第7讲分式方程
考点1分式方程及解法
分式方程的概念 分母里含有①的方程叫做分式方程. 分式方程的解法 解分式方程的基本思路是将分式方程转化为②方程，具体步骤是：
(1)去分母，在方程的两边都乘以③，化成整式方程；
(2)解这个整式方程；
(3)验根，把整式方程的根代入最简公分母，如果④，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
考点2分式方程的应用
列分式方程解应用题的步骤跟一次方程(组)的应用题不一样的是：要检验⑤，既要检验求出来的解是否为原方程的根，又要检验是否⑥.
分式方程无解有可能是两种情况：一是去分母后的整式方程无解；二是整式方程有解，但整式方程的解使最简公分母为0，分式方程也无解.
命题点1分式方程的解法
例1(2014·呼和浩特)解方程：-=0.
【思路点拨】先确定最简公分母x(x+2)(x-2)，方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解，最后要检验.
【解答】
方法归纳：解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，并检验该整式方程的解是不是原分式方程的解.
1.(2015·原创)把分式方程=转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以()
A.xB.2xC.x+4D.x(x+4)
2.(2014·台州)将分式方程1-=去分母，得到正确的整式方程是()
A.1-2x＝3B.x-1-2x＝3
C.1+2x＝3D.x-1+2x＝3
3.(2014·重庆B卷)分式方程=的解是()
A.x＝1B.x＝-1C.x＝3D.x＝-3
4.(2014·连云港)解方程：+3=.
命题点2分式方程的应用
例2(2014·襄阳)甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360km，一列动车与一列特快列车分别从A、B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54km/h.当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135km处的C站.求动车和特快列车的平均速度各是多少？
【思路点拨】设特快列车的平均速度为xkm/h，则动车的平均速度为(x+54)km/h，依题意有等量关系：动车行驶360km所用时间＝特快列车行驶(360-135)km所用时间.列方程求解即可.
【解答】
方法归纳：列分式方程解应用题的关键是分析题意，弄清楚已知量与未知量之间的关系，从而得到等量关系式，进而引进未知数，列出方程解决问题.利用分式方程解应用题一定要注意检验，找出符合实际情况的答案.
1.(2014·莱芜)已知A、C两地相距40千米，B、C两地相距50千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发到C地.若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地.设乙车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是()
A.=B.=
C.=D.=
2.(2013·大连)某超市购进A、B两种糖果，A种糖果用了480元，B种糖果用了1260元，A、B两种糖果的重量比是1∶3，A种糖果每千克的进价比B种糖果每千克的进价多2元.A、B两种糖果各购进多少千克?
3.(2014·东营)为顺利通过“国家文明城市”验收，东营市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管道等公用设施全面更新改造.根据市政建设的需要，须在40天内完成工程.现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程.经调查知道：乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程的时间的2倍，若甲、乙两工程队合作只需10天完成.甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天?
1.(2013·山西)解分式方程+=3时，去分母后变形为()
A.2+(x+2)=3(x-1)B.2-x+2=3(x-1)
C.2-(x+2)=3(1-x)D.2-(x+2)=3(x-1)
2.(2014·孝感)分式方程=的解为()
A.x=-B.x=C.x=D.x=
3.(2015·原创)邱老师和黄老师住在同一个小区，离学校3000米，某天早晨，邱老师和黄老师分别于7点10分、7点15分离家骑自行车上班，刚好在校门口遇上，已知黄老师骑车的速度是邱老师的1.2倍，则邱老师骑车的速度是()
A.80米/分B.100米/分C.120米/分D.200米/分
4.(2014·无锡)方程=的解是.
5.(2013·广安)解方程-1=，则方程的解是.
6.(2014·巴中)若分式方程-=2无解，则m的值是.
7.(2013·盘锦)小成每周末要到距离家5千米的体育馆打球，他骑自行车前往体育馆比乘汽车多用10分钟，乘汽车的速度是骑自行车速度的2倍.设骑自行车的速度为x千米/时，根据题意列方程为.
8.解分式方程：
(1)(2014·盐城)＝；
(2)(2014·聊城)+=-1.
9.(2015·东营模拟)如图，点A、B在数轴上，它们所对应的数分别是-3和1-x2-x，且点A、B到原点的距离相等，求x的值.
10.(2014·娄底)娄底到长沙的距离约为180千米，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从娄底去长沙，小刘比小张晚出发1小时，最后两车同时到达，已知小轿车的速度是大货车的速度的1.5倍.
(1)求小轿车和大货车的速度各是多少？(列方程解答)
(2)当小刘出发时，小张离长沙还有多远？
11.(2014·徐州)几个小伙伴打算去音乐厅观看演出，他们准备用360元钱购买门票.下面是两个小伙伴的对话：
根据对话中的信息，请你求出小伙伴们的人数.
12.(2014·威海）端午节期间，某食堂根据职工食用习惯，用700元购进甲、乙两种粽子260个，其中甲种粽子比乙种粽子少用100元.已知甲种粽子单价比乙种粽子单价高20%，乙种粽子的单价是多少元？甲、乙两种粽子各购买了多少个？
13.(2014·自贡)学校新到一批理、化、生实验器材需要整理，若实验管理员李老师一人单独整理需要40分钟完成.现在李老师与工人王师傅共同整理20分钟后，李老师因事外出，王师傅再单独整理了20分钟才完成任务.
