2015届高三预测金卷(重庆卷)
数学理
选择题:本大题共小题,每小题5分,共0分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.集合,则??
A.??????B.?????C.?D.
2.已知i为虚数单位,复数对应的点位于A.第一象限???B.第二象限????C.第三象限????D.第四象限
3.下列函数中,同时具有性质:(1)图象过点(0,1);(2)在区间(0,+∞)上是减函数;
(3)是偶函数.这样的函数是??(??)?????
A.y=x3+1???????B.y=log2(|x|+2)????C.y=()|x|?????D.y=2|x|
4.将函数的图象向左平移个单位,所得到的函数图象关于轴对称,则的一个可能取值为
A.????????B.???????C.???????D.
5.已知向量=(3cosα,2)与向量=(3,4sinα)平行,则锐角α等于()
A.B.C.D.
6.棱长为2的正方体被一平面截得的几何体的三视图如图所示,那么被截去的几何体的体积是
A.?B.?C.?4?D.?3
7.执行如图所示的程序框图,输出的k值为
8.已知函数的两个零点为并且则的取值范围是(???)
A.???B.????C.??????D.?
9.如图,矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(0,—1),B(,—1),C(,1),D(0,1),
正弦曲线和余弦曲线在矩形ABCD内交于点F,向矩形ABCD
区域内随机投掷一点,则该点落在阴影区域内的概率是
A.????B.?????C.????D.?
10.已知定义在上的函数满足:①;②对所有,,且,有.若对所有,,,则的最小值为(??)
A.?????B.???C.????????D.
二、填空题:本大题共小题,每小题5分,共分.把答案填在答题卡的相应位置.
11.已知,则????????.
12.已知数列{an},an=2n,则++…+=.
13.设x,y,z>0,满足xyz+y2+z2=8,则log4x+log2y+log2z的最大值是.14.(几何证明选讲选做题)
如图2,圆的直径,直线与圆相切于点,于点D,若,设,则______.??????????
15.在直角坐标系中,以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线经过曲线的焦点,则实数的值为___________。
16.不等式的解集是?????????????.
三、解答题:本大题共6小题,共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.
17.(本小题满分8分)?已知抛物线C:y=-x2+4x-3.
(1)求抛物线C在点A(0,-3)和点B(3,0)处的切线的交点坐标;
(2)求抛物线C与它在点A和点B处的切线所围成的图形的面积.
18.某学校举行联欢会,所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖,甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张,每个节目投票时,甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票,每人投三类票中的任意一类票的概率为,且三人投票相互没有影响,若投票结果中至少有两张“获奖”票,则决定该节目最终获一等奖;否则,该节目不能获一等奖.
(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率;
(2)求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X的分布列及数学期望.
19.(本小题满分10分)
如图,在直三棱柱中,,,,动点满足,当时,.
(1)求棱的长;
(2)若二面角的大小为,求的值.
20.已知数列的前项的和为,.
(1)求,及;
设,数列的前项和为,若对一切均有,求实数的取值范围.21.如图,曲线是以原点为中心、为焦点的椭圆的一部分,曲线是以为顶点、为焦点的抛物线的一部分,是曲线和的交点且为钝角,若.(I)求曲线和的方程;()过作一条与轴不垂直的直线,分别与曲线依次交于四点,若为中点、为中点,问是否为定值?若是求出定值;若不是说明理由.
22.(本小题满分13分)已知无穷整数数集()具有性质:对任意互不相等的正整数,,,总有.
若且,判断是否属于,并说明理由;
求证:,,,,,是等差数列;
已知,且,记是满足的数集中的一个,且是满足的所有数集的子集,求证:,互质是的充要条件.
DBCBACCBBB
11.1112.1﹣
13.14.???15.416.
17.(1),,
所以过点A(0,-3)和点B(3,0)的切线方程分别是,
两条切线的交点是,………………4分
(2)围成的区域如图所示:区域被直线分成了两部分,分别计算再相加,得:
即所求区域的面积是.???………………8分
18.(1)设“某节目的投票结果是最终获一等奖”为事件A,
则事件A包含该节目可以获2张“获奖票”或该节目可以获3张“获奖票”,
甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票,每人投三类票中的任意一类票的概率为,
且三人投票相互没有影响,
某节目的投票结果是最终获一等奖的概率:
P(A)==.
(2)所含“获奖”和“待定”票数之和X的值为0,1,2,3,
P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==,
X的分布列为:
X0123
P
E(X)==2.
19.(1)以点为坐标原点,分别为轴,
建立空间直角坐标系,设,则,,,
所以,,,?????????当时,有,即棱D的长为.?
(2)设平面的一个法向量为,
则由,得,即,
令,则,所以平面的一个法向量为,………6分
又平面与轴垂直,所以平面的一个法向量为,
因二面角的平面角的大小为,
所以,结合,解得.?………………10分
20.,,;
(2)由(1)得,,
∴,解得
21.()解法一:设椭圆方程为,则,得.
设,则,,
两式相减得,由抛物线定义可知,则或(舍去)所以椭圆方程为,抛物线方程为.…4分
解法二:过作垂直于轴的直线,即抛物线的准线,作垂直于该准线,作轴于,则由抛物线的定义得,所以
,
得,所以c=1,
(,得),
因而椭圆方程为,抛物线方程为………………4分
()设把直线
22.(Ⅰ)解:13?A.
设13∈A,则由{1,21}?A,性质P可得1+|13-9|=5∈A,与5?A矛盾,∴13?A;(Ⅱ)证明:对任意k+2≤n,由性质P可得,∵,∴且,∴,∴,∴a1,a2,a3,…,an是等差数列;(Ⅲ)解:由(Ⅱ)可知,a1,a2,a3,…,an公差为d,且d∈Z设ai=0,aj=x,ak=y,i<j<k,则y=(k-i)d,x=(j-i)d,首先证明:x,y互质是M=N的充分条件.∵x,y互质,∴d=1,∵M是满足{0,x,y}?A的所有数集A的子集,∴M=N;其次证明x,y互质是M=N的必要条件.假设x,y不互质,则x,y有大于1的因数p,∴满足条件A={a1,a2,a3,…,an,…}中的元素所构成的数列a1,a2,a3,…,an,…的公差d可以取1,也可以取p,此时A={0,p,2p,…,(n-1)p,…}满足条件,且={0,p,2p,…,(n-1)p,…}?N,与M=N矛盾,∴x,y互质,∴x,y互质是M=N的充要条件.
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