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【安堇然的回答(86票)】: 谢 @王希 邀，前面的人好像讲的都差不多了，我就来讲讲故事吧. 双曲函数最早是出现在悬链线的研究之中. 悬链线就是一个固定项链的两段，在重力场中让它自然垂下，项链的曲线方程.这个就是当年雅克比·伯努利曾提出的著名悬链线问题，在这之前伽利略也注意到了悬链线这个东西，当时他猜是抛物线，后来惠更斯（这时候17岁）证明了伽利略猜错了，但是他也算不来。问题提出后第二年第莱布尼兹跟惠更斯（他这个时候已经62岁了哦~）还有约翰·伯努利（雅克比他弟）各自得到了正确的答案.当年他们用的就是刚刚诞生没多久的微积分，把这个问题转化成了求解一个二阶常微分方程，借这个方程就得到了悬链线.
写到这里，我就再扯扯这两个伯努利的好玩的事情，我们之前说了约翰·伯努利解决了悬链线问题，后来雅克比就去证明了“悬挂于两个固定点直接的同一条项链，在所有可能的形状中，悬链线的重心是最低的，具有最小势能”.在伯努利家族里他两兄弟间不止一次相互争强好胜，不断争吵……（其实现在看着也觉得他们这样好好玩） 这个悬链线的方程就是 
（不过当年
还没被发现） 方程的推导有兴趣的可以看悬链线 插一段，我想到了当年法布尔在《昆虫记》里还有过这样一段呢 (?????)
当
时，就是我们的双曲余弦函数 为什么叫它双曲函数呢，当然是它们跟双曲线有关系咯.最早注意到双曲函数跟圆函数（就是三角函数）的类推关系的人是意大利数学家V.Riccati. 他引入了记号
，
，发现了双曲正弦函数与双曲余弦函数之和就是指数函数
后来他又进一步发现
. 我们知道圆函数（三角函数）就是通过单位圆
进行定义的：
所以呢，双曲函数就以类似的方法对双曲线
上的点进行定义： 
既然问到了和三角函数有什么关系，那就再说所这个
吧
在圆里面，这个在圆里面，这个
是上图中线段OP与
轴正向所成的夹角，但是在双曲函数里，这个
并不能解释为一个夹角。这里给出这个
的一个几何含义，你会发现圆函数和双曲函数还是有关联的。 注意到，在圆函数中，参数其实在双曲函数里面，这个
也有类似的含义，只是我们可以用一个双曲扇形来替代这个圆扇形
如上图，如上图，
这个积分，我们进行一个换元
，然后就能算到了
，这个参数
就是双曲扇形面积的两倍，这与圆函数的形式就是相似的.（这个是文森佐·黎卡提最先注意到的），后来就给这个
取名叫双曲角. 对于圆函数和双曲函数来说，他们之间有很多的相似的地方，像奇偶性，加法公式，微分公式和积分公式. 但是三角函数具备周期性，而双曲函数没有这种性质. 我们发现圆函数和双曲函数有这么多的平行类推关系，但是他们的重要性和在数学中的地位应该相似，但是其实不是这样。
然后，在复变里三角函数和复数指数函数相关联，我们还可以发现双曲正弦或双曲余弦，在结构上和正弦和余弦的表达形式差不多.也就是最高票答案给出的
这样一看，双曲函数在复变里就有周期（2πi）了呢，多漂亮~ 嗯，答案里的图片均是另一个答案也提到的e的故事 (豆瓣)这本书里直接截下来的，这本书还是可以看看的.以及双曲函数不仅是在悬链线中出现的，在拉普拉斯方程里也有，这个我估计说不好，有兴趣的可以看看. 明明是想写成好玩的故事的，没想到最后写成这样子，怪不得今天导师说我写的论文像是在写作业，哎，我去写！作！业！了("▔□▔)/ 天，发现我回答的题目里面最长的一个答案了，我要给自己撒花*★,°*:.☆(￣▽￣)/$:*.°★* 【AndiWang的回答(57票)】: 谢邀 @匡世珉。由于 @安堇然的答案十分翔实全面，因此本答案在内容上不免与其有所重合，见谅。 ------------------------------------------------------------------------------------------- 小方一回家就把书包扔到地上，数学君笑嘻嘻地凑了过来：「今天又学什么了？」 「双曲函数。」小方说，「看着和三角函数长得特别像，关系乱七八糟的搞不清。还有，这玩意是谁研究出来的啊？有用吗？」 「哈哈！」数学君笑了，「当然有用了，而且和三角函数的关系非常密切。」 「有多密切？」 「比你能想到的还要密切。」数学君卖了个关子，这才娓娓道来： 「双曲函数最早的研究是悬链线。关于悬链线的问题是达芬奇提出来的。时隔170余年，雅各布·伯努利才在论文里提出了确定悬链线方程的问题。可怜的他为了证明这是一条抛物线花费了一年的经历却毫无进展（错得怎么会有进展……），而他弟弟却「牺牲了一晚上的休息时间」做了出来。 