第九讲一元二次方程
一元二次方程是中学代数的重要内容之一,是进一步学习其他方程、不等式、函数等的基础,其内容非常丰富,本讲主要介绍一元二次方程的基本解法.
ax2+bx+c=0(a≠0)称为一元二次方程.
一元二次方程的基本解法有开平方法、配方法、公式法和国式分解法.
ax2+bx+c=0(a≠0),△=b2-4ac称为该方程的根的判别式.当△>0时,方程有两个不相等的实数根,即
=0时,方程有两个相等的实数根,即
0时,方程无实数根.
因为
所以
2解关于x的方程:
x2-(p2+q2)x+pq(p+q)(p-q)=0
[x-p(p-q)][x-q(p+q)]=0
x1=p(p-q),x2=q(p+q).
3已知方程(2000x)2-2001×1999x-1=0的较大根为a,方程x2+1998x-1999=0的较小根为β,求α-β的值.
(2000x)2-2001×1999x-1=0得
(20002x+1)(x-1)=0,
(x+1999)(x-1)=0
x1=-1999,x2=1,所以β=-1999.所以
α-β=1-(-1999)=2000.
4解方程:(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1).
(x-1),将方程变为
3x-1=4x+1,
x=-2,这样就丢掉了x=1这个根.故特别要注意:用含有未知数的整式去除方程两边时,很可能导致方程失根.本题正确的解法如下.
(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0,
(x-1)[(3x-1)-(4x+1)]=0
(x-1)(x+2)=0
x1=1,x2=-2.
5解方程:x2-3|x|-4=0.
1显然x≠0.当x>0时,x2-3x-4=0,所以x1=4,x2=-1(舍去).当x<0时,x2+3x-4=0,所以x3=-4,x4=1(舍去).
x1=4,x2=-4.
2由于x2=|x|2,所以
x|2-3|x|-4=0,
(|x|-4)(|x|+1)=0,
x|=4,|x|=-1(舍去).
x1=4,x2=-4.
6已知二次方程
3x2-(2a-5)x-3a-1=0
2,求另一个根,并确定a的值.
x=2时方程成立,所以
322-(2a-5)×2-3a-1=0,
a=3.原方程为
3x2-x-10=0(x-2)(3x+5)=0,
7解关于x的方程:ax2+c=0(a≠0).
c=0时,x1=x2=0;
ac>0(即a,c同号时),方程无实数根.
8解关于x的方程:
(m-1)x2+(2m-1)x+m-3=0
m,由于二次项系数含有m,所以首先要分m-1=0与m-1≠0两种情况(不能认为方程一定是一元二次方程);当m-1≠0时,再分△>0,△=0,△<0三种情况讨论.
(1)m=1时,原方程变为一元一次方程
x-2=0,
x=2.
(2)m≠1时,原方程为一元二次方程.
=(2m-1)2-4(m-1)(m-3)=12m-11.
9解关于x的方程:
a2(x2-x+1)-a(x2-1)=(a2-1)x
(a2-a)x2-(2a2-1)x+(a2+a)=0
(1)a2-a≠0,即a≠0,1时,原方程为一元二次方程,因式分解后为
[ax-(a+1)][(a-1)x-a]=0
(2)a2-a=0时,原方程为一元一次方程,当a=0时,x=0;当a=1时,x=2.
10求k的值,使得两个一元二次方程
x2+kx-1=0x2+x+(k-2)=0
有相同的根,并求两个方程的根.
a是这两个方程相同的根,由方程根的定义有
a2+ka-1=0
a2+a+(k-2)=0
-②有
ka-1-a-(k-2)=0
(k-1)(a-1)=0,
k=1,或a=1.
(1)k=1时,两个方程都变为x2+x-1=0,所以两个方程有两个相同的根
(2)a=1时,代入①或②都有k=0,此时两个方程变为
x2-1=0,x2+x-2=0.
x2-1=0的根为x1=1,x2=-1;x2+x-2=0的根为x1=1,x2=-2.x=1为两个方程的相同的根.
11若k为正整数,且关于x的方程
(k2-1)x2-6(3k-1)x+72=0
k的值.
(k+1)(k-1)x2-6(3k-1)x+72=0
[(k+1)x-12][(k-1)x-6]=0
即
47.所以k=2,3使得x1,x2同时为正整数,但当k=3时,x1=x2=3,与题目不符,所以,只有k=2为所求.
12关于x的一元二次方程x2-5x=m2-1有实根a和β,且|α|+|β|≤6,确定m的取值范围.
|α|+|β|=α+β=5<6,
m2≤1.
13设a,b,c为△ABC的三边,且二次三项式x2+2ax+b2与x2+2cx-b2有一次公因式,证明:△ABC一定是直角三角形.
x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0必有公共根,设公共根为x0,则
两式相加得
x0=0,代入①式得b=0,这与b为△ABC的边不符,所以公共根x0=-(a+c).把x0=-(a+c)代入①式得
(a+c)2-2a(a+c)+bg2=0,
整理得
a2=b2+c2
ABC为直角三角形.
14有若干个大小相同的球,可将它们摆成正方形或正三角形,摆成正三角形时比摆成正方形时每边多两个球,求球的个数.
x个球,则摆成正方形时每边有(x-2)个球.此时正三角形共有球
(x-2)2个球,所以
x2-9x+8=0,
x1=1x2=8.
x-2≥1,所以x1=1不符合题意,舍去.所以x=8,此时共有球(x-2)2=36个.
练习九
1
(2)20x2+253x+800=0
(3)x2+2x-1|-4=0.
2x的方程:
(1)abx2-(a4+b4)x+a3b3=0
(2)(2x2-3x-2)a2+(1-x2)b2=ab(1+x2)
3a,关于x的方程
x2-2ax-a+2b=0
b的取值范围.
4x2+ax+b=0和x2+bx+a=0有一个公共根,求(a+b)2000的值.
5a,b,c为△ABC的三边,且关于x的方程
4x2+4(a2+b2+c2)x+3(a2b2+b2c2+c2a2)=0ABC是等边三角形.
为数学加分
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