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基本概念
（1）甲是乙的几分之几相当于甲是乙的几分之几倍
乙：单位1（也可以叫总量或标准量）
甲：分量
几分之几：分率
（2）单位1
分谁谁是单位1，有率就有单位1，'率的'之前是单位1
第一部分基本问题（单位1相同）
题型一
求几分之几'前÷后'
【例】男生有12人，女生有18人，全班有30人
解：男生是全班的几分之几？12÷30＝2/5 女生是全班的几分之几？18÷30＝3/5
女生是男生的几分之几？18÷12＝3/2 男生是女生的几分之几？12÷18＝2/3
题型二
求分量单位1×几分之几已知单位1用乘法
【例1】今年小红的年龄是小明的4/5，小明10岁，求小红几岁？
解：单位1是小明，已知单位1用乘法，10×4/5＝8岁
【例2】一本书共300页，第一天看了全书的1/3，第二天看了全书的2/5，求还剩多少页？
方法一：先把每天看的页数算出来，再用总数减去看过的就是剩下的
300×1/3＝100页，300×2/5＝120页，300－100－120＝80页
方法二：先算出剩下的是全书的几分之几，再用总页数乘这个几分之几
1－1/3－2/5＝4/15，300×4/15＝80页
题型三
求单位1分量÷几分之几求单位1用除法，对应的量÷对应的率
【例1】一班人数是二班的7/9，一班有56人，求二班有多少人？
解：单位1是二班人数，求单位1用除法，56÷7/9＝72人
【例2】一本书，第一周看了全部的1/4，第二周看了全部的2/5，还剩70页没看，求这本书一共多少页？
解：求单位1：对应量÷对应率
先求出剩下的页数是全书的几分之几，也就是70页的对应分率
1－1/4－2/5＝7/20
再用对应量÷对应率，求出单位1
70÷7/20＝200页
【练习1】
一个盒子里装有黑、白棋子，黑棋子有15个，白棋子有25个。
（1）求黑棋子是总数的几分之几？
（2）求白棋子是总数的几分之几？
（3）求黑棋子是白棋子的几分之几？
（4）求总数是黑棋子的几倍？
（5）求总数是白棋子的几倍？
（6）求白棋子是黑棋子的几倍？
【练习2】
小刚的积分卡数量是小华的2/3，小刚有120张积分卡，求小华有多少张积分卡？
【练习3】
一个馍，吃了1/4，还剩45克，求这个馍原来多少克？
【练习4】
一条路全长240米，第一周修了全长的3/5，第二周修了全长的1/4，还剩多少米没有修？
【练习5】
今年奶奶的年龄是爷爷的8/9，爷爷今年72岁，求奶奶今年多少岁？
【练习6】
一支铅笔，第一周用了全长的2/9，第二周用了全长的1/6，还剩11厘米，求这个铅笔原来有多长？
第二部分 单位1相同的复杂量率对应问题
【例】小明看一本故事书，第一天看了全书的1/8还多21页，第二天看了全书的1/6少6页，还剩172页，这本故事书一共有多少页？
解：这个题目的量率对应不是特别好找，因此画个图来分析
红色部分的率：1－1/8－1/6＝17/24
红色部分的量：21＋172－6＝187页
量率对应求单位1：187÷17/24＝264页
备注：这个题目用方程也可以做，不过五年级时还是需要把量率对应搞明白，等六年级时，为了节约时间，可以采用方程来答卷。
【练习1】全班有三个小组，第一小组的人数是全班人数的1/4多2人，第二小组的人数是全班的1/3少1人，第三小组有29人，求全班有多少人？
【练习2】有一笔钱，第一天花了这笔钱的2/5多4元，第二天花了这笔钱的1/6多20元，还剩60元，求这笔钱原来是多少？
第三部分 单位1不同，无需转化的问题
题型一：已知总量求分量
【例1】一条路全长120米，第一天修了1/4，第二天修了剩下的3/5，那么还剩多少米没有修？
解：这道题目有两个率，1/4和3/5，1/4的单位1是全长，而3/5的单位1是第一天修完剩下的路，所以不能用120×3/5，只能用'第一天修完剩下的长度'×3/5，于是：
第一天修的长度：120×1/4＝30米
第一天修完还剩的长度：120－30＝90米
第二天修的长度：90×3/5＝54米
最后还剩的长度：120－30－54＝36米
备注：这个题目还有另外一种转化单位1的做法，把'第二天修了剩下的3/5'转化成'第二天修了全长的几分之几'，这个方法目前不要求掌握，有兴趣的同学可以了解一下：
