第22讲与圆有关的位置关系
考点1点与圆的位置关系
设圆的半径为r,点到圆心的距离为d.
位置关系 点在圆内 点在圆上 点在圆外 数量(d与r)的大小关系 ① ② ③
考点2直线与