世界上最美的方程作者: 心蛛
【译者按】：对于什么是最美的数学方程，在Quora上，目前位居榜首的是获得3300多票的复分析领域的欧拉方程（后文提到的欧拉方程是在几何学与代数拓扑学领域的形式）： \begin{equation*} \mathbf{e}^{i\pi} + 1 = 0 \end{equation*} 其次是麦克斯韦方程： \begin{align*} \nabla \cdot \mathbf{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0} \\ \nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \\ \nabla \times \mathbf{E} &= – \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\ \nabla \times \mathbf{B} &= \mu_0 \left( \mathbf{J} + \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right) \end{align*} 简介数学方程不仅实用，很多还非常优美。许多科学家承认，他们常常喜欢一些特别的公式，不仅仅因为它们功能强大，还因为它们形式简洁优雅，而且其中所蕴涵着的诗一般的真理。 某些特别著名的方程（比如爱因斯坦的质能方程E=mc2）在公众面前享誉极盛，而许多公众不那么熟悉的方程却在科学家群体中却大受“拥戴”。LiveScience咨询了许多物理学家、天文学家和数学家，将他们喜爱的数学公式罗列如下。
广义相对论
\begin{equation} \label{eq:grel} G_{\mu\nu} = 8 \pi G \left( T_{\mu\nu} + \rho_{\Lambda}g_{\mu\nu} \right) \end{equation} 上面的公式是爱因斯坦于1915年发现的，是具有划时代意义的广义相对论中的一部分。该理论让科学家对引力的认识发生了革命性的转变，引力在这里是空间与时间结构的一种弯曲。 “让我惊奇的是，这样一个方程就揭示了全部的时空本质。”太空望远镜科学研究所的天体物理学家马里奥·利维奥（Mario Livio）如是说，他声明此方程为自己的最爱。“爱因斯坦所有的真正的天才之处都蕴含在这个方程中。” “方程的右侧描述了宇宙的能量构成(包括促使宇宙加速膨涨的暗能量)，左侧是时空的几何结构。”利维奥解释道，“此方程揭示了这样的事实，在爱因斯坦广义相对论中，质量和能量决定了几何，以及伴随的时空弯曲，它显示为我们所说的引力。” “这是个非常优雅的方程，它还揭示了时空、物质和能量之间的关系。”纽约大学物理学家凯利·克兰默（Kyle Cranmer）说，“此方程告诉你它们之间是如何关联的——比如，太阳的存在如何导致了时空弯曲，从而令地球沿着其轨道运转，等等。它还告诉你宇宙自从大爆炸之后是如何演化的，并且预言了黑洞的存在。”
标准模型
\begin{align} \label{eq:sm} \mathcal{L}_{\text{SM}} &=& \underbrace{ \frac{1}{4} W_{\mu\nu} \cdot W^{\mu\nu} – \frac{1}{4} B_{\mu\nu} B^{\mu\nu} – \frac{1}{4} G^{a}_{\mu\nu} G^{\mu\nu}_{a} }_{\text{规范玻色子的动能和自相互作用}} \\& +& \underbrace{ L\gamma^{\mu} \left( i\partial_{\mu} – \frac{1}{2}g\tau\cdot W_{\mu} – \frac{1}{2} g’ Y B_{\mu} \right) L + R\gamma^{\mu} \left( i\partial_{\mu} – \frac{1}{2} g’ Y B_{\mu} \right) R }_{\text{费米子动能和弱相互作用}} \\& +& \underbrace{ \frac{1}{2} \left| \left( i\partial_{\mu} – \frac{1}{2} g \tau \cdot W_{\mu} – \frac{1}{2} g’ Y B_{\mu} \right) \phi \right|^2 – V(\phi)}_{\text{\(W^{\pm}\), \(Z\), \(\gamma\), 希格斯子质量和耦合过程}} \\& +& \underbrace{ g” \left( \overline{q} \gamma^{\mu} T_a q \right) G^{a}_{\mu} }_{\text{夸克和胶子之间的相互作用}} + \underbrace{ \left(G_1 \overline{L} \phi R + G_2 \overline{L} \phi_c R + h.c. \right) }_{\text{费米子获得质量及与希格斯子的耦合}} \end{align} 标准模型是物理学中的另一个主流理论，它描述了构成目前宇宙的所有可见的基本粒子。 