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朱載堉《樂律全書》之十二平均律
上傳書齋：瀟湘館112
何世強
HoSaiKeung
提要：明?朱載堉著《樂律全書》四十二卷，本文涉及該書之十二平均率
算法。
關鍵詞：朱載堉、《樂律全書》、十二律呂、十二平均率。
第1節《樂律全書》作者朱載堉簡介
朱載堉﹝公元1536年－1611年﹞，字伯勤，號句曲山人，年青時曾自號
“狂生”、“山陽酒狂仙客”。明宗室鄭恭王朱厚烷嫡子，出生於懷慶（今河
南沁陽）。明仁宗第二子鄭靖王朱瞻埈之後，明太祖朱元璋之九世孫，明成祖
朱棣之八世孫，明仁宗朱高熾之七世孫。早年即從外戚何瑭習天文、算術，其
後因明世宗聽信讒言，認為朱厚烷在鄭國中驕傲無禮，大逆不道，於是朱厚烷
遭削爵，降為庶人，並禁錮於鳳陽。朱載堉因不滿其父獲罪入獄，築室宮外獨
處十九年，至1567年，明穆宗朱載垕﹝同厚﹞即位，是為隆慶元年，隨即平反
寃獄，大赦天下，朱厚烷亦獲釋，並獲復王爵，增歲祿四百石。朱厚烷獲釋
後，朱載堉方重返宮中。
萬曆十九年﹝公元1591年﹞朱厚烷卒，諡號恭，長子“端清世子”朱載堉
襲爵，朱載堉執意不襲封鄭王，十五年後由朱見濍孫朱厚煒之子朱載壐嗣位，
而朱載堉之子孫則嗣封東垣王。
朱載堉乃明律學家、音樂家、數學家，發明“十二平均律”﹝見下文﹞。
其著作有《樂律全書》、《律呂正論》、《律呂質疑辨惑》、《嘉量算經》、
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《律呂精義》、《律曆融通》、《算學新說》、《瑟譜》等。朱載堉醉心於律
學、音樂與著述，自知非治國人才，堅拒襲爵乃屬明智之舉。其實朱載堉年青
時已無涉足政壇之意，其“狂生”、“山陽酒狂仙客”等自號頗為頹廢不覊，
其目的相信為規避家族之爭權奪位，故為避禍而不願從政，而其父之入獄，亦
顯示出親族間之無情。
《樂律全書》共四十二卷，卷首有〈樂律全書序〉，序末記曰：
萬曆丙申正月朔日鄭世子臣載堉稽首頓首謹序。
萬曆丙申為公元1596年，即萬曆二十四年。
第2節以十二平均律算律管長
朱載堉《樂律全書?卷一》記載其十二平均率之來源及算法。朱載堉稱其
術為“新法筭律”，其術仍以句﹝同勾﹞股術為主。傳統之黃鐘律長為9寸，
朱氏知9寸不及10寸方便，故以黃鐘律長為10寸。
明代數學流行“連比例”，十二平均率屬連比例之一種。清?項名達著
《象數一原》，此書有“律管新術”一文，談及十二律呂之律管長，此文大致
上承襲《樂律全書》十二平均率之算法，可知《樂律全書》對清代數學及樂律
界之影響。
項名達《象數一原》中有所謂“鄭世子勾股開方算律法”，“鄭世子”即
指朱載堉。此名來源可参閱上文。其“勾股開方算律法”即為十二平均率之算
法，見下文。
至於“律數連比例”之說法，可參閱筆者之〈項名達《象數一原》之算律
管新術〉一文。
朱載堉之十二平均率之來源及算法，有可能出自《幾何原本》之幾何比例
問題。《幾何原本》乃意大利傳教士利瑪竇(MatteoRicci,1552-1610)與明?徐
光啟合譯之數學著作。中國之最早譯本於1607年成書，朱載堉卒於1611年，
應有機會閲讀此書。《幾何原本》中所提及之幾何比例主要有兩種：一為“連
比例”，即ba=cb，二為“斷比例”，即ba=dc。連比例亦可作如下之式ba
=cb=dc=ed=…，十二平均率即屬連比例之列。
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清?律官審閱《樂律全書》曰：
此書所謂“新法”，蓋即《數理精蘊》內“差分”，周而復始之術也。
依朱載堉十二平均率之法可知其第二數為大呂律數，但朱載堉所得者非大
呂律數，乃為倍蕤賓之律長﹝見下文之說明﹞。
黃鐘求蕤賓律長圖
以下為“勾股開方算律法”之要點：
設一直角﹝C為直角﹞等腰三角形兩直角邊長CB及CA皆為10寸，此即
為黃鐘之律長﹝見以上之〈黃鐘求蕤賓律長圖〉﹞，斜邊AB即弦長，因勾羃
=股羃=100方寸，羃，平方也。故弦AB長為﹝依勾股定理﹞：
AB=221010?=102=200=14.14213562373095048801689。依《樂
律全書》所記，共25個有效數字，單位為寸。
若一寸十分，《樂律全書》記為：
1尺4寸1分4釐2毫1絲3忽5微6.2373095048801689纖。
此即為倍蕤賓之律長。
為何此數為蕤賓而不為他律之數？因為此數除以2後最接近古律之蕤賓
數。
若不化簡，倍蕤賓律長=AB=102，故蕤賓律長=52。
再求者乃南呂之律長。南呂律長求法如下：
先求14.14213562373095048801689×10=141.4213562373095048801689
