2013年第1期数学教学1-19
一道高考题的研究报告
663300云南省广南一中玉邴图
2012年全国高考大纲卷理科第8题、文1PEI和lPFI之比引申为之积、之和、之差
科第10题是：等进行探索，得到什么结论?-
已知E、F是双曲线：X2一Y2：2的
两个焦点，点P在上，IPEl=21PFI，则
COSZEPF=()
100A
(A)；(B)兰；(C)；(D)三．
该问题取材于圆锥曲线焦点三角形的边
角关系，在解答过程中，用到圆锥曲线定义、
正、余弦定理等知识，难易适中，设计新颖，别
具一格，十分有趣．笔者认为这是一道不可多
得的好题，也恰好笔者任教高二年级数学，于
是就将其作为一次研究性课题材料．
笔者要求，就椭圆、双曲线焦点三角
形(椭圆或双曲线上一点和两个焦点组成的
三角形叫做焦点三角形)为依托，通过查阅资
料、请教老师、独立思考、互相交流、共同探
索研究等方法，完成一篇报告，建议从以下几
方面进行探究：
(一)从知识链上，寻求问题的多种解法．
(二)将问题推广、引申，即双曲线方
程和椭圆方程推广为一般的方程以及将
性质6己知P是圆锥曲线上异于长
轴端点(或实轴端点或抛物线顶点)的一点，
F是曲线的焦点，若过点F且与PF垂直的
直线与焦点F对应的准线相交于点Q，则直
线PQ与曲线相切于点P．
性质7已知Q是圆锥曲线的准线Z上
一点，F是与准线Z对应的焦点，若过点F且
与FQ垂直的直线与曲线相交于点P，则直
线PQ与曲线C相切于点P．
性质8已知Q是圆锥曲线C的准线Z上
(三)根据推广和引申的情况，能否求出焦
点三角形EPF的面积?
(四)联系教材内容实际和近年来的高考
试题，探讨应用．
要求一周后交一篇研究报告．
一周以后，共收到13篇研究报告，该班级
共有56人，每篇报告为3至5人共同完成．真
是人多智慧多，学生能探索出一些很有创意的
成果，下面笔者节录相关的片断．
一
、问题的解法
解法1：因为a=b=，c=2，设IPFI
=m，则IPEI=2m，由双曲线定义得2m—
m=2a，即IPFI=m=2a=2、／／2，IPEl=
2IPFI：4、，．由题意和余弦定理得
cos=
32+8—163
—
2．2．4一4‘
一点，F是与准线f对应的焦点，若过点Q的直
线与曲线相切于点P，则FP_l-FQ．
笔者研究发现，2012年高考安徽卷理科
第20题与2012高考福建卷理科第l9题分别是
本文所研究的性质1和性质6的特例．
参考文献
[1】邹生书．圆锥曲线极点与极线的一组性
质．中学数学教学，2010(4)：22—23．
[2]邹生书．用圆锥曲线极点与极线的性质
解题fJ]．河北理科教学研究，2011(1)：13—14．
1-20数学麸学2013年第1期
解法2：不妨设点P(x，Y)在第一象限，而
E(一2，0)，F(2，0)，故由条件IPl=2IPFI得
、／／(+2)0+Y=2v／(x一2)+Y。，与双曲
线方程联立解得第一象限的点P(3，)．而
E(一2，0)，F(2，0)，由两点间的距离公式可求
得IPEI=4、／／2，IPFl=2、／／2，以下同解法1．
解法3：因为a=b=~／2，C=2，e=、／／2，
IPEI=21PFI，设点P(x，Y)在双曲线右分支
上，由双曲线焦半径公式及题意得、／／+=
2(、／，一)，解得=3，代入双曲线方
程解得IYl=，不妨取点P为(3，)，同
解2得IREl=4、／／2，IPFI=2、／／2，以下同解
法1．
二、问题的推广
定理1设E、F是椭圆+=l(a>
b>0)的两个焦点，P是椭圆上的一点，若
1PEI=AIPFl(>0)，椭圆的离心率是e，
／EPF=0,~1]cos0=
圆定义得m+m=2。，~m----．
c。s：—(Am—
)2+m
厂
2
_4c2
mf+1)一4c
2Am2。
将m=而2a代入上式得
cos：
+1一e2(A+11
2’
定理2设E、F是双曲线一：1
aD‘
(a>0，b>0)的两个焦点，P是双曲线
上一点，若fPEi：A[PFf(>1)，双
曲线离心率是e，EPF=，则COS0=
+1一e2(A一1)2
2
证明：设IPFJ=m，则JPEI=Am，由
双曲线定义得m—m：20，即m：．
f一1
又因为lEFl=2c，由余弦定理得
c。s：—(Am—