这个理论可浓缩为一个主方程，即标准模型的拉格朗日量。该名字来自于十八世纪法国数学家和天文学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph Louis Lagrange）。加利福尼亚SLAC国家加速器实验室的兰斯·迪克逊（Lance Dixon）在他的著名公式中采用了这个方程。 “它成功地描述了迄今所有在实验室中能够观测到的基本粒子和力——除了引力。这当然包括了最新发现的希格斯玻色子，即公式中的?。它与量子力学和狭义相对论完全相容”，迪克逊向LiveScience杂志解释道。 标准模型理论还没有与广义相对论统一起来，所以它还不能描述引力。
微积分
\begin{equation} \label{eq:calculus} \int^a_b f'(x) \, dx = f(b) – f(a) \end{equation} 前两个方程描述了宇宙的特定形态，而微积分这个令人喜爱的方程则可应用于各种各样的情况。微积分基础理论是微积分学数学方法的基石，它将两个主要思想连接了起来，即积分与求导的概念。 “简单来讲，它表明，平滑连续的量的净改变，比如经过给定时间区间后的行进距离（也就是说，时间区间端点的量的差值），等于该量的变化率的积分，亦即速度的积分”，美国福德汉姆大学（FordHam University）数学系主任特里维西克（MelkanaBrakalova-Trevithick）如是说，她将此方程选为最爱。“微积分的基础理论(FTC)允许我们基于整个区间内的速率变化来测定该区间的净变化。” 微积分的萌芽从古代就开始了，但其完善集中在十七世纪并归功于艾萨克·牛顿，他使用微积分解释了行星环绕太阳的运动。
毕达哥拉斯定理
\begin{equation} \label{eq:pyth} a^2 + b^2 = c^2 \end{equation} 经久不衰的方程非著名的毕达哥拉斯定理（勾股定理）莫属，每个几何初学者都要学习它。这个方程表明，对任意直角三角形，弦（直角三角形的最长边）的平方等于其余两边长的平方和。 “第一个令我惊奇的数学事实就是毕达哥拉斯定理。”康奈尔大学（Cornell University）的数学家丹尼娅·泰敏娜（Daina Taimina）如是说，“当我还是孩子时，它就令我惊奇不已，它不仅在几何中有用，在数论中也一样！”
欧拉公式（Euler’s equation）
\begin{equation} \label{eq:euler} V – E + F = 2 \end{equation} 这个简单的公式蕴含着球体的纯粹本质： “如果把一个球切割成面、棱和顶点，令F表示面数，E表示棱数,V表示顶点数，你始终能得到V?E+F=2”，马萨诸塞州威廉姆斯学院（Williams College）数学家科林·亚当斯（Colin Adams）解释说。 “比如以四面体为例，它有4个三角形，6根棱和4个顶点。如果你使劲吹一个表面柔软的四面体，它会胀成一个球。这样看来，一个球可以切割成4个面、6根棱和4个顶点。我们就有了V?E+F=2。对于金字塔方锥也一样，它有5个面——4个三角形和1个正方形，8根棱和5个顶点。对于任意其他的面、棱和顶点组合也一样，”亚当斯说。“这是一个非常酷的事实！顶点、棱和面的组合提示了球体的一些非常基本的东西。”
狭义相对论
\begin{equation*} t’ = t \frac{1}{\sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}}} \end{equation*} 爱因斯坦又一次榜上有名，这次是因为他的狭义相对论方程。它表明时间和空间不是绝对概念，而是受观察者速度影响的相对概念。上面的方程表明，一个人在任意方向运动得越快，时间会愈加膨胀，或者说变得更慢。 “它非常简洁，任何一名高中毕业生都会用，没有复杂的求导和线性代数。”欧洲核子中心日内瓦实验室的粒子物理学家比尔·莫瑞（Bill Murray）说，“但它表达的是一种全新的观察世界的方式，一种对待现实和我们与它之间关系的全新态度。突然间，那个刚性的不变的宇宙被扫除干净了，取而代之的是一个人性的世界，它同你的观察相关。你从一个身在宇宙之外的观察者变成了其中的一部分。而这个概念和数学关系可以被任何想学的人掌握。” 莫瑞说，比起爱因斯坦后续理论中的复杂方程，他更偏爱狭义相对论方程。“我都没弄懂广义相对论中的数学”，他补充道。
1 = 0.999999999…
