第六讲代数式的求值
代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值．因此，求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．
1
因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用．
x的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x后，再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件．
3x2+3x-1=0，所以
6x4+15x3+10x2
=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1
=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1
=0+1=1
(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答．
2已知a，b，c为实数，且满足下式：
a2+b2+c2=1
a+b+c的值．
所以
a+b+c=0bc+ac+ab=0．
bc+ac+ab=0，则
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)
=a2+b2+c2=1
a+b+c=±1．所以a+b+c的值为0，1，-1．
3拆成1+1+1，最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的形式．
2
3已知x+y=m，x3+y3=n，m≠0，求x2+y2的值．
x+y=m，所以
m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3mxy，
x2+6xy+y2的值．
x，y的值直接代入计算较繁，观察发现，已知中x，y的值正好是一对共轭无理数，所以很容易计算出x+y与xy的值，由此得到以下解法．
x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy
=(x+y)2+4xy
3
(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．有时也可把代数式中某一部分式子，用另外的一个字母来替换，这叫换元法．
k，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式．
x(a-b)k，y＝(b-c)k，z＝(c-a)k．
所以
x+y+z=(a-b)k(b-c)k+(c-a)k=0．
u+v+w=1
把①两边平方得
u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1
u2+v2+w2=1，
即
两边平方有
所以
4
若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用．
8若x2-4x+|3x-y|=-4，求yx的值．
x，y的值均未知，而题目却只给了一个方程，似乎无法求值，但仔细挖掘题中的隐含条件可知，可以利用非负数的性质求解．
x2-4x+|3x-y|=-4，所以
x2-4x4＋|3x-y|=0，
(x-2)2+|3x-y|=0．
yx=62=36．
9未知数x，y满足
(x2y2)m2-2y(x+n)m+y2+n2=0，其中m，n表示非零已知数，求x，y的值．
将已知等式变形为
m2x2+m2y2-2mxy-2mny+y2+n2=0
(m2x2-2mxy+y2)+(m2y2-2mny+n2)=0(mx-y)2+(my-n)2=0．
5
分式与根式的化简求值问题，内容相当丰富，因此设有专门讲座介绍，这里只分别举一个例子略做说明．
10已知xyzt=1，求下面代数式的值：
同理
分利用这种对称性，或称之为整齐性，来简化我们的计算．
(但请注意算术根！)
练习六
2x+y=a，x2+y2=b2，求x4+y4的值．
3a-b+c=3，a2+b2+c2=29，a3+b3+c3=45，求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值．
5a+b+c=3m，求(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)的值．
813x2-6xy+y2-4x+1=0，求(x+y)13·x10的值．
为数学分
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