特征方程法
————攻克递推数列通项公式
【内容摘要】用特征方程法求数列通项公式并非竞赛的专利，普通的学生也可
以掌握，利用本文的三个定理，可以快捷的求出2008年高考数学
（广东卷陕西卷）的数列压轴题的通项公式。
【关键词】特征方程递推数列通项公式
【正文】
2008年高考广东的文科数学和理科数学都是以数列作为压轴题。从得分上看，文科数学的第21题数列题的平均分是0.14分，共有26万多考生得0分，2位考生得满分；理科数学的第21题数列题的平均分是0.71，共有16万多位考生得0分，103位考生得满分。这两个压轴题的关键就是通项公式的求解。这两个题通项公式的求解方法很多，用一般的方法需要很强的构造能力，而用数学竞赛中的特征方程法求解是比较快捷的。而且这个方法，普通学生也可以掌握，只需掌握以下三个定理。
一、一阶线性递推数列
定理1：已知数列的项满足其中,称方程为数列的特征方程，设特征方程的根为，则（1）当时，数列为常数数列；（2）当是以为公比的等比数列。
例1．已知数列满足：，，求
解：相应特征方程为
所以数列是首项为的等比数列.
例2．已知数列满足递推关系：其中为虚数单位。当取何值时，数列是常数数列？
解：相应特征方程为则特征根
要使为常数数列，则必须
二、二阶线性递推数列
定理2：已知数列的项满足，，称方程，为数列的特征方程。若是特征方程的两个根，则（1）当时，数列的通项为，其中A，B由初始值决定；（2）当时，数列的通项为，其中，由初始值决定。
例3．（2008年高考广东卷文科数学第21题）
设数列满足，，数列满足是非零整数，且对任意的正整数m和自然数k，都有
（1）求数列和的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和Sn.
解：其中数列的通项公式的求解如下：
数列相应的特征方程为，特征根为
可设。
又由，于是，故
例题4.（2008年高考广东卷理科数学第21题）．
设为实数，是方程的两个实根，数列满足，，（…）．
（1）证明：，；
（2）求数列的通项公式；
（3）若，，求的前项和．
解：其中数列的通项公式的求解如下：
数列相应的特征方程为，特征根为
当时，可设，由，，
得，
当时，可设，由，，
得，
三、一次分式递推数列
定理3：已知数列的项满足：且对于，都有（其中p、q、r、h，且），称方程为数列的特征方程.
（1）当特征方程有两个相同的特征根时，
（i）若则数列为常数数列
（ii）若，则数列为等差数列。
（2）当特征方程有两个相异的特征根、时，则数列为等比数列。
例题5．（2008年高考陕西卷数学第22题）
已知数列的首项，，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）证明：对任意的，，；
（Ⅲ）证明：．
解：其中数列的通项公式的求解如下：
数列相应的特征方程为，特征根为
所以数列为等比数列，由，
得数列的首项是，
所以，
可以看出，用特征方程法求特定类型的递推数列的通项公式是非常方便快捷的，对于基础较好的学生，该方法可以是一个很有益的补充。
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