)24-m2--4c2
m。(。+1)一4c
=一
2m2
将m=2a代入上式得
cos=
+1一e2(一1)。
一
————～
三、问题的引申
若将两条焦半径lPEI、IPFI之比改变为
之积、之差(或和)，进行研究，则得：
定理3设E、F是圆薯+y2=1(n>
b>0)的两个焦点，P是椭圆上的一点，
若IPE[IPFl=A2(>O)，ZEPF=0，则
0b
c0s===’
证明：设lPFl=m，则lPI=n，mn=
，由椭圆定义得m+7／,=2a，而1EFI：2c．
由余弦定理和椭圆定义得
m2+n2—4c2
CoS=——
2mn
(m+礼)一2mn一4c
2A2
r2a)一4c一2A2
==：一
2A2
2b2
．
一l
所1+c刚=警2coS20：
2bz0b
cos一2：：=’
定理4设E、是双曲线Xz
一万
yZ
：1
a0
(a>0，b>0)的两个焦点，P是双曲线上的一
点，若lPEI[PFI=(>0)，ZEPF=0，
=妻．
证明：设IPFI=m，则IPEI=n，mn=
2
，由双曲线定义得lm—nI：2a，而IEFI：
2013年第1期数学教学1-21
2c．由余弦定理和双曲线定义得
c0s：—
m2_-Fn2--4c2
(m一礼)+2ran一4c
===———■—一
f2a)一4c+2A
2A2
262
===l一
所以，1-C0s=豢2sin20_2=
2b
．
b
—A2一n===。
2
定理5设E(一c，0)、F(c，0)是椭圆+
=1(n>6>0)的两个焦点，P是椭圆上
则COS=62一c2+d2
n2一d2‘
证明：因为IPI—IPFI=2d，由椭圆
定义得IPEI+IPFI=2a，联立两式解得
lPEl=a+d，IPFI=a—d，而IEFI=2c，
由余弦定理得
cos：筹
02+d2—2c2b2～52+d2
一：：=：一
口2一d2n2一d2‘
定理6设E(一C，0)、F(c，0)是双曲线
一==：1(。>0，6>0)的两个焦点，P是双
曲线上的一点，若IPEl+lPFl=2d，~EPF=
lJc0s：．
证明：因为IPl+IPFI=2d，由双曲
线定义得lPEI—IPFl==t=2a，联立两式解得
IPI：d+a，lPFl=d～口或IJF)EI=d—
a，lPFI：d+a，而{EFI=2c，由余弦定理得
cos=
n2+d2—2c2d2一c2一b2
d2一n2‘
四、问题的再引申
在三角形中，由椭圆、双曲线定义知
lPEl+IPFl=2a，IPE1．～IPFI=4-2a，而
EF=2c，再结合JPEI=JJF)FJ或JP}
×IPFl=入或IPEl—lPFI=2d或IPEI+
IPFI=2d，三角形的三边都是己知，从而可
求出它的面积．
定理7P是椭圆X2+y2
：1>6>
0)上一点，点E、F是两个焦点，离心率为e，
若IPEI=AIPFI(A>0)，则APEF的面积
S=ab
证明：设P(，)，由椭圆焦半径公式及
题意得a+ex=A(a-ex)—=兰(吾)，
代入椭圆方程解得=兰
故APEF的面积
=三IEFI
定理8P是双曲线x2
一
y2
：1(。>。，
b>0)上一点，E、F是两个焦点，离心率为e，
若IPEI=入lPFI(>0)，则APEF的面积
S==ab
证明：设P(x，)，且在双曲线的右分支
上，由双曲线焦半径公式及题意得
e+a=入(e一0)，
解得=詈()，代入双曲线方程解得
e
YI=兰
故△PEF的面积s=IEFIII=
定理9P是椭圆x2+y2
=1(>6>0)
上一点，E、F是两个焦点，离心率为e，若IPEI
×IPFl=入。，则APEF的面积S=b=．
证明：设P(，)，由椭圆焦半径公式及
题意得(。+ez)(a--ex)：。z：主!．
代入椭圆方程解得z=b2),2+n2一薯)，解
得JYJ=兰v／-~_b2‘．
故△PEF的面积=IEFIII=c·
_
bx／~"b2。
：bx／—),2-—b2．
1-22数学教学2013年第1期
定理10P是双曲线CL2一y-=1(。>0，
b>0)上一点，E、F是两个焦点，离心率为e，
若IPElIPFl=2，则△PEF的面积=
by''V-b2’．
证明：设P(x，)，且在右分支上，由双曲
线焦半径公式及题意得(e+a)(ex一0)=入，
解得2：!
