2015年安庆市高三模拟考试（三模）
数学试题（理科）
第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1.复数满足，其中是虚数单位，则
A.或B.或C.或D.或
2.在中，角的对边为，则“”成立的必要不充分条件为
A．B．
C．D．
3.若以、为焦点的双曲线经过点，且，，则该双曲线的离心率为
A． B．2C．3D．
4.某高二学生练习篮球，每次投篮命中率约，现采用随机模拟的方法估计该生投篮命中的概率；先用计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0,1,2表示命中，4,5,6,7,8,9表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表3次投篮的结果.经随机模拟产生了如下随机数：
807956191925271932813458569683
431257393027556488730113527989
据此估计该生3次投篮恰有2次命中的概率约为
A.0.15B.0.25C.0.2D.0.18
5.某篮球架的底座三视图如图所示，则其体积为
A.
B.175
C.180
D.
6.已知不等式的解集为，则的最小值为
A.B.2C.D.4
7.在极坐标系中，曲线：，、为曲线的两点，以极点为原点，极轴为轴非负半轴的直角坐标中，曲线：上一点，则的最大值为
A． B．C．D．
8.已知是周期为2的奇函数，当时，，则的值为
A.B.C.D.
9.已知圆上有均匀分布的8个点，从中任取三个，能构成锐角三角形的个数为
A.8B.24C.36D.12
10.已知函数①；②；③；④；⑤；其中对于定义域内的任意，都存在，使得成立的函数是
A.①③B.②⑤C.③⑤D.②④
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上).
11.设实数，满足，则不等式有解的实数的最小值为.
12.已知，则.
13.已知是等比数列的前项和，若，，则.
14.如图所示的程序框图中，若函数总有四个零点，则的取值范围是
15.给出下列命题：①若，则、的夹角为钝角；②若,,则；③若为空间的一组基底，则对于实数、、满足时，；④；⑤在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为.
其中正确的是（把你认为正确的命题序号都填上）.
三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤).
16．（本题满分12分）
如图所示，射线OA与单位圆交于A，与圆交于点B，过A平行于轴的直线与过B与轴垂直的直线交于P点，OA与轴的夹角为，若
(Ⅰ)求的最值；
(Ⅱ)求的单调区间和图象的对称中心。
17．（本题满分12分）
在市高三第一次模拟考试数学学科考试后，某同学对老师说：第（Ⅰ）卷为十道选择题，每题5分，前六道没错，第7、8、9三题均有两个选项能排除，第10题只有一个选项能排除.
(Ⅰ)求该同学选择题得40分的概率；
(Ⅱ)若(Ⅱ)卷能拿65分，该同学数学得分的期望和得分不低于100分的概率.
18.（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，四边形是边长为4的正方形，平面，，是的中点，与相交于，
(Ⅰ)在上求一点，使平面；
(Ⅱ)求二面角的余弦值；
19．（本题满分13分）
椭圆的经过中心的弦称为椭圆的一条直径，平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条直线段，称为该直径的共轭直径.已知椭圆的方程为.
(Ⅰ)若一条直径的斜率为，求该直径的共轭直径所在的直线方程；
(Ⅱ)若椭圆的两条共轭直径为和，它们的斜率分别为、，证明：四边形的面积为定值.
20．（本题满分13分）
已知正项数列满足：，，，其中为其前项和.
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)设数列满足：，，.试证明：
（）.
21.（本题满分13分）设函数，其中，.
(Ⅰ)讨论函数的单调性；
(Ⅱ)设，求证：当，时，对任意的，总有.
2015年安庆市高三模拟考试（三模）
数学试题（理科）参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C C B D B D A B 1.C【解析】设（，），由得，所以，，所以或.选C.
2.D【解析】等价于，等价于，排除A、B；由及正弦定理可得，,得，排除C；选D.
3.C【解析】不妨设、为左、右焦点，实半轴长为，半焦距为，若点C在双曲线的左支上，设BC中点为D，则由定义知|BD|=|BC|=(2+2a)=c+a，在Rt△ABD中，由，故不可能。故在双曲线的右支上设中点为，则由双曲线定义知，在中，,故，得.选C.