﹝平方寸﹞，取其平方根得：
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?141.4213562373095048801689=11.89207115002721066717500，此數為倍
南呂律長，即(10AB)1/2=(102×10)1/2=10×21/4=10×412。
注意南呂律長為5×412。
應鐘律長求法：
先求11.89207115002721066717500×10×10=
1189.207115002721066717500；
求其立方根得1189.2071150027210667175001/3=
10.59463094359295264561825。
此即為應鐘之雙倍律長，或記為(10×412×10×10)1/3=10×1212=
10.59463094359295264561825。故應鐘律長為5×1212。
應鐘倍律為10.59463094359295264561825，即10×1212乃重要之數，又設
k=1212，即k=1.059463094359295264561825。《樂律全書》稱10×1212為“終
數”。
以下為“新法筭律”之法﹝以下各數之單位為寸﹞：
﹝一﹞黃鐘10寸﹝第一數，以此數為基礎﹞。
﹝二﹞
大呂律數：
=黃鐘正律÷k
=10÷1.059463094359295264561825=9.43874312681693496641913。
倍大呂律數18.87748625363386993283826。
﹝三﹞
太蔟律數：
=大呂律數÷k
=9.43874312681693496641913÷1.059463094359295264561825
=8.90898718140339304740226。
倍太蔟律數17.81797436280678609480452。
其餘可類推。
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“新法筭律”之法仍以黃鐘律長10寸為始，其餘十一律乃依次乘以
k1
而
得，而k=122=21/12=1.059463094。以下為十二律之算法﹝取小數後九
位﹞，：
1.黃鐘10寸。
2.大呂律數=黃鐘律數÷k=k10=9.438743127。
3.太蔟律數=大呂律數÷k=
210k
=8.908987181。
4.夾鐘律數=太蔟律數÷k=
310k
=8.408964153。
5.姑洗律數=夾鐘律數÷k=
410k
=7.937005260。
6.仲呂律數=姑洗律數÷k=
510k
=7.491535384。
7.蕤賓律數=仲呂律數÷k=
610k
=7.071067812。
8.林鐘律數=蕤賓律數÷k=
710k
=6.674199271。
9.夷則律數=林鐘律數÷k=
810k
=6.299605249。
10.南呂律數=夷則律數÷k=
910k
=5.946035575。
11.無射律數=南呂律數÷k=
1010k
=5.612310242。
12.應鐘律數=無射律數÷k=
1110k
=5.297315472。
依上述算法可得下表，至於“倍律數”《樂律全書》記為“倍律積筭”。
古法仲呂之數61968312974，《淮南子?天文》稱之為“極不生”，即此乃盡數，故
曰“極”，此數不能再生他數，故曰“極不生”。古法之所謂“往而不返”乃
指仲呂不能上生為黃鐘律數。理想之率法為仲呂律數能上生黃鐘之律數，於是
循環不息。朱載堉之法則不同，其法“往而可返”，但其最後一率非仲呂而為
應鐘。
《樂律全書》之法由黃鐘得大呂，由大呂可得太蔟，最後可得應鐘，由應
鐘又可得黃鐘，循環不息，並非古法之“往而不返”。
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其實依《樂律全書》所云，應鐘只能生黃鐘之半律，即5寸，朱載堉之說
有取巧之嫌﹝見下表﹞。注意黃鐘至應鐘是一遞減幾何級數，所得數之次序符
合《樂律全書》。為何要加上“倍律數”？因為至應鐘時再生只可得半黃鐘，
半黃鐘倍之即可得10，此乃“往而可返”之義，亦為朱載堉加上“倍律數”之
理由。最初如用倍黃鐘數運算，則可返回黃鐘之正律。
朱載堉《樂律全書》曰：
是故各律皆以黃鐘正數十寸乘之為實，皆以應鐘倍數十寸○五分九釐四毫
六絲三忽○九纖四三五九二九五二六四五六一八二五為法，除之即得其次
律也，安有“往而不返”之理哉？
其意指以10乘以某律數﹝包括黃鐘本身﹞，此積為“實”，“實”即被除
數，應鐘倍數10.59463094359295264561825為“法”，“法”即除數，求其商
即可得次律﹝即下一律﹞。
