平抛运动与圆周运动的结合【例4】(2010.重庆)小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球
在竖直平面内做圆周运动，当球某次运动到最低点时，绳突然断掉．球飞离水平距离d后落地，如图3-4-1所示，已知握绳的手离地面高度为d
，手与球之间的绳长为d，重力加速度为g，忽略手的运动半径和空气阻力．(1)求绳断时球的速度大小v1，和球落地时的速度大小v2
；(2)问绳能承受的最大拉力多大？(3)改变绳长，使球重复上述运动．若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳
长应为多少？最大水平距离为多少？以小球做圆周运动、平抛运动为背景，考查利用牛顿运动定律、机械能守恒定律等来
综合分析解题的能力．(1)设绳断后球飞行时间为t，由平抛运动规律，有(2)设绳能承受的最大拉力大小为
T，这也是球受到绳的最大拉力大小．球做圆周运动的半径为(3)设绳长为l，绳断时球的速度大小为v3，绳承受的最大拉力不变，有绳
断后球做平抛运动，竖直位移为d-l，水平位移为x，时间为t1，有本题考查力学综合知识，包括平抛运动的处理
，机械能守恒，圆周运动的向心力的表达式等知识点．第三问求极值问题对数理结合的能力要求较高．专题三曲线运动与天体运动
本专题从运动学和动力学的角度研究了物体做曲线的条件及两类典型的曲线运动：平抛运动和圆周运动，同时研究了人造卫星、天体运动的
有关规律．它们是牛顿力学的重要组成部分，包含了重要的分析方法——运动的合成与分解．本专题是高考的必考内容之一，也是高考的重点和热点
，特别是曲线运动结合带电体在电磁场中的偏转以及人造卫星的变轨问题、双星和多星问题、卫星运动的基本参量的求解和比较是重中之重，考查题
型以选择题、计算题为主．复习时要注意与其他专题知识的综合．2010年浙江卷20题考查了天体运动，
注重物理知识在实际中的应用.22题考查了平抛知识，注重多因素问题的综合分析能力的考查.2011年，本专题要注重与生产、生活、高科技
联系的命题．运动的合成与分解的应用【例1】如图3-1-1所示，杆OA长为R，可绕过O点的水平轴在竖直平面内转动，
其端点A系着一跨过定滑轮B、C的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物块M.滑轮的半径可忽略，B在O的正上方，OB之间的距离为H.某一时
刻，当绳的BA段与OB之间的夹角为a时，杆的角速度为w，求此时物块M的速率vM.杆的端点A点绕O点做圆周运
动，其速度vA的方向与杆OA垂直，此时其速度大小为：vA=wR，对于速度vA作如图所示的正交分解，即沿绳BA方向和垂直于BA方向进
行分解，沿绳BA方向的分量就是物块M的速率vM，求解此类问题，关键是找“关联”速度，即沿杆或绳方向的速度分量相等．
绳、杆等有长度的物体，在运动中，其两端点的速度并不一样，但两速度有联系，称“关联”速度，一般沿杆、绳的速度分量相等，
采用速度的分解求解，注意按实际效果分解．因为物块只有沿绳方向的速度，所以vM=vAcosb，由正弦定理知，=
由以上各式得vM=wHsina.【变式习题】一条宽度为L的河流，水流速度为vs，已知船在静水中的速度为vc，那么：
(1)怎样渡河时间最短？(2)若vc>vs，怎样渡河位移最小？(3)若vc甲所示，设船头斜向上游与河岸成任意角q，这时船速在垂直于河岸方向的速度分可以看出：L、vc一定时，t随sinq增大而减
小;当q=90°时，sinq=1，所以，当船头与河岸垂直时;渡河时间最短，tmin=.(2)如图乙所示，渡
河的最小位移即河的宽度．为了使渡河位移等于L，必须使船的合速度v的方向与河岸垂直．这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度q.