4.C【解析】随机数共有20组，其中表示3次投篮恰有2次的有：191，271，027，113，共4组，所以估计概率为.选C.
5.B【解析】.选B.
6.D【解析】时，，由韦达定理，，则当且仅当时取等号.选D.
7.B【解析】曲线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为，则取最大值时，、与圆C相切，且最短，此时在中，，故，为.选B.
8.D【解析】由已知为周期为2的函数，由是奇函数，有，
，故，而时，
，所以，
9.A【解析】能构成三角形个，其中直角三角形个，钝角三角形个，故锐角三角形为8个.选A.
10.B【解析】由知，对函数图象上任意一点，都存在一点,使,由图象可知，符合条件的有②⑤；选B.
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上).
11.【解析】令，当椭圆与线段相切时，最小.联立，消去得，由，得.即，所以实数的最小值为.
12.127【解析】设，则，令，则，
令，则，令，则，
.
13.15【解析】设等比数列的公比为，显然，，，由得，.
14.【解析】，结合图象可知：.
15.③⑤【解析】①当、的夹角为时，，不正确；②当时不正确；③由空间向量基本定理，正确；④
数学试题（理科）参考答案（共7页）第2页
，当与同向共线时，取等号，不正确；⑤在基底下的坐标为，即，正确.
三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤).
16．（本题满分12分）
【解析】(Ⅰ)依题意，，，，因此，
所以，的最大值为4，最小值为0；…………6分
(Ⅱ)由得：，
因此，的单调增区间为，同理可得：的单调减区间为，其图象的对称中心为…………12分
17．（本题满分12分）
【解析】(Ⅰ)第7、8、9三题均有两个选项能排除，因此，第7、8、9三题做对的概率均为，第10题只有一个选项能排除，因此，第10题做对的概率为.
所以，该同学选择题得40分的概率P为：
(Ⅱ)设该同学7、8、9、10题中做对的题数为，则随机变量的分布列为
0 1 2 3 4
所以，该同学数学得分的期望为
该同学数学得分不低于100分的概率为…………12分
数学试题（理科）参考答案（共7页）第3页
18.（本题满分12分）
【解析】(1)分别取、、的中点、、，连接、、、
则∥∥∥且
∴四边形为平行四边形∴∥
又平面，平面，
∥平面，即为的中点.…………5分
(Ⅱ)分别以直线、、为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
则，，，
设平面的法向量为
由，，令得：
类似可得平面的法向量为，
<,>,所以二面角的余弦值为.…………12分
19．（本题满分13分）
【解析】(Ⅰ)设斜率为的直径平行的弦的端点坐标分别为、，该弦中点为，则有，，相减得：，
由于，，且，所以得：，
故该直径的共轭直径所在的直线方程为.……………………5分
(Ⅱ)椭圆的两条共轭直径为和，它们的斜率分别为、.
四边形显然为平行四边形，设与平行的弦的端点坐标分别为、，
数学试题（理科）参考答案（共7页）第4页
则，，而，，
,故.
由得、的坐标分别为，
故=，
同理、的坐标分别为，
所以，点到直线的距离
设点到直线的距离为，四边形的面积为，则，为定值.……………………13分
20．（本题满分13分）
【解析】(Ⅰ)由可得，，
两式相减得.
因为，所以，即（）.所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，故.…………5分
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(Ⅱ)因为，即，所以，（），所以，（），bn+1≠bn
当时，，所以当时结论正确.
当时，
.
由条件易知，所以＞,所以
＞…………13分
21.（本题满分13分）
【解析】（Ⅰ），
.…………1分
①当时，，从而，所以在上单调递增；
②当时，.设方程的两根分别为，，其中，.
因为，，所以，，或，所以在和上单调递增，在上单调递减；
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③当时，，，所以
，，所以在和上单调递增，在和上单调递减.…………7分
(Ⅱ)当时，，由（I）知在和上单调递增，在和上单调递减.
所以在上，.…………9分
因为，所以在上，.…………11分
因为，
当时，.
所以当，时，对任意的，总有.…………13分
数学试题（理科）参考答案（共7页）第7页
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