第17讲等腰三角形与直角三角形
考点1等腰三角形与等边三角形
等腰三角形 概念 有两条边①的三角形是等腰三角形.
性质 1.等腰三角形是轴对称图形，一般有②条对称轴.
2.性质1：等腰三角形的两底角③(简写成“等边对④”).
3.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的⑤、底边上的⑥相互重合(简写成“三线合一”). 判定 等角对⑦.
等边三角形 概念 有⑧条边相等的三角形叫做等边三角形.
性质 1.具有一般等腰三角形的所有性质；
2.等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于⑨；
3.等边三角形是轴对称图形，共有⑩条对称轴. 判定 1.三个角都?的三角形是等边三角形；
2.有一个角是?的等腰三角形是等边三角形.
考点2直角三角形
概念 有一个角是?的三角形叫做直角三角形.
性质 1.直角三角形的两个锐角?.
2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的?.
3.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的?.
4.勾股定理：在直角三角形中，两条直角边a、b的等于斜边c的，即=c2.
判定 1.有一个角是或两个锐角的三角形是直角三角形.
2.如果三角形一边上的中线等于这条边的，那么这个三角形为直角三角形.
3.勾股定理的逆定理：如果三角形的两边的等于第三边的，那么这个三角形是直角三角形. 【易错提示】勾股定理应用的前提是这个三角形必须是直角三角形，解题时，只能在同一直角三角形时，才能利用它求第三边长.
1.求等腰三角形腰上的高，在所给条件不确定的条件下，应按顶角为锐角和钝角两种情况来考虑：(1)当顶角为锐角时，腰上的高在三角形内部；(2)当顶角为钝角时，腰上的高在三角形外部.
2.勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否是直角三角形的重要方法，应先确定最大边，然后验证两条短边的平方和是否等于最大边的平方.
命题点1等腰三角形的性质与判定
例1(2014·丽水)如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，若AB=6，CD=4，则△ABC的周长是20.
【思路点拨】因为△ABC是等腰三角形，利用三线合一可得BD=CD，即BC=2CD=8，从而求出△ABC的周长.
方法归纳：解答本题的关键是正确理解等腰三角形三线合一的内涵——由一推二.
1.(2014·菏泽)如图，直线l∥m∥n，等边△ABC的顶点B、C分别在直线n和m上，边BC与直线n所夹锐角为25°,则∠α的度数为()
A.25°B.45°C.35°D.30°
2.(2014·河南)在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为.
3.(2014·益阳)如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是.
命题点2直角三角形
例2如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC中点，若DE＝5，求AB的长.
【思路点拨】因为DE是直角三角形的中线，利用直角三角形的性质可以求出AC的长，从而求出AB的长.
【解答】
方法归纳：若题中已知直角三角形的中线长时，通常利用直角三角形的性质来求边长.
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的长是()
A.20B.10C.5D.
2.在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B=60°，BC＝6.则AB的长为.
3.如图，△ABC中，∠B=60°，∠C=30°，AM是BC边上的中线，且AM=4.求△ABC的周长.(结果保留根号)
命题点3勾股定理
例3(2013·呼和浩特)如图所示，在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，B两个凉亭之间的距离，现测得AC=30m，BC=70m，∠CAB=120°，请计算A，B两个凉亭之间的距离.
【思路点拨】作一条高线CD，构造直角三角形，利用∠CAB=120°和AC=30m求出CD和AD；然后在Rt△CDB中利用勾股定理求出DB的长.
【解答】
方法归纳：利用勾股定理解决实际问题的前提条件是有直角三角形，作垂线构造直角三角形是解决这类问题的关键.
1.(2014·滨州)下列四组线段中，可以构成直角三角形的是()
A.4，5，6B.1.5，2，2.5C.2，3，4D.1，，3
2.(2013·安顺)如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行()
A.8米B.10米C.12米D.14米
3.(2014·宜宾)菱形的周长为20cm，两个相邻的内角的度数之比为1∶2，则较长的对角线长度是cm.