第二天修的路是全长的几分之几：（1－1/4）×3/5＝9/20
第二天修的长度：120×9/20＝54米
最后还剩的长度：120－30－54＝36米
【例2】一条路全长120米，第一天修了1/4少10米，第二天修了剩下的3/5多5米，那么还剩多少米没有修？
解：第一天修的长度：120×1/4－10＝20米
第一天修完还剩的长度：120－20＝100米
第二天修的长度：100×3/5＋5＝65米
最后还剩的长度：120－20－65＝35米
题型二：已知分量求总量（还原问题）
还原问题有两个特点：
（1）每一次都是知道剩下的几分之几
（2）知道最后剩了多少
【例1】建筑工地需要一批水泥，从仓库第一次运走全部的2/5，第二次运走余下的1/3，第三次运走(前两次运后)又余下的3/4，这时还剩下15吨水泥没运走．这批水泥共是多少吨？
解：如图
第二次运完后还剩的水泥：15÷（1－3/4）＝60吨
第一次运完后还剩的水泥：60÷（1－1/3）＝90吨
这批水泥原来一共：90÷（1－2/5）＝150吨
【例2】一批大米，先吃了全部的2/7多30千克，又吃了剩下的2/3少10千克，最后吃了剩下的1/5多20千克，此时还剩20千克大米，求原来有多少千克大米？
解：如图
'又吃了'之后还剩：（20＋20）÷（1－1/5）＝50千克
'先吃了'之后还剩：（50－10）÷（1－2/3）＝120千克
原来的大米：（120＋30）÷（1－2/7）＝210千克
【练习1】食堂有一桶油，第一天吃掉一半多1千克，第二天吃掉剩下的油的一半多2千克，第三天又吃掉剩下的油的一半多3千克，最后桶里还剩下2千克油，问桶里原有油多少千克？
【练习2】小胖有一盒巧克力饼干，他第一天吃掉了全部的的七分之一；第二天吃了余下的六分之一；第三天吃了余下的五分之一；第四天吃了余下的四分之一；第五天吃了余下的三分之一；第六天吃了余下的二分之一；这时还剩下12块巧克力饼干，那么共有多少块巧克力饼干？
【练习3】小红看一本故事书，第一天看了这本书的一半又10页，第二天看了余下的一半又10页，第三天看了10页正好看完。这本故事书共有多少页？
题型三：抓不变量
【例】学校阅览室里有36名学生在看书，其中女生占4/9，后来又有几名女生来看书，这时女生人数占所有看书人数的9/19．问后来又有几名女生来看书?
解：读题，根据前两句可以算出
原来女生：36×4/9＝16人，原来男生：36－16＝20人
由于又来了几名女生，因此女生人数变了，进而总人数也变了，但是男生人数不变，因此现在的男生还是20人。
而现在女生是总人数的9/19，那么现在男生就是总人数的：1－9/19＝10/19，于是：
量率对应：20÷10/19＝38人。注意，此时算出的是10/19单位1，即现在总人数。
那么又来的女生：38－36＝2人
【练习1】工厂原有职工128人，男工人数占总数的1/4，后来又调入男职工若干人，调入后男工人数占总人数的2/5，这时工厂共有职工多少人？
【练习2】学校派出60名选手参加'华罗庚金杯小学数学邀请赛'，其中女选手占1/4．正式比赛时有几名女选手因故缺席，这样就使女选手人数变为参赛选手总数的2/11．正式参赛的女选手有多少名？
第四部分 单位1不同，需要转化的问题
题型一：将'是剩下的几分之几'转化为'是全部的几分之几'
【例】味多美西饼屋推出一款新蛋糕，第一天卖出了全部的1/5，第二天卖出了剩下的1/2，第二天比第一天多卖出个，那么味多美西饼屋这次共推出新蛋糕多少个？
解：此题有两个率，1/5和1/2，但是单位1不一样，不能相加减。
将'第二天卖出了剩下的1/2'转化为'第二天卖出了全部的几分之几'，如下：
（1－1/5）×1/2＝2/5，因此：
第一天的率：1/5；第二天的率：2/5。单位1都是全部，可以相加减。
而此题中的量是'第二天比第一天多的40个'，对应的率就应该是两天的率之差，于是：
量率对应：40÷（2/5－1/5）=200个，求出的就是单位1，即全部蛋糕。
【练习1】一工人加工一批机器零件，第一天完成任务的1/5，第二天完成了剩下部分的1/3，第二天比第一天多完成20个.问这批零件共有多少个？
【练习2】向阳生产队用拖拉机耕地，第一天耕了全部土地的1/4，第二天耕了剩下的三分之二，第二天和第一天一共耕地45亩，问：这个生产队共有多少亩土地?
