立体几何考试试题分析及解题方法指导
2007——2009湖北省试题分析
1、（2008湖北18）如图，在直三棱柱中，平面侧面
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）若直线AC与平面A1BC所成的角为θ,二面角A1-BC-A的大小为φ的大小关系，并予以证明.
法1：几何法(省略)
法2：由（1）知，以点为坐标原点，以、、所在的直线分轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则，
于是，。
设平面的一个法向量为，则
由得
可取，于是与的夹角为锐角，则与互为余角。
所以，，
所以。
于是由，得，
即，又所以。
2.（2008湖北文18）如图，在直三棱柱中，平面侧面
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）若，直线AC与平面所成的角为，二面角
(Ⅰ)证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，则
由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC∩侧面A1ABB1＝A1B，
得AD⊥平面
A1BC.又BC平面A1BC
所以AD⊥BC.
因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱,
则AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥BC.
又AA1∩AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1,
又AB侧面A1ABB1，
故AB⊥BC.
(Ⅱ)证法1：连接CD,则由(Ⅰ)知∠ACD就是直线AC与平面A1BC所成的角，∠ABA1就是二面角A1－BC－A的颊角，即∠ACD＝θ，∠ABA1=?.
于是在RtΔADC中，sinθ=,在RtΔADA1中，sin∠AA1D＝,
∴sinθ=sin∠AA1D,由于θ与∠AA1D都是锐角，所以θ＝∠AA1D.
又由RtΔA1AB知，∠AA1D＋?＝∠AA1B＋?＝，故θ＋?＝.
法2：（向量法）省略
3、（2009湖北理18）如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，点E是SD上的点，且
（Ⅰ）求证：对任意的，都有
（Ⅱ）设二面角C—AE—D的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若，求的值
（Ⅰ）证法1：如图1，连接BE、BD，由地面ABCD是正方形可得AC⊥BD。
SD⊥平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，AC⊥BE
（Ⅱ）解法1：如图1，由SD⊥平面ABCD知，∠DBE=,
SD⊥平面ABCD，CD平面ABCD,SD⊥CD。
又底面ABCD是正方形，CD⊥AD，而SDAD=D，CD⊥平面SAD.
连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DE⊥AE于F，连接CF，则CF⊥AE，
故∠CDF是二面角C-AE-D的平面角，即∠CDF=。
在Rt△BDE中，BD=2a，DE=
在Rt△ADE中,
从而
在中，.
由，得.
由，解得，即为所求.
证法2：（向量法）省略
2009年其他省市（部分）试题分析
1.（2009安徽理18）如图，四棱椎F-ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2,BD=.AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1,CF=2.
(Ⅰ)求二面角B-AF-D的大小；
(Ⅱ)求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解：（I）（综合法）连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OGAF，
G为垂足。连接BG、DG。由BDAC，BDCF得BD平面ACF，故BDAF。
于是AF平面BGD，所以BGAF，DGAF，BGD为二面角
B－AF－D的平面角。
由，，得，
由，得
（II）连EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD。过H作HP⊥平面ABCD，P为垂足。
因为EA⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，，所以平面ACFE⊥平面ABCD，从而
由得。
又因为
故四棱锥H-ABCD的体积
2．（2008四川理19）如，平面平面，四边形与都是直角梯形，
，
（Ⅰ）证明：四点共面；
（Ⅱ）设，求二面角的大小；
【解1】：（Ⅰ）延长交的延长线于点，由得
延长交的延长线于
同理可得
故，即与重合
因此直线相交于点，即四点共面。
（Ⅱ）设，则，
取中点，则，又由已知得，平面
故，与平面内两相交直线都垂直。
所以平面，作，垂足为，连结
由三垂线定理知为二面角的平面角。
故
所以二面角的大小
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A
F
D
B
C
E
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