\begin{equation*} 1 = 0.9999999999999\dots \end{equation*} 这是一个简单的等式，它的意思是，0.999紧跟着无限个小数位的9，其数值与1相等。这是康奈尔大学数学家斯蒂芬·斯托加兹（Steven Strogatz）的最爱。 他说：“我爱它的简单，任何人都能够理解其意思——但是它又是多么挑衅啊！许多人就不相信这是真的。它也是优美的平衡，左侧代表数学的开始，而右侧则代表神秘的无限。”
欧拉－拉格朗日方程及诺特定理
\begin{equation*} \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) = \frac{\partial L}{\partial q} \end{equation*} “这非常抽象，但令人惊奇地强大。”纽约大学的克兰默说，“更酷的是，这种物理学思想在经历了许多场物理学大革命（比如量子力学、相对论的出现等等）之后仍然屹立不倒。” 在这里，L表示拉格朗日量，它代表一个物理系统的能量量度，比如弹簧、杠杆或基本粒子。“求解这个方程会让你明白系统会如何随时间演化，”克兰默解释说。 拉格朗日方程的一个副产品是诺特定理，以二十世纪德国数学家埃米·诺特（Emmy Noether）命名。“该定理对于物理学和对称论来说非常基础。简单地讲，该理论是说如果你的系统有一个 对称性，则必伴随一个守恒量。比如，今天的物理基本定律与明天的是一样的（时间对称性），这意味着能量是守恒的；物理定律在这儿在外太空是相同的，则意味着动量守恒。对称性在基础物理中是起推进作用的概念，这主要得益于诺特的贡献”，克兰默补充道。
卡兰 -西曼齐克方程（Callan-Symanzik Equation）
\begin{equation*} \left[ M \frac{\partial}{\partial M} + \beta(g) \frac{\partial}{\partial g} + n \gamma \right] G^n \left( x_1, x_2, \dots, x_n; M, g \right) = 0 \end{equation*} “从 1970 年起，卡兰-西曼齐克方程就是非常重要的第一原则性方程，尤其是用于描述朴素的预测在量子世界中会如何失败”，罗格斯大学（Rutgers University）的理论物理学家马特·斯特拉斯（Matt Strassler）说。 此方程有很多应用，包括物理学家用它来预测质子与中子的质量及大小。质子和中子是构成原子核的基本粒子。 基础物理告诉我们，两个物体之间的引力和电磁力与它们之间的距离成平方反比关系。简单来讲，这也适用于强核子力。该力把质子和中子捆绑起来构成了原子核，也是它将夸克捆绑起来构成了质子和中子。但是，微小的量子涨落会影响力与距离的依赖关系，这对强核力带来的影响是巨大的。 “这阻碍了此力在长距离处的衰减，结果导致对夸克的囚禁，迫使它们形成了质子和中子，从而构造了我们的世界，”斯特拉斯解释说。“卡兰 -西曼齐克方程的作用与这个巨大的难以计算的效应相关联，当距离与质子的尺寸相当时它很重要，当距离比质子的尺寸小很多时它更加敏感，更容易计算其效应。”
极小曲面方程
$\mathcal{A}(u) = \int_{\Omega} \left( 1 + \left| \nabla_u \right|^2 \right)^{1/2} dx_1 \dots dx_n$ “极小曲面方程以某种方式形成了美丽的肥皂薄膜。你把金属框伸进肥皂水中泡一下再拿出来，就能做成这样的一张膜。”威廉姆斯学院的数学家弗兰克·摩根（Frank Morgan）说，“此方程是非线性的，涉及到导数的幂和乘积，其中暗含的数学表现在肥皂薄膜的奇怪反应上。它的非线性与大家熟悉的线性偏微分方程，比如热传导方程，波动方程，以及量子力学中的薛定谔方程很不一样。”
欧拉线（The Euler line）
纽约数学博物馆（Museum of Math）的奠基人格伦·惠特尼（Glen Whiteney）选择了另一个几何定理——它与欧拉线有关，以十八世纪瑞士数学家和物理学莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）命名。 惠特尼这样解释：“选择任一三角形，画出此三角形的外接圆，并找到其圆心（译者注：该圆心称为三角形的外心）；找到三角形的重心（译者注：三角形的重心为其三条中线的交点）——如果把三角形从纸上切下来，用针顶着重心可令它保持平衡；画出三角形的三条垂线，找到它们交汇的点（译者注：该点成为三角形的垂心）。这个定理是说，三角形的外心、重心和垂心始终位于一条直线上，这条线就叫三角形的欧拉线。” 这条定理蕴含了数学的美与强大，数学经常会用简洁、熟悉的形状展示出令人惊讶的模式。 作者|Clara Moskowitz 来源|livescience |
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