弧长与扇形面积
1．（2015·江苏江阴长泾片·期中）已知圆锥的底面半径为4cm，高为3cm，则圆锥的侧面积是()
A．20cm2B．20兀cm2C．12兀cm2D．10兀cm2
B
2．（2015·江苏江阴青阳片·期中）圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面积为（▲）
A． B． C． D．
A
3．（2015·江苏江阴夏港中学·期中）一个圆锥底面直径为2，母线为4，则它的侧面积为（）
A． B． C． D．
C
4．（2015·江苏江阴要塞片·一模）圆锥的底面半径为2，母线长为4，则它的侧面积为(▲)
A．4π B．8πC．16π D．4π
B
5.（2015·湖南永州·三模）如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC的斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E．B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为，则图中阴影部分的面积为（）
A． B．
C． D．D解析：连接OB．OE、BE，，因为B．E是半圆弧的三等分点，所以BOE=60°，根据同底等高的三角形面积相等可知△OBE和△ABE的面积相等，所以阴影部分的面积等于△ABC减去扇形OBE的面积.因为弧BE的长为，设半圆的半径为r，根据弧长公式，解得r=2，．根据圆周角的性质可知，DAB=EAB=30°，连接BD，则△ABD是直角三角形，AD=2r=4，cosDAB=，AB=2，在Rt△ABC中，得BC=，由正切计算得AC=3，所以S△ABC=，所以阴影面积=－．用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图1所示），则这个纸帽的高是（）
A．cm B．3cm
C．4cm D． 4cm
答案：C；
7.（2015·江西省·中等学校招生考试如图所示，正三角形ABC中，边AC渐变成，其它两边长度不变，则的度数的大小由
变为（）
A．B．C．D．
答案：选A．
命题思路：考查弧长的计算公式的运用山东省枣庄市齐村中学）已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为（）
A．2．5 B．5 C．10 D．15
C
9.(2015?山东济南?模拟)扇形的半径为30cm，圆心角为120°，此扇形的弧长是
A．20πB．10πC．10D．20)已知圆柱的底面半径为2cm，高为4cm，则圆柱的侧面积是(▲)
A．16cm2B．16πcm2C．8πcm2D．4πcm2
11.（2015·无锡市宜兴市洑东中学·一模）圆锥的底面半径为2，母线长为4，则它的侧面积为(▲)
A．4π B．8πC．16π D．4π
12．一个圆锥形的圣诞帽底面半径为12cm，母线长为13cm，则圣诞帽的表面积为（▲）
A．312π B．156πC．78πD．60π
二.填空题
1.（2015·江苏高邮·一模）半径为6cm，圆心角为120°的扇形的面积为▲．
2.（2015·江苏高邮·一模）如图，已知正方形ABCD的顶点A、B在⊙O上，顶点C、D在⊙O内，将正方形ABCD绕点逆时针旋转，使点D落在⊙O上．若正方形ABCD的边长和⊙O的半径均为6cm，则点D运动的路径长为▲cm．
；若扇形的半径为3cm，扇形的面积为2π，则该扇形的圆心角为▲°，弧长为▲cm．
80，ππ
5．（2015·江苏江阴·3月月考）如图，AB、CD是⊙O的两条互相垂直的直径，点O1、O2、O3、O4分别OA、OB、OC、OD的中点，若⊙O的半径是2，则阴影部分的面积为____________________．
答案：8
如图，正△ABC的边长为9cm，边长为3cm的正△RPQ的顶点R与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将△RPQ沿着边AB，BC，CA连续翻转（如图所示），直至点P第一次回到原来的位置，则点P运动路径的长为2π____▲____cm．（结果保留π）
6π
7.(2015·广东广州·二模）如图5，菱形ABCD的边长为2，∠ADC=120°，弧CD是以
点B为圆心BC长为半径的弧．则图中阴影部分的面积为▲（结
果保留）．
8．若一个圆锥的轴截面是一个腰长为6cm，底边长为2cm的等腰三角形，则这个圆锥的表面积为____cm2．7π；
9．已知扇形的弧长为cm，面积为cm2，扇形的半径是cm．
10.（2015·网上阅卷适应性测试将一个圆心角为120°，半径为6cm的扇形围成一个圆锥的侧面，则所得圆锥的高为▲cm．4
11．(2015·呼和浩特市初三年级质量普查调研)已知圆锥的母线长度为8，其侧面展开图的半圆，则这个圆锥的高为_____________.4
12.（2015·辽宁盘锦市一模）在半径为2的圆中，弦AB的长为2，
则弧的长等于
答案：π
13．（3分）已知圆锥底面圆的半径为6cm，它的侧面积为60πcm2，则这个圆锥的高是cm．8如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是____．
15．如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为_________．
答案：
16．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB边的中点，以CD为直径画圆，则图中影阴部分的面积为____________（结果保留）．
17.(2015?山东青岛?模拟)如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝2cm，以直角顶点B为圆心，AB长为半径画弧，再以AC为直径画弧，两弧之间形成阴影部分．阴影部分面积为cm2．
?山东济南?一模)图①所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为____________cm．
（3+3）)如图，小正方形的边长均为1，扇形OAB是某圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的底面周长为▲．(结果保留)
π
20．(2015·江苏南京溧水区·一模)圆锥的底面直径是6，母线长为5，则圆锥侧面展开的圆心角是▲度．
；
)已知扇形的圆心角为120o，半径为6cm，则扇形的弧长为▲cm.
答案:4π
22．一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆,则该圆锥的全面积是.