题型二：'其他猴子'问题
【例】四只小猴吃桃，第一只小猴吃的是另外三只的总数的 1/3，第二只小猴吃的是另外三只吃的总数的1/4，第三只小猴吃的是另外三只的总数的1/5，第四只小猴将剩下的46个桃全吃了。问四只小猴共吃了多少个桃？
解：此题，如果想当然用46÷（1－1/3－1/4－1/5）求单位1，就出错了，原因是题目当中的这三个率，虽然都是'另外三只'的几分之几，但是因为这是三个不同的'另外三只'，所以单位1不一样，不能直接相加减，所以需要转化，将单位1确定为总量。
（1）第一只小猴吃的是另外三只的总数的1/3，设另外三只的总数是3份，则第一只是1份，总数是4份，所以，第一只吃的是总数的1/(3+1)=1/4。
（2）同理，第二只吃的是总数的1/(4+1)=1/5
（3）同理，第三只吃的是总数的1/(5+1)=1/6
现在，转化后的三个率的单位1都是总量，可以相加减。
于是46÷（1－1/4－1/5－1/6）＝120个
【练习1】兄弟四人去买电视,老大带的钱是另外三人的一半,老二带的钱是另外三人的1/3,老三带的钱是另外三人总钱数的1/4，老四带91元，兄弟四人一共带了多少钱？
【练习2】新光小学有音乐、美术和体育三个特长班，音乐班人数相当于另外两个班人数的2/5，美术班人数相当于另外两个班人数的3/7，体育班有58人，音乐班和美术班各有多少人？
题型三：抓不变量
【例1】总量不变
有甲、乙两桶油，甲桶油的质量是乙桶的5/2倍，从甲桶中倒出5千克油给乙桶后，甲桶油的质量是乙桶的4/3倍，乙桶中原有油多少千克？
解：仔细分析已知的两个率和一个量，发现无论怎么加怎么减，5千克和5/2，或者5千克和4/3都不能直接去算，于是想到可以把两个率联系在一起，但两个率的单位1又不一样，不能直接联系，就想到通过转化，将两个率转化成单位1相同的率，以下是'三步'
第一步：抓不变量，确定单位1
这个题目变化的过程中，甲桶少了，乙桶多了，但总量不变，于是将总量定为单位1！
第二步：将题目中的两个率转化成占单位1（也就是总量）的几分之几
（1）原来，甲桶油的质量是乙桶的5/2倍，设乙桶是2份，则甲桶是5份，总量是7份，那么原来甲桶是全部的5/7，列式为：5/(2+5)=5/7
（2）现在，甲桶油的质量是乙桶的4/3倍，设乙桶是3份，则甲桶是4份，总量是7份，那么原来甲桶是全部的4/7，列式为：4/(3+4)=4/7
第三步：量率对应，求单位1，最后解决问题
题目中的量5千克，是甲桶前后的差，对应的应该是甲桶前后率的差，
原来甲桶的率是5/7，现在甲桶的率是4/7，差的1/7就应该对应5千克，
于是量率对应：5÷（5/7－4/7）＝35千克，注意！求出的应该是单位1，即全部的量。
最后解决问题，题目问乙桶原有多少千克，就要算原来的情况，根据'甲桶是全部的'
可以求出原来甲桶：35×5/7＝25千克
那么原来乙桶：35－25＝10千克
【例2】部分量不变
例题：一个装有彩球的口袋，红球占总数量的5/12，后来又放进27个红球，这时红球占现在总量的2/3，现在共有彩球多少个？
第一步：抓不变量，确定单位1
'单位1'一班来说是前后一直保持不变的量，对于这道题目来讲，红球前后有变化，那么总数前后也是改变的，但是其他颜色的球的数量没有变，所以这道题目就要把'其他的球'当做'单位1'
第二步：将题目中的两个率转化成占单位1（也就是'其他的球'）的几分之几
原来，红球占总数量的5/12，转化成红球占其他球的几分之几：红球5份，总数12份，其他球7份，则红球占其他球5/7。
现在，红球占总数量的2/3，转化成红球占其他球的几分之几：红球2份，总数3份，其他球1份，则红球是其他球的2倍。
第三步：量率对应，求单位1，最后解决问题
题目中唯一的量是放入的27个球，也就是前后红球的变化量，那么对应的分率就是红球前后分率的变化
27÷（2－5/7）=21（个）--'单位1'，即其他球的数量
总量：21×2+21=63（个）
【练习1】某公司有1/5的职员参加新产品的开发工作，后来又有2名职工主动参加，这样参加新产品开发的职工人数是其余人数的1/3，原来有多少职工参加开发工作？
【练习2】五(一)班原计划抽1/5的人参加大扫除，临时又有2个同学主动参加，实际参加扫除的人数是其余人数的1/3．原计划抽多少个同学参加大扫除？
【练习3】 某校学生参加大扫除的人数是未参加大扫除人数的1/4，后来又有20名同学参加大扫除，实际参加的人数是未参加人数的1/3，这个学校有多少人？
【练习4】某班一次集会，请假人数是出席人数的1/9，中途又有一人请假离开，这样一来，请假人数是出席人数的3/22，那么，这个班共有多少人？
【练习5】小明是从昨天开始看这本书的，昨天读完以后，小明已经读完的页数是还没读的页数1/9，他今天比昨天多读了14页，这时已经读完的页数是还没读的页数的1/3，问题是，这本书共有多少页？'
【练习6】袋里有若干个球，期中红球占5/12，后来又往袋里放了6个红球，这时红球占总数的1/2。问：现在袋里有多少个球？
【练习7】某纺织厂女工占工人总数的5/8，后来又调来了30名女工，这时女工人数是男工人数的2倍。问：现在厂里共有多少工人？
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