例如大呂=10×10÷10.594630943=9.438743127。
太蔟=10×9.438743127÷10.594630943=8.908987181。
其餘可類推。下表為遞乘遞除之結果，至得黃鐘之半律為止。下表之單位
為寸。
十二律呂正律積筭表
律呂十二律呂律長倍律數《樂律全書》記數
黃鐘10.000000000------
大呂9.43874312718.8774862518.87748625363386993283826
太蔟8.90898718117.8179743617.81797436280678609480452
夾鐘8.40896415316.8179283116.81792830507429086062251
姑洗7.93700526015.8740105215.87401051968199474751706
仲呂7.49153538414.9830707714.98307076876681498799281
蕤賓7.07106781214.1421356214.14213562373095048801689
林鐘6.67419927113.3483985413.34839854170034364830832
夷則6.29960524912.5992105012.59921049894873164767211
南呂5.94603557511.8920711511.89207115002721066717500
無射5.61231024211.2246204811.22462048309372981433533
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應鐘5.29731547210.5946309410.59463094359295264561825
半黃鐘5.00000000010.0000000010.00000000000000000000000
注意最後一列為半黃鐘，倍其數即為黃鐘。
以下之算法保留2之分數羃並寫成規律之形式：
1.黃鐘10=5×12122。
2.大呂律數=黃鐘律數÷k=k10=
1212
10=
1212
25?=5×12112。
3.太蔟律數=大呂律數÷k=
210k
=
612
10=
612
25?=5×12102=5×652。
4.夾鐘律數=太蔟律數÷k=
310k
=
412
10=
412
25?=5×1292=5×432。
5.姑洗律數=夾鐘律數÷k=
410k
=
312
10=
312
25?=5×1282=5×322。
6.仲呂律數=姑洗律數÷k=
510k
=
1252
10=
1252
25?=5×1272。
7.蕤賓律數=仲呂律數÷k=
610k
=
212
10=
212
25?=5×1262=5×21。
8.林鐘律數=蕤賓律數÷k=
710k
=
1272
10=
1272
25?=5×1252。
9.夷則律數=林鐘律數÷k=
810k
=
322
10=
322
25?=5×1242=5×312。
10.南呂律數=夷則律數÷k=
910k
=
432
10=
432
25?=5×1232=5×412。
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11.無射律數=南呂律數÷k=
1010k
=
652
10=
652
25?=5×1222=5×612。
12.應鐘律數=無射律數÷k=
1110k
=
12112
10=
12112
25?=5×1212。
應鐘律數÷k=
1210k
=
12122
10=210=5×1202=5，此即為黃鐘之半律。
從以上算式可知，以上各式結果為一等比級數，公比為1212?。現在要說明
朱載堉算倍南呂律長=√(黃鐘×倍蕤賓)，以及
倍應鐘律長=(倍南呂律長×黃鐘×黃鐘)1/3之理由。今將以上算式化簡成
下表：
123456789101112
黃鐘大呂太蔟夾鐘姑洗仲呂蕤賓林鐘夷則南呂無射應鐘
10
5×
12112
5×
12102
5×
1292
5×
1282
5×
1272
5×
1262
5×
1252
5×
1242
5×
1232
5×
1222
5×
1212
從上表可知√(黃鐘×倍蕤賓)
=√(10×2×5×1262)=10×1232=2×5×1232，此即為倍南呂律長(10)。
又(倍南呂律長×黃鐘×黃鐘)1/3
=(2×5×1232×2×5×2×5)1/3=2×5×1212，此即為倍應鐘律長(12)。最
重要此數為10.59463094359295264561825，乃求其他律數之除數。
第3節《樂律全書》十二平均律之算法及記數
《樂律全書》以以下方式記其十二律﹝第二欄為小數後8位，第三欄為小