4.某校八年级(3)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品.陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC=20cm，宽AB=16cm的矩形纸片ABCD，②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处，……请你根据①②步骤解答下列问题：
(1)找出图中∠FEC的余角；
(2)计算EC的长.
第1课时基础训练
1.(2013·毕节)已知等腰三角形一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为()
A.16B.20或16C.20D.12
2.(2013·成都)如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为()
A.2B.3C.4D.5
3.(2014·宜昌)如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°,以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD=()
A.30°B.45°C.60°D.90°
4.已知：如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠α的度数为()
A.60°B.45°C.40°D.30°
5.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,BD是∠ABC的平分线，CD=5cm,则AB的长为()
A.5cmB.cmC.10cmD.cm
6.(2014·南充)如图，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B的度数为()
A.30°B.36°C.40°D.45°
7.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为()
A.4cmB.5cmC.6cmD.10cm
8.(2014·乐山)如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D.则CD的长为()
A.B.C.D.
9.(2013·绵阳)如图，AC、BD相交于O，AB∥DC，AB=BC，∠D=40°，∠ACB=35°，则∠AOD=.
10.(2013·聊城)如图，在等边△ABC中，AB=6，点D是BC的中点.将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE的长度为.
11.(2013·黔西南)如图，△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=度.
12.(2013·桂林)如图，在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，AB=5，AD=4，则AE=.
13.(2013·莆田)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2.则最大的正方形E的面积是.
14.(2014·宁波)为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出个这样的停车位.(=1.4)
15.(2014·衡阳)如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：△BED≌△CFD.
16.(2014·菏泽)在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB＝5，求线段DE的长.
17.已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,点D在BC边上，且△ABD是等边三角形.若AB=2,求△ABC的周长.(结果保留根号)
18.(2014·襄阳)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②BE=CD；③OB=OC.
(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形)
(2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程.
19.如图1，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作BC平行线交AB、AC于E、F.
(1)请写出图1中线段EF与BE、CF间的关系，并说明理由.
(2)如图2，△ABC中∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线交于O，过点O作BC的平行线交AB于E，交AC于F.这时EF与BE、CF的关系又如何？请直接写出关系式，不需要说明理由.
第2课时能力训练
1.等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为.
2.已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，则△ABC底角的度数为()
A.45°B.75°C.45°或15°或75°D.60°
3.(2014·荆门)如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是()
A.()n·75°B.()n-1·65°C.()n-1·75°D.()n·85°
4.(2014·荆门)如图1，正方形ABCD的边AB、AD分别在等腰直角△AEF的腰AE、AF上，点C在△AEF内，则有DF=BE(不必证明).将正方形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度α(0°<α<90°)后，连接BE、DF.请在图2中用实线补全图形，这时DF=BE还成立吗？请说明理由.
5.(2014·自贡)如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC交于点G.
(1)求证：AE＝CF；
(2)若∠ABE＝55°，求∠EGC的大小.
6.(2014·泰安)如图∠ABC＝90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M.
(1)求证：∠FMC=∠FCM;
(2)AD与MC垂直吗？并说明理由.
7.(2013·牡丹江)在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长.
8.某课题学习小组对地图上的A、B、E、F、G、H、P、C八处地点进行观察、分析.如图所示，在讨论中得到了∠B=∠C=60°，B、F、H、C都在线段BC上，EF∥GH∥AC，PH∥GF∥AB的正确结论.接着又有两位同学各自提出了如下一个结论：
甲：△ABC、△BEF、△FGH、△HPC均为等边三角形.
乙：线路B→A→C与线路B→E→F→G→H→P→C一样长.
(1)请分别指出甲、乙两位同学的结论是否正确？
(2)将(1)中你认为正确的结论给予证明.
9.(2014·河南)(1)问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE.
填空：①∠AEB的度数为；
②线段AD、BE之间的数量关系是.