根据三角函数关系有：vccosq-vs=0.(3)如果水流速度大于船在静水中的航行速度，则不论船的航向如何，总
是被水冲向下游．怎样才能使漂下的距离最短呢？如图丙所示，设船头与河岸成q角，合速度v与河岸成a角．可以看出：a角越大，船漂下的距离
x越短，那么，在什么条件下a角最大呢？以vs的矢尖为圆心，以vc为半径画圆，当v与圆相切时，a角最大，根据cosq=vc/vs，船
头与河岸的夹角应为：q=arccosvc/vs.船漂的最短距离为：xmin=(vs-vccosq)所以q=
arccosvs/vc，因为0≤cosq≤1，所以只有在vc>vs时，船才有可能垂直于河岸横渡．【例2】如图3-2-1甲
所示，水平传送带长度为L=5.0m，其皮带轮的半径为R=0.1m，皮带轮以角速度w顺时针转动，现有一小物体(可视为质点)以水平速度
v0从A点滑上传送带，越过B点后做平抛运动，其水平位移为x，保持物体的初速度v0不变，多次改变皮带轮的角速度w，依次测量水平位移x
，得到如图乙所示的x-w图象．求：抛体运动(1)当0面的高度h为多大？(3)物块的初速度v0为多大？(1)物体的水平位移相同，说明物体离开B点的速度相同，物体的速
度大于皮带的速度，一直做减速运动．(2)当w=10rad/s时，物体经过B点的速度为：vB=Rw=1m/s物
体离开传送带的速度取决于皮带轮的角速度，从而将水平位移与皮带轮角速度联系起来．由平抛运动可得：h=gt2，x=v0t解得
：t=1s；h=5m(3)当w>30rad/s时，水平位移不变，说明物体在AB之间一直加速，其末速度为：vB′
==3m/s，根据v2-v02=2ax当0≤w≤10rad/s时，2μgL=v02-vB′2当
w≥30rad/s时，2μgL=vB2-v02，得v0=m/s本题以传送带上物体为背景，涉及直线运动
、牛顿运动定律、圆周运动、平抛运动等知识点，过程多，情景复杂，对学生的要求较高，最关键要挖掘联结点．下落的距离与在水平方向通过的
距离之比为:A.tanqB．2tanqC.D.【
变式题1】(2010.全国Ⅰ)一水平抛出的小球落到一倾角为q的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图3-2-2中虚线所示．小
球在竖直方向如图，平抛的末速度与竖直方向的夹角等于斜面倾角q，根【变式题2】抛体运动在各类体育运动项目中
很常见，如乒乓球运动．现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L、网高h，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不
考虑乒乓球的旋转和空气阻力．(设重力加速度为g)(1)若球在球台边缘O点正上方高度为h1处以速度v1水平发出，落在球台的
P1点(如图3-2-3实线所示)，求P1点距O点的距离x1；(2)若球在O点正上方以速度v2水平发出，恰好在最高点时越过球网落在
球台的P2(如图3-2-3虚线所示)，求v2的大小；(3)若球在O点正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘
P3，求发球点距O点的高度h3.(2)设发球高度为h2，飞行时间为t2，根据平抛运动h2=gt
④x2=v2t2⑤且h2=h
⑥2x2=L⑦由
④—⑦式得v2=⑧(1)设发球时飞行时间为t1，根据平抛运动h1=gt
①x1=v1t1②由①②解得x1=v1③(3)如图所示，设发球高度为h3，飞行时间为t
3，同理根据平抛运动得h3=gt32⑨x3=v3t3⑩且3x3=2L?设球从恰
好越过球网到最高点的时间为t，水平距离为s，有?s=v3t
?由几何关系知，x3+s=L
?联列⑨～?式，解得圆周运动【例3】如
图3-3-1所示，两绳一端系一质量为m=0.1kg的小球，两绳的另一端分别固定于轴的AB两处，上面绳长l=2m，两绳拉直时与轴的夹
角分别为30°和45°，问球的角速度在什么范围内两绳始终有张力？设两细线都拉直时，A、B绳的拉力
分别为TA、TB，小球的质量为m，A线与竖直方向的夹角为q=30°，B线与竖直方向的夹角为a=45°，受力分析，由牛顿第二定律得：
解决本题的关键，一是利用几何关系确定小球圆周运动的半径；二是对小球进行受力分析时，先假定其中
一条绳上恰无拉力，通过受力分析由牛顿第二定律求出角速度的一个取值，再假定另一条绳上恰无拉力，求出角速度的另一个取值，则角速度的范围
介于这两个值之间时两绳始终有张力．当B线中恰无拉力时，TAsinq=mw12lsinq①TAcosq=mg
②本题以圆周运动为情境，要求考生熟练掌握并灵活应用匀速圆周运动的规律，不仅考查考生对牛顿第二定律的应用，同时考查考生
应用多种方法解决问题的能力．比如正交分解法、临界分析法等．综合性强，能考查考生多方面的能力，能真正考查考生对知识的掌握程度．体现了
对考生分析综合能力和应用数学知识解决物理问题能力的考查．【变式题】(2009.安徽)过山车是游乐场中常见的设施．如图3-3-2所
示是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间
距相等，半径R1=2.0m、R2=1.4m.一个质量为m=1.0kg的小球(视为质点)，从轨道的左侧A点以v0=12.0m/s的初
速度沿轨道向右运动，A、B间距L1=6.0m.小球与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.2，圆形轨道是光滑的．假设水平轨道足够长，圆形轨
道间不相互重叠．重力加速度g=10m/s2，计算结果保留小数点后一位数字．试求：(1)小球在经过第一个圆形轨道的
最高点时，轨道对小球作用力的大小；(2)如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距L应是多少；(3)在满足(2)的条件下，如果要
使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径R3应满足的条件；小球最终停留点与起点A的距离．(1)设
小球经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v1，根据动能定理①小球在最高点
受到重力mg和轨道对它的作用力F，根据牛顿第二定律
②
③(2)设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为v2，由题意由④⑤得L=12.5m
⑥④⑤(3)要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：Ⅰ.轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为v3，应满足由⑥⑦⑧得R3=0.4mⅡ.轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R3，⑧解得R3=1.0m为了保证圆轨道不重叠，R3最大值应满足(R2+R3)2=L2+(R3-R2)2解得R3=27.9m综合Ⅰ、Ⅱ，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件0
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