數後23位﹞：
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十二律呂倍律積筭表
律呂積筭倍律積筭《樂律全書》記數
黃鐘倍律積筭20.00000000---
大呂倍律積筭18.8774862518.87748625363386993283826
太蔟倍律積筭17.8179743617.81797436280678609480452
夾鐘倍律積筭16.8179283116.81792830507429086062251
姑洗倍律積筭15.8740105215.87401051968199474751706
仲呂倍律積筭14.9830707714.98307076876681498799281
蕤賓倍律積筭14.1421356214.14213562373095048801689
林鐘倍律積筭13.3483985413.34839854170034364830832
夷則倍律積筭12.5992105012.59921049894873164767211
南呂倍律積筭11.8920711511.89207115002721066717500
無射倍律積筭11.2246204811.22462048309372981433533
應鐘倍律積筭10.5946309410.59463094359295264561825
黃鐘積筭10.0000000010.00000000000000000000000
《樂律全書》曰：
二。
本是二尺，進作二百寸為實，以上文所載應鍾倍律之數十寸五分有奇為法
除之，餘條放此。
右乃黃鍾倍律積筭。
置黃鍾倍律積筭進一位為實，以應鍾倍律積筭為法，除之得大呂。
一八八七七四八六二五三六三三八六九九三二八三八二六。
上述引文之上“放”即“倣”；“右”字在本文應作“以上”。《樂律全
書》之25位數無註明單位，因慣用“寸”，故上表亦以寸為單位，即取兩位數
﹝個位與十位﹞，其餘為小數。
黃鍾，即黃鐘。黃鍾律為10，倍律為20，“進一位”，即將小數位向右移
一位，即乘以10，得200﹝寸﹞。應鍾倍律積筭為10×1212=
10.59463094359295264561825﹝此數為十寸五分有奇﹞。
故大呂倍律積筭=4310.5946309000000000.200=18.87748625。
右﹝以上﹞乃大呂倍律積筭。
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置大呂倍律積筭進一位為實，以應鍾倍律積筭為法，除之得太簇。
大呂倍律積筭進一位為188.7748625363386993283826，應鍾倍律積筭為=
10.59463094359295264561825。
故太簇倍律積筭=188.774862536÷10.594630943=17.81797436。
《樂律全書》記太蔟﹝同簇﹞倍律積筭為：
一七八一七九七四三六二八○六七八六○九四八○四五二。
其餘倍律積筭之算法可類推﹝可參閱上表或以下幾頁之《樂律全書》原
文。
朱載堉《樂律全書》之求律管術，從黃鐘始乘以一常數k1，令律管之長依
比例遞減，理論上比傳統之三分損益法更可取。律管越長，音色越濁﹝即越
低﹞；律管越短，音色越清﹝即越高﹞；故依朱氏之法，黃鐘之音色依比例而
遞增至應鐘，而黃鐘之律管長則依比例而遞減至應鐘；再減則得黃鐘律之半
長，故為配合其說，朱載堉從黃鐘倍律積筭20開始，最後得正律積筭10。
朱載堉“往而可返”之義不合理，一遞減幾何級數怎可返回原數？《樂律
全書》以黃鍾倍律積筭運算十二次後得黃鍾律積筭，分明減半，比古之三分損
益法更“往而不返”﹝相去更遠﹞。
清?項名達著《象數一原》，其書涉及所謂“律管新術”，其法仍以黃鐘
律長9寸為始，其餘十一律乃依次乘以k1而得，而k=122=1212=
1.059463094，此率即為朱載堉之平均率，而項名達亦接受“往而可返”之說。
《樂律全書》曰：
舊法“往而不返”者，蓋由三分損益筭術不精之所致也。是故新法不用三
分損益，別造密率。
《樂律全書》曰“往而不返”者，蓋三分損所用之“率”﹝此率為31﹞不
精確所致，此說有理。如果不用31，而用其他“率”，則可“往而可返”也。
古人稱“往而可返”之“率”為“旋宮率”，即仲呂乘以1加“旋宮率”
﹝即上生﹞可得黃鐘律9。筆者有文章〈十二律呂之標準旋宮率計算法〉討論
此問題，筆者以Φ=0.32718348為旋宮率﹝可參考筆者另文﹞。
以下為《樂律全書》之25位倍律積筭原文﹝取自欽定四庫全書?經部?樂
律全書?卷一、二﹞。
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