3π
23．2015·无锡市宜兴市洑东中学·一模）若一个圆锥底面圆的半径为3，高为4，则这个圆锥的侧面积为．
π
24．2015·无锡市新区·期中）已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是▲．
πcm2
25．2015·无锡市新区·期中）如图，扇形OMN与正三角形ABC，半径OM与AB重合，扇形弧MN的长为AB的长，已知AB=10，扇形沿着正三角形翻滚到首次与起始位置相同，则点O经过的路径长▲．
答案：
三.解答题
1．（2015·江苏江阴·3月月考）如图四边形ABCD中，已知∠A=∠C=30°，∠D=60°，AD=8，CD=10．
（1）求AB、BC的长
（2）已知，半径为1的⊙P在四边形ABCD的外面沿各边滚动（无滑动）一周，求⊙P在整个滚动过程中所覆盖部分图形的面积．
解：（1）AB=，BC=
（2）在⊙P的整个滚动过程中，圆心P的运动路径长为18+；
所以⊙P在整个滚动过程中，所覆盖部分图形的面积为36+；
2如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．等边△ABC的边长为1，它的一边AC在MN上，且顶点A与M重合．现将等边△ABC在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动．
（1）请在所给的图中，画出顶点A在等边△ABC整个翻滚过程中所经过的路线图；
（2）求等边△ABC在整个翻滚过程中顶点A所经过的路径长；
解：（1）如右图所示：
……………………………3分
（2）点A所经过的路线长……………………………6分[来~%源#:中国教育出版网&]
邗江区初三适应性训练如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，作OD∥BC与过点A的切线交于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE=6，CE=,求线段CE、BE与劣弧BC所围成的图形面积.（结果保留根号和π）
解：（1）连结OC，证得∠AOD=∠COD；
证得△AOD≌△COD（SAS）；
证得∠OCD=∠OAD=90°；
则DE是⊙O的切线.
（2）设半径为r，在Rt△OCE中，OC2+CE2=OE2
解得．
所求图形面积为
（12分）如图，⊙O是△ACD的外接圆，AB是直径，过点D作直线DE∥AB，过点B作直线BE∥AD，两直线交于点E，如果∠ACD=45°，⊙O的半径是4cm
（1）请判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求图中阴影部分的面积（结果用π表示）．
解：（1）DE与⊙O相切．理由如下：
连结OD，则∠ABD=∠ACD=45°，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴△ADB为等腰直角三角形，
而点O为AB的中点，
∴OD⊥AB，
∵DE∥AB，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；
（2）∵BE∥AD，DE∥AB，
∴四边形ABED为平行四边形，
∴DE=AB=8cm，
∴S阴影部分=S梯形BODE﹣S扇形OBD
=（4+8）×4﹣=（24﹣4π）cm2．
[
(本小题满分4分)
如图，AB切⊙O于点B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA.
求：劣弧BC的长．（结果保留π）
解：连接OC,OB，∵AB为圆O的切线，
∴∠ABO=90°，------------------------------------1分
在Rt△ABO中，OA=2，∠OAB=30°，
∴OB=1，∠AOB=60°，----------------------------2分
∵BC∥OA，
∴∠OBC=∠AOB=60°，又OB=OC，
∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=60°------------------------------------------------3分
∴劣弧长为=π．----------------------------------------4分（本小题满分12分]
某公园管理人员在巡视公园时，发现有一条圆柱形的输水管道破裂，通知维修人员到场检测，维修员画出水平放置的破裂管道有水部分的截面图（如图9）.
（1）请你帮忙补全这个输水管道的圆形截面（不写作法，但应保留作图痕迹）；
（2）维修员量得这个输水管道有水部分的水面宽AB=cm，水面最深地方的高度为6cm，请你求出这个圆形截面的半径及破裂管道有水部分的截面图的面积S。
答案：解：（1）作图正确…………………………4分
（2）过点O作OC⊥AB于D，交弧AB于C，则[
cm。…………………………5分
∵，
∴
∵cm
∴cm……………………6分
∵半径为cm，则cm，…………7分
在Rt△BOD中，由勾股定理得：
，
∴，………………………8分
解得，
∴这个圆形截面的半径为12cm.…………9分
又∵设弧长AB所对圆心角为,则
在Rt△BOD中，BD=，OB=12
∴，且为Rt△BOD的一个内角
求得=
∴=120………………………………10分
∵S=扇形OACB面积－面积
=
=（……………………12分)(本题满分分)，点M是弧AB上任意一点(与端点A、B不重合)，ME⊥AB于点E，以点M为圆心、ME长为半径作⊙M，分别过点A、B作⊙M的切线，两切线相交于点C．
(1)求弧AB的长；
(2)试判断∠ACB的大小是否随点M的运动而改变，若不变，请求出∠ACB的大小；若改变，请说明理由．
答案:(本题满分分AB＝………………………1分
易求AO＝2，…………………………………2分
∴弧AB的长＝……………3分
(2)连接AM、BM
∵ME⊥AB，∴AB是⊙M的切线，………4分
∵AC、BC是⊙M的切线，∴⊙M是△ABC的内切圆
∴AM、BM是∠CAB、∠ABC的平分线…………………………………5分
∴∠ACB＝90°＋∠AMB，
易求∠AMB＝120°，…………………………………………………………6分
∴∠ACB＝60°，即∠ACB的大小不变，为60°．
2/12
C
M
E
H
O
B
A
图9
P
D
C
B
A
D
C
B
A
B
O
A
（第16题）
（图5）
1题图
D
C
B
A
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