(1)王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟完成？
(2)学校要求王师傅的工作时间不能超过30分钟，要完成整理这批器材，李老师至少要工作多少分钟？
14.(2014·荆门)已知：点P(1-2a，a-2)关于原点的对称点在第一象限内，且a为整数，则关于x的分式方程
＝2的解是()
A.5B.1C.3D.不能确定
15.(2013·枣庄)对于非零的两个实数a，b，规定=-，若=1，则x的值为()
A.B.C.D.-
16.(2014·达州)某服装商预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8000元购进一批衬衫，面市后果然供不应求，服装商又用17600元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了8元.商家销售这种衬衫时每件定价都是100元，最后剩下10件按8折销售，很快售完.在这两笔生意中，商家共盈利多少元？
17.(2013·娄底)为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4800元.已知甲、乙两车单独运完此垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元.
(1)求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？
(2)若单独租用一台车，租用哪台车合算？
参考答案
考点解读
①未知数②整式③最简公分母④不为0⑤两⑥符合题意
各个击破
例1方程两边同乘x(x+2)(x-2),
去分母，得3(x-2)-(x+2)=0，
去括号，得3x-6-x-2=0，
移项，得3x-x=6+2，
合并，得2x=8，
系数化为1，得x=4.
检验，当x=4时，x(x+2)(x-2)=48≠0，
∴x=4是原方程的解.
题组训练1.D2.B3.C
4.2+3(x-2)=x-1，
2+3x-6=x-1，
2x=3，
x=.
经检验，x=是原方程的解.
例2设特快列车的平均速度为xkm/h，则动车的平均速度为(x+54)km/h，根据题意，得
=.解得x=90.
经检验，x=90是这个分式方程的解，且符合题意.
x+54=144.
答：动车和特快列车的平均速度分别为144km/h和90km/h.
题组训练1.B
2.设A种糖果购进x千克，则B种糖果购进3x千克，根据题意，得
-=2.解得x＝30.
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意.
3x＝90.
答：A种糖果购进30千克，B种糖果购进90千克.
3.设甲工程队单独完成此项工程需x天，则乙工程队单独完成此项工程需2x天.由题意得
+=.解得x=15.
经检验，x=15是原方程的解.
∴2x=30.
答：甲工程队单独完成此项工程需15天，乙工程队单独完成此项工程需30天.
整合集训
1.D2.B3.B4.x=25.x=-6.-17.-=
8.(1)分式两边同乘(x+1)(x-1),
去分母，得3(x+1)＝2(x-1).
解得x＝-5.
检验，当x＝-5时，(x+1)(x-1)=24≠0.
∴原分式方程的解是x＝-5.
(2)分式两边同乘(x+2)(x-2)
去分母，得-(2+x)2+16=-(x2-4)，
解得x=2.
经检验，当x=2时，x2-4=0.
∴原方程无解.
9.依题意可得=3，解得x=.
经检验，x=是原方程的解.
∴x的值为.
10.(1)设大货车的速度为x千米/时，小轿车的速度为1.5x千米/时，则
-=1.解得x=60.
经检验，x=60是方程的解，且符合题意.
1.5x=90.
答：大货车的速度为60千米/时，小轿车的速度为90千米/时.
(2)180-60=120(千米).
答：当小刘出发时，小张离长沙还有120千米.
11.设共有x个小伙伴，依题意，得
×0.6=.解得x=8.
经检验，x=8是原方程的解，且符合题意.
答：共有8个小伙伴.
12.设乙种粽子的单价为x元，则
+=260.解得x=2.5.
经检验，x=2.5是原方程的解，且符合题意.
∴=100,=160.
答：乙种粽子的单价是2.5元，甲、乙两种粽子分别购买了100个、160个.
13.(1)设王师傅单独整理这批实验器材需要x分钟完成，则
(+)×20+=1.解得x=80.
经检验得x=80是原分式方程的解，且符合题意.
答：王师傅单独整理这批实验器材需要80分钟完成.
(2)设李老师要工作m分钟，则
+≥1.解得x≥25.
答：李老师至少要工作25分钟.
14.C15.A
16.设第一批进货的单价为x元，则第二批进货的单价为(x+8)元，由题意，得
2×=.解得x=80.
经检验，x=80是原分式方程的解，且符合题意.
则第一次进货100件，
第二次进货的单价为88元，第二次进货200件.
总盈利为：
(100-80)×100+(100-88)×(200-10)+10×(100×0.8-88)=4200(元).
答：在这两笔生意中，商家共盈利4200元.
17.(1)设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运2x趟，依题意，得
+=1.解得x=18.
经检验x=18是原方程的解，且符合题意.2x=36.
答：甲车单独运完此堆垃圾需18趟，乙车需36趟.
(2)设甲车每趟需运费a元，则乙车每趟需运费(a-200)元，依题意，得
12a+12(a-200)=4800.解得a=300.
a-200=100.
∴单独租用甲车的费用=300×18=5400(元)，
单独租用乙车的费用=100×36=3600(元).
∵5400＞3600，
∴单独租用乙车合算.
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