实际上微积分在当时已经提出来了，以雅各布的数学基础，如果他设出函数再通过微分方程的方法去求解，得到正确答案问题不大。因为同时期的莱布尼茨、惠更斯和他弟都得到了正确答案，而这些人的数学水平是难分伯仲的。所以做科研不能先入为主啊！」（由于 @安堇然 知友的答案对这一段历史的叙述很详，我就不赘述了） 「知道了。」小方说，「那这玩意就是研究一个悬链线，怎么会应用如此广泛，而且这货到底和三角函数有啥关系？」「你别急啊……我马上就讲了」数学君叹道。 「悬链线搞定之后，双曲函数被应用在了越来越多的领域。18世纪的时候，约翰·海因里希·兰伯特开始研究这个函数；19世纪中后期，奥古斯都·德·摩根将圆三角学扩展到了双曲线，威廉·金顿·克利福德则使用双曲角来参数化单位双曲线。」 这段话包含的数学名词比较多，小方过了一会才问：「圆三角学是啥？」 数学君又开始侃侃而谈了：「你知道的三角函数又叫做『圆函数』，你应该知道为啥吧？」说着掏出了一张图片放在小方面前：
「三角函数都是通过单位圆来定义的，图中不同颜色的线就是三角函数线，它们的长度就是三角函数值。」「三角函数都是通过单位圆来定义的，图中不同颜色的线就是三角函数线，它们的长度就是三角函数值。」 「这个我当然知道，高中就学过了。」小方不耐烦地说，「你快说说双曲函数吧。」「双曲函数是类似的，你要不先自己想想？」「我不想想了，你快说快说快说呗！」「唉，好吧。」数学君无奈地继续讲解。 「双曲函数则是通过单位双曲线，即
来定义的。
图中的彩色线段就是双曲函数线，其长度就是对应的双曲函数值。」图中的彩色线段就是双曲函数线，其长度就是对应的双曲函数值。」 「哦哦，这么一说这俩货还有一定联系啊。」小方沉吟了一下，突然又提了一个问题：「那圆和双曲线有什么关系吗？它们两个的关系是不是和圆与双曲线的关系有关？」 「聪明！」数学君赞了一句，「圆与双曲线当然是有联系的，这个联系也决定了双曲函数和三角函数密不可分的关系。」 「那么联系是什么呢？」 「别急，知道Jacques Hadamard不？」 「这是谁啊？」 「苏联非常著名的一个数学家。他说过一句非常著名的话：『实域上两个真理之间的最短路程是通过复域』」。 「嗯，莫非……」 「对的，通过复数，这两者可以得到难以想象的统一。」数学君喝了口水，开始讲述这最核心的部分： 「我们先考虑圆与三角函数以及双曲线与双曲函数这两对内部的关系。单位圆的参数方程是什么？」「
」「那单位双曲线呢？」「什么三角函数……正割还是啥来着……」「正割也行，但是你不觉得
更方便吗？」「对啊！哎呦不错这个漂亮！」「这才只是个开始哦~哈哈」 「你学过欧拉公式，应该知道在复变函数里，三角函数可以写成指数形式。具体的说就是：
, 而双曲余弦和双曲正弦函数分别是
所以呢我们就有……」 「我知道，这个我们今天讲了。」小方抢道，「
」 「对的，但是这里边蕴含着什么道理呢？我们从级数角度来讲讲吧。」数学君不敢卖关子了：
我们可以发现，两者只是将
进行了改变，双曲函数就是把三角函数改为非交错级数了。 「正是由于其无比类似的级数展开，才造就了两者十分相似的恒等变换关系。」数学君说着，亮出了几张满是公式的稿纸：
（全是维基里搞来的，实在懒得打TeX代码了）（全是维基里搞来的，实在懒得打TeX代码了） 「和三角函数公式太像了！」小方惊呼。 「是啊，而且仅有的区别也非常有用。时间不多了，我们再说一个最关键的地方吧。」这次数学君没等小方回应就接着讲了下去： 「你一定知道三角函数的周期是
，可是双曲函数却没有周期。是吗？其实不是这样的。还是作为复数来看，双曲函数的周期是
.而且你也发现了
,所以我有一个大胆的猜测……」「快说，什么猜测！」 在复变函数里，这两个函数的本质是一样的。 空气凝固了，两个人都好久没说出话。 小方愣了一会说道：「这个猜测……算了你还是讲讲这玩意有啥用吧。」 「好的。」数学君也不敢讨论这个问题了。缓了一下，他写出了一个不定积分：
「在高等数学里，双曲换元在很多题目中都非常方便。熟悉双曲函数的性质便可以做得得心应手。而相比三角代换，会使用双曲代换的人却少之又少。唉……」 「没事。」小方安慰数学君道，「我会了就够了，他们不会就让他们不会去吧。」 「嗯嗯，也对。」数学君又开始总结了： 「从悬链线开始引入双曲函数，再到之后的双曲几何和原函数的扩展，以及之后复变函数里双曲函数与三角函数的高度统一，都说明了双曲函数在数学领域有非同一般的意义。 「而工程应用中，双曲函数同样有很多用途，包括而不限于建筑和信号处理、电磁场与微波。更多的我也不晓得。但总而言之，这是一个非常重要的函数。」 说完这句话，数学君没有听到期待的掌声。低头一看，小方已经呼呼大睡了。数学君无奈地摇摇头，也进入了梦乡。 完 --------------------------------------------------------------------------- （下面我接着讲点复变函数里专业的东西。 正弦与余弦映射均由复变函数里的基本映射复合而成。如
