第五单元四边形
第19讲多边形与平行四边形
考点1多边形
多边形的定义 在同一平面内，若干条不在同一直线上的线段①相接组成的图形叫做多边形.
多边形的性质 内角和 n边形内角和为②. 外角和 任意多边形的外角和为③. 对角线 n边形从一个顶点出发可以画④条对角线，一共可以画⑤条对角线.
正多边形 定义 各边⑥，各角也⑦多边形叫做正多边形. 性质 正n边形的每一个内角的度数都是⑧，每一个外角都是⑨.
考点2平行四边形的性质
序号 平行四边形的性质 1 平行四边形的对边⑩. 2 平行四边形的对角?. 3 平行四边形的对角线?. 4 平行四边形是?对称图形，它的对称中心是两条对角线的?.
考点3平行四边形的判定方法
序号 平行四边形的判定方法 1 两组对边分别?的四边形是平行四边形(定义法). 2 两组对边分别?的四边形是平行四边形. 3 两组对角分别的四边形是平行四边形. 4 一组对边的四边形是平行四边形. 5 对角线的四边形是平行四边形.
1.根据多边形的一个内角和一个相邻外角的互补关系，灵活选择公式求内角或外角.
2.牢记平行四边形的性质和判定方法，注意它们的区别与联系，可以提高解决平行四边形问题的速度和准确性.
命题点1多边形的内角和与外角和
例1(2014·莱芜)若一个正n边形的每个内角为156°，则这个正n边形的边数是()
A.13B.14C.15D.16
【思路点拨】方法一：利用多边形内角和定理可列出等式156°n=(n-2)·180°，解出n值即可；方法二：根据外角和为360°，因为每个内角为156°，所以每个外角为24°，则用360除以24即可求出边数.
方法归纳：根据多边形的边数可以求出多边形的内角和，已知内角和也可以求出边数；对于外角相等的多边形，已知每个外角的度数也可以求出边数，对于多边形的问题应注意内角与外角的相互转化.
1.如图是一个五边形木架，它的内角和是()
A.720°B.540°C.360°D.180°
2.(2014·梅州)内角和与外角和相等的多边形的边数为.
3.(2014·遵义)正多边形的一个外角等于20°，则这个正多边形的边数是.
命题点2平行四边形的性质
例2(2013·哈尔滨)如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，BE⊥AC，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F.求证：BE=DF.
【思路点拨】根据平行四边形的对边相等得出BC=AD，再由两直线平行内错角相等可得出∠BCA=∠DAC，从而可判断出△CEB≌△AFD，再利用全等三角形的性质即可得出结论.
【解答】
方法归纳：平行四边形与三角形全等综合考察是常见的考察形式，平行四边形的性质为三角形全等提供了边、角相等的条件.
1.(2014·长沙)平行四边形的对角线一定具有的性质是()
A.相等B.互相平分C.互相垂直D.互相垂直且相等
2.(2013·海南)如图，在□ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是()
A.BO＝DOB.CD＝ABC.∠BAD＝∠BCDD.AC＝BD
3.(2013·滨州)在□ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E是边CD的中点，且AB=6，BC=10，则OE=.
4.(2014·广州)如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E、F，求证：△AOE≌△COF.
命题点3平行四边形的判定
例3(2014·徐州)已知：如图，在□ABCD中，点E、F在AC上，且AE=CF.求证：四边形BEDF是平行四边形.
【思路点拨】连接BD，结合已知条件利用对角线互相平分来证明四边形BEDF是平行四边形.
【解答】
方法归纳：当要证明平行的两条线段是某四边形的对边时，可以证明这个四边形为平行四边形.证明四边形是平行四边形的方法有五种，方法的选择取决于题目中的条件.
1.(2014·昆明)如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是()
A.AB∥CD，AD∥BCB.OA=OC,OB=ODC.AD=BC，AB∥CDD.AB=CD,AD=BC
2.(2014·台湾)下列选项中的四边形只有一个为平行四边形，根据图中所给的边长长度及角度，判断哪一个为平行四边形()
3.如图，将△ABC绕AC边的中点O旋转180°后与原三角形拼成的四边形一定是.
4.(2013·宜宾)如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O，E,F在AC上，G,H在BD上，且AF=CE，BH=DG.求证：四边形EGFH为平行四边形.
1.(2014·泉州)七边形外角和为()
A.180°B.360°C.900°D.1260°
2.(2014·衡阳)若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数为()
A.5B.6C.7D.8
3.(2014·广东)如图，□ABCD中，下列说法一定正确的是()
A.AC=BDB.AC⊥BDC.AB=CDD.AB=BC
4.已知四边形ABCD中，AB∥CD.则添加下列条件，不能使四边形ABCD成为平行四边形的是()
A.AB=CDB.∠B=∠DC.AD∥BCD.AD=BC
5.(2014·宿迁)如图，□ABCD中，BC=BD，∠C=74°，则∠ADB的度数是()
A.16°B.22°C.32°D.68°
6.如图，在平面直角坐标系中，□MNEF的两条对角线ME，NF交于原点O，点F的坐标是(3，2)，则点N的坐标是()
A.(-3，-2)B.(-3，2)C.(-2，3)D.(2，3)
7.(2013·荆门)四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC，②AD=BC，③OA=OC，④OB=OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有()
A.3种B.4种C.5种D.6种
8.(2014·泰州)五边形的内角和为.