，代入双曲线方程解得2：
b2【．．X2-a2+筹)，解得II=册．
故APEF的面积S=言IEFl=c·
o
，、2_：6=．
c
2。．2
定理l1设E、F是椭圆+=1(0>
0D‘
b>0)的两个焦点，P是椭圆上的一点，若
IPEI—IPFI=2d，则△PEF的面积S=
、／／(0+c)(n—c)(c+d)(c—d)．
证明：因为IPEI—lPFI=2d，由椭圆定
义得IPEI+lPFI=2a，联立两式解得IPI=
0+d，lPFl=0一d，而lFI=2c，△PEF的
半周长P=妄(IPEI+lPFI+lEFI)=0+c，由
海伦公式得
S=、／／(0+c)(0一c)(c+d)(c—d)．
2，2
定理12设E、F是双曲线一=1
(n>0，b>0)的两个焦点，P是双曲线上的
一点，若IPEl+}PFI=2d，则△PEF的面积
S：、／／(0+c)(a—c)(c+d)(c—d)．
证明：因为IPl+IPFI=2d，由双曲
线定义得}PEl—IPFI=+2a，联立两式解得
IPEl=d+0，IPFl：d一0或lPEI=d一
0，jPFl=d+n，而lEFl=2c，故△PEF的半
周长P=去(IPEl+lPFl+lEFI)：言(2c+d+
n+d一0)=d+C，由海伦公式得
S=、／／(d+c)(d—c)(c+0)(c一0)
=、／／(0+c)(0一c)(c+d)(c—d)．
五、结论的应用
研究问题的目的之一是掌握知识，解决问
题，这也是创新的表现，下面我们看这几个结
论的应用，限于篇幅，略举数例说明．
例1f2010年全国高考全国卷I理科第9
题)设E、F是双曲线2一2=1的左、右焦
点，P是双曲线上的一点，若ZEPF=60。，则
P点到轴的距离是()
(A)；(B)；(c)；(D)．
解：设IPElIPFJ=(>0)j因为0=
60。，0=b=1，e=、／／2，由定理4及双曲线
焦半径公式得sin：1
，所以：2，于是
2=(ez+n)(e—0)，所以4=2x2—1，从而
兰．
代入双曲线方程2一2=1解得=
．
．故选(B)．
例2f2007年全国高考辽宁卷I理科第
11题)设E、F是双曲线12：c2一2：12的
左、右焦点，P是双曲线上的一点，lEPI：
IFPI=3：2，则三角形PEF的面积是．．．()
(A)6、／／3；(B)12；(C)12v''g；(D)24．
解：因为0=1，b=2v''g，c：、／／13，
e=、／／13，=3：2，由定理8得三角形PEF的
面积S=12．
六、体会浅说
在引导学生进行研究性学习时，要选择好
课题，围绕教材内容适当选取，难易适中，不能
要求过高，使大多数学生都能完成．问题设置
情景要明确、具体且有梯度，使学生知道要做
什么，研究什么问题，给学生一定时间去思考，
分析研究如何完成．教师适当点拨，但是不要
替学生做．
探究不同于总结，不必求全，应注重对数
学知识的应用和迁移，理解数学本质．教师要
及时做好讲评，成果加工，整合和交流，使所研
究的问题收到良好的效果．
本课题是以一道高考题为题材，对其探究
创新(定理1～12，对于学生来说就是创新，就
是发现)，目的是告诉我们的学生，数学的创新
与发展并不神秘，只要我们遵循数学研究规律，
从已有的具体问题出发，将其一般化(推广)，
或将问题作横向纵向类比(引申)，或将问题逆
向思考，这样做，总会发现一些数学规律．这样
做，新的发现就会在学生的头脑中孕育产生，
创新能力也就会不断地得到培养和提高．
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