是由旋转
的映射、指数函数映射以及如可夫斯基映射复合而成：
由公式
同样可知
的复合过程。 由上述知，宽度为
的铅直带状区域是
的单叶区域。 我们来看看余弦函数在带状域
的映射情况：
求直线
的像，有
由此得
这是一个直线到双曲线的映射，当
为正数和负数时分别为其一个分支。而直线
被映射为正实轴从1到
的割痕，直线
被映射为沿实轴
到
的割痕。带状域的像为整个
平面，除去实轴上从-1穿过无穷远到1的线段。） 这篇文章从查资料到撰文用时不超过三个小时，有些匆忙，行文和内容都有一些粗糙，见谅。 但是参考资料的权威性是有保证的，因此内容应该基本正确。除了我瞎猜的那句话。 参考文献 [1]维基百科，自由的百科全书双曲函数 [2]维基百科，自由的百科全书雙曲函數恆等式 [3](俄）博亚尔丘克，复变函数，北京，清华大学出版社，2008.5. 【YakumoRan的回答(13票)】: 三角函数又叫圆函数 圆心为原点,半径为1的圆的参数方程
中点为原点,半轴均为1的双曲线的参数方程
【张秉宇的回答(7票)】: 上面几位介绍了一下零散的原因，比如从解析函数角度，参数方程角度等等。 除去以上几位介绍的。我介绍一下几何上的角度。 主要的出发点是双曲几何 求双曲距离的过程中会出现，如：单位元上双曲度量的微分形式
，可以明显的发现，在积分（计算双曲距离）时必然会出现双曲函数 而在建立了这个度量后，我们关于双曲几何的所有问题都无法离开双曲函数了 比如双曲空间的“勾股”定理、“正余弦”定理。 而更引人注目的是，平行。 众所周知，双曲几何受人瞩目就是因为定义了全新的平行公理。而作为具体的刻画，也离不开双曲函数。 其实上面问题的核心在于双曲度量的引入。我认为这是最自然的结果。 如果你希望对问题有进一步的了解，我推荐一本书，《双曲几何》李忠、周建莹 这本书是双曲几何的科普书，完全零基础，而且写的也很好。我所说的东西在这本书里都有详解。 而对三角函数而言的话，我们看欧式空间的度量
,所以在求欧式距离的时候，出现三角函数也是极其自然的。 双曲几何是这学期因为看paper刚学的，所以可能有写的不成熟的地方见谅。 【还是那个样子的回答(23票)】:
是
的虚数部分 【知乎用户的回答(0票)】: 这个问题让我想起来我大一学高数时候的一个插曲，可能有点走题，我想说的是我当时的偶然经历，是怎么发现三角函数和以自然常数为底的指数函数之间可能存在关系的。 本人只学过高数，没有学过复变函数，以下的推导会有错误，因为当时我这个推导仅仅是形式化，机械化得来的，并没有考虑到实数积分和复数积分的一些关系和区别（这是大一快结束时候的事情，我是工科专业，也就是两本高数书快学完的时候，并没有学过复变函数等高大上的东西，我把我的想法和高数老师聊过之后，他就建议我可以看看复变函数的书了）
本人并不是数学系的，各路数学大神还请手下留情，我只是谈谈几年前的那次偶然的推导，当时虽不懂上面式子的含义，但大概知道在复数域里面，指数函数和三角函数可能是想通的，或者说用我很不数学化的语言去描述，这两者可能是某种意义上面可以统一起来的。本人并不是数学系的，各路数学大神还请手下留情，我只是谈谈几年前的那次偶然的推导，当时虽不懂上面式子的含义，但大概知道在复数域里面，指数函数和三角函数可能是想通的，或者说用我很不数学化的语言去描述，这两者可能是某种意义上面可以统一起来的。 希望数学系的大神们可以给出这背后的含义。 【Fermat的回答(1票)】: --- 我当年也为这个问题做过一个总结，现在本子不知道搞到哪里去了 先贴个链接 Hyperbolic function 请从奇偶性，平方关系，和角倍角关系，微分导数关系，泰勒级数展开形式，等各方面将它和对角的三角函数比对一下，拿起笔来，遇到不确定的公式自己证明，搞完之后就不会觉得有什么“某种不可告人的关系”了。这两套函数各种关系都实在是太像了。 【彭柯尧的回答(1票)】: 推荐一本书《e的故事——一个常数的传奇》 手机没法插图片啊…… 【沉睡的山的回答(0票)】: 我想说。。。。这有什么用。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。高考看到双曲线上面一个点，这个点还是由数列构成的。。。这样题目直接跳过 原文地址:知乎 |
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