9.(2014·内江)如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AD∥BC，请添加一个条件：，使四边形ABCD为平行四边形(不添加任何辅助线).
10.(2013·长春)如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧，再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D，连接AD，CD.若∠B=65°，则∠ADC的大小为度.
11.(2014·南京)如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD＝.
12.如图，□ABCD与□DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为.
13.(2014·台州)如图1是某公交汽车挡风玻璃的雨刮器，其工作原理如图2.雨刷EF⊥AD，垂足为A，AB=CD且AD=BC，这样能使雨刷EF在运动时，始终垂直于玻璃窗下沿BC，请证明这一结论.
14.(2014·宿迁)如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高.
(1)求证：四边形ADEF是平行四边形；
(2)求证：∠DHF=∠DEF.
15.如图，四边形ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA.
(1)求∠APB的度数；
(2)如果AD=5cm，AP=8cm，求△APB的周长.
16.(2014·云南)如图，在平行四边形ABCD中，∠C=60°，M、N分别是AD、BC的中点，BC=2CD.
(1)求证：四边形MNCD是平行四边形；
(2)求证：BD=MN.
17.(2014·毕节)如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为()
A.13B.14C.15D.16
18.(2014·襄阳)在□ABCD中，BC边上的高为4,AB=5,AC=2,则□ABCD的周长等于.
19.如图，在□ABCD中，∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，BE与CF相交于点G.
(1)求证：BE⊥CF；
(2)若AB=3，BC=5，CF=2，求BE的长.
参考答案
考点解读
①首尾顺次②(n-2)×180°③360°④(n-3)⑤⑥相等⑦相等
⑧⑨⑩相等?相等?互相平分?中心?交点?平行
?相等相等平行且相等互相平分
各个击破
例1C
题组训练1.B2.43.18
例2证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，BC∥AD，∴∠BCA=∠DAC.
∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠CEB=∠AFD=90°，
∴△CEB≌△AFD，∴BE=DF.
题组训练1.B2.D3.5
4.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AB∥CD，∴∠EAO=∠FCO.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(ASA).
例3证明：连接BD与AC相交于点O.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC.
∵AE=CF，∴OE=OF.
∴四边形BEDF是平行四边形.
题组训练1.C2.B3.平行四边形
4.证明:∵平行四边形ABCD中，OA=OC，又∵AF=CE，∴AF-OA=CE-OC，
即OF=OE.
同理得OG=OH，
∴四边形EGFH是平行四边形.
整合集训
1.B2.C3.C4.D5.C6.A7.B8.540°
9.答案不唯一，如：AD＝BC(或AB∥DC)10.6511.72°12.25°
13.证明：∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
又∵EF⊥AD，∴EF⊥BC.
14.证明：(1)∵点D，E是AB，BC的中点，
∴DE∥AC.
同理EF∥AB.
∴四边形ADEF是平行四边形.
(2)∵四边形ADEF是平行四边形，
∴∠DAF=∠DEF.
∵在Rt△AHB中，D是AB中点，
∴DH=AB=AD，∴∠DAH=∠DHA.
同理∠FAH=∠FHA.
∴∠DAF=∠DHF.
∴∠DHF=∠DEF.
15.(1)∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB∥CD，
∴∠DAB+∠CBA=180°.
又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB+∠PBA=(∠DAB+∠CBA)=90°，
∴∠APB=180°-(∠PAB+∠PBA)=90°.
(2)∵AP平分∠DAB且AB∥CD，
∴∠DAP=∠PAB=∠DPA.
∴△ADP是等腰三角形.
∴AD=DP=5cm.
同理PC=CB=5cm，∴AB=DP+PC=10cm.
在Rt△APB中，AB=10cm，AP=8cm，
∴BP==6(cm).
∴△APB的周长是6+8+10=24(cm).
16.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∵M、N分别是AD、BC的中点，
∴MD＝NC，MD∥NC，
∴四边形MNCD是平行四边形.
(2)连接ND，
∵N是BC的中点，∴BN=CN.
∵BC=2CD，∠C=60°，∴△NCD是等边三角形.
∴ND＝NC,∠DNC＝∠NDC＝60°，
∴ND＝NB＝CN，
∴∠DBC＝∠BDN＝30°，
∴∠BDC＝∠BDN+∠NDC＝90°，
∴BD＝==CD.
∵四边形MNCD是平行四边形，∴MN＝CD,
∴BD＝MN.
17.B18.20
19.(1)证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠ABC.
同理∠BCF=∠BCD.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,
∴∠ABC+∠BCD=180°,
∴∠CBE+∠BCF=∠ABC+∠BCD=(∠ABC+∠BCD)=90°,
∴∠CGB=90°，即BE⊥CF.
(2)过点E作EP∥FC，交BC的延长线于点P，则四边形CPEF是平行四边形.
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE.
在□ABCD中，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，∴AE=AB=3.
同理DF=DC=3.
∴EF=AE+DF-AD=1，
∴CP=EF=1，EP=CF=2，BP=6.
又由(1)已证得BE⊥CF，∴BE⊥EP，
∴在Rt△BPE中，BE===4.
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