(2)拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°,点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE.请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由.
10.如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE=BE，D是AE上的一点，且DE=CE，连接BD、AC.
(1)试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由.
(2)如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由.
(3)如图3，若将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，
①试猜想BD与AC的数量关系，并说明理由.
②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由.
参考答案
考点解读
①相等②一③相等④等角⑤中线⑥高⑦等边⑧三⑨60°⑩三
?相等?60°?直角?互余?一半?一半平方和平方a2+b2
直角互余一半平方和平方
各个击破
例120
题组训练1.C2.105°3.60°
例2∵AD⊥BC，E是AC中点，DE＝5，
∴AC=2DE=10.
∵AB=AC，∴AB=10.
题组训练1.C2.3
3.∵∠B=60°，∠C=30°，
∴∠CAB=180°-∠B-∠C=90°.
又∵AM是BC边上的中线，∴AM=BC.
又∵AM=4，∴BC=2AM=8.
在Rt△ABC中，∠C=30°，
∴AB=BC=4，AC==4.
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=12+4.
例3过点C作CD⊥AB，垂足为D.
∵AC=30m，∠CAB=120°，
∴AD=15m，则CD=15m.
在Rt△BDC中，BD==65(m)，
∴AB=BD-AD=65-15=50(m).
题组训练1.B2.B3.
4.(1)∠CFE、∠BAF.
(2)设EC=xcm.则EF=DE=(16-x)cm，
AF=AD=20cm.
在Rt△ABF中，BF==12cm，
FC=BC-BF=20-12=8(cm).
在Rt△EFC中，EF2=FC2+EC2，
∴(16-x)2=82+x2，解得x=6.
∴EC的长为6cm.
整合集训
第1课时基础训练
1.C2.D3.B4.C5.D6.B7.B8.C9.75°10.11.1512.313.1014.17
15.证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°.
∵AB=AC，∴∠B=∠C.
∵在△BED和△CFD中，
∴△BED≌△CFD.
16.∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD.
∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，
∴∠EAD＝∠ADE，∴AE＝DE.
∵BD⊥AD，∴∠ADB=90°，
∴∠EAD＋∠ABD＝90°，
∠ADE＋∠BDE＝∠ADB=90°，
∴∠ABD＝∠BDE.
∴DE＝BE，
∴DE＝AB＝×5＝2.5.
17.∵△ABD是等边三角形，∴∠B=60°.
在Rt△BAC中，∠C=30°，AB=2，
∴BC=2AB=4，
∴AC===2,
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=2+4+2=6+2.
18.(1)①②；①③.
(2)选①③证明如下，
证明：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB.
又∵∠EBO=∠DCO，∠ABC=∠EBO+∠OBC，∠ACB=∠DCO+∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，
即△ABC是等腰三角形.
19.(1)EF=BE+CF.理由如下：
∵OB平分∠ABC，∴∠ABO=∠OBC.
∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，
∴∠ABO=∠EOB，∴EO=BE.
同理可证：OF=CF.
∴EF=BE+CF.
(2)EF=BE-CF.理由如下：
理由：∵OB平分∠ABC，∴∠ABO=∠OBC.
∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC,
∴∠ABO=∠EOB.∴EO=BE.
同理可得：OF=CF.
∴EF=OE-OF=BE-CF.
第2课时能力训练
1.8或或2.C3.C
4.补全图形如图所示.
DF=BE还成立，理由是：
∵正方形ABCD和等腰△AEF，
∴AD=AB,AF=AE,∠FAE=∠DAB=90°.
∴∠FAD=∠EAB.
在△ADF和△ABE中，
∴△ADF≌△ABE(SAS)，∴DF=BE.
5.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC＝90°.
∵BE⊥BF，∴∠EBF＝90°，∴∠ABE＝∠CBF.
∵AB=BC，∠ABE＝∠CBF，BE＝BF，
∴△ABE≌△CBF,∴AE＝CF.
(2)∵BE＝BF，∠EBF＝90°，∴∠BEF＝45°.
∵∠ABC＝90°，∠ABE＝55°，
∴∠GBE＝35°,
∴∠EGC＝∠GBE+∠BEF＝80°.
6.（1）证明：∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE的中点，
∴DF⊥AE,DF=AF=EF.
又∵∠ABC=90°，∠DCF,∠AMF都与∠MAC互余，
∴∠DCF=∠AMF.
又∵∠DFC＝∠AFM＝90°，∴△DFC≌△AFM.
∴CF=MF,∴∠FMC=∠FCM.
(2)AD⊥MC.理由如下：
由(1)知∠MFC=90°,FD=FE,FM=FC，
∴∠FDE=∠FMC=45°,
∴DE∥CM，∴AD⊥MC.
7.∵AC=4，BC=2，AB=2，
∴AC2+BC2=AB2，
即△ACB为直角三角形，且∠ACB=90°.
分三种情况：如图1，过点D作DE⊥CB，垂足为点E.易证△ACB≌△BED，易得CD=2.如图2，过点D作DE⊥CA，垂足为点E.易证△ACB≌△DEA，易得CD=2.如图3，过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F.易证△AFD≌△DEB，易得CD=3.
8.(1)甲、乙的结论都正确.
(2)证明：甲的结论：∵∠B=∠C=60°，则∠A=60°.
∴△ABC是等边三角形.
又∵EF∥AC，
∴∠EFB=60°，∠B=60°，则∠BEF=60°.
∴△BEF是等边三角形，
同理可证△FGH、△HPC是等边三角形.
乙的结论：∵△BEF、△FGH、△HPC都是等边三角形，
∴BE+EF=2BF，FG+GH=2FH，HP+PC=2HC，
∴BE+EF+FG+GH+HP+PC=2(BF+FH+HC)=2BC.
又∵△ABC为等边三角形，
∴AB+AC=2BC，
∴AB+AC=BE+EF+FG+GH+HP+PC.
即甲、乙的结论都正确.
9.(1)①60°;②AD=BE.
(2)∠AEB＝90°；AE=2CM+BE.
理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°,
∴AC=BC,CD=CE,
∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB,
即∠ACD=∠BCE,
∴△ACD≌△BCE,
∴AD=BE,∠BEC=∠ADC=135°,
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°.
在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，
∴CM=DM=ME,∴DE=2CM.
∴AE=DE+AD=2CM+BE.
10.(1)BD与AC的位置关系是：BD⊥AC，数量关系是BD=AC.理由如下：
如图1，延长BD交AC于点F.
∵AE⊥BC于E，∴∠BED=∠AEC=90°.
又∵AE=BE，DE=CE，∴△DBE≌△CAE，
∴BD=AC，∠DBE=∠CAE，∠BDE=∠ACE.
∵∠BDE=∠ADF,∴∠ADF=∠ACE.
∵∠ACE+∠CAE=90°，∴∠ADF+∠CAE=90°，
∴BD⊥AC.
(2)如图2，∵∠AEB=∠DEC=90°，
∴∠AEB+∠AED=∠DEC+∠AED，
即∠BED=∠AEC.
∵AE=BE，DE=CE，∴△BED≌△AEC,
∴BD=AC，∠BDE=∠ACE，∠DBE=∠CAE.
∵∠BFC=∠ACD+∠CDE+∠BDE=∠ACD+∠CDE+∠ACE=90°，
∴BD⊥AC.
(3)①BD与AC的数量关系是：BD=AC.
∵△ABE和△DCE是等边三角形,
∴∠AEB=∠ABE=60°，AE=BE，
∠DEC=∠DCE=60°，DE=CE，
∴∠AEB+∠AED=∠DEC+∠AED，
即∠BED=∠AEC,
∴△BED≌△AEC.
∴BD=AC.
②BD与AC的夹角度数为60°或120°.
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