应的准线相交于点Q,则直
线PQ与曲线相切于点P.
性质7已知Q是圆锥曲线的准线Z上
一点,F是与准线Z对应的焦点,若过点F且
与FQ垂直的直线与曲线相交于点P,则直
线PQ与曲线C相切于点P.
性质8已知Q是圆锥曲线C的准线Z上
(三)根据推广和引申的情况,能否求出焦
点三角形EPF的面积?
(四)联系教材内容实际和近年来的高考
试题,探讨应用.
要求一周后交一篇研究报告.
一周以后,共收到13篇研究报告,该班级
共有56人,每篇报告为3至5人共同完成.真
是人多智慧多,学生能探索出一些很有创意的
成果,下面笔者节录相关的片断.
一
、问题的解法
解法1:因为a=b=,c=2,设IPFI
=m,则IPEI=2m,由双曲线定义得2m—
m=2a,即IPFI=m=2a=2、//2,IPEl=
2IPFI:4、,.由题意和余弦定理得
cos=
32+8—163
—
2.2.4一4‘
一点,F是与准线f对应的焦点,若过点Q的直
线与曲线相切于点P,则FP_l-FQ.
笔者研究发现,2012年高考安徽卷理科
第20题与2012高考福建卷理科第l9题分别是
本文所研究的性质1和性质6的特例.
参考文献
[1】邹生书.圆锥曲线极点与极线的一组性
质.中学数学教学,2010(4):22—23.
[2]邹生书.用圆锥曲线极点与极线的性质
解题fJ].河北理科教学研究,2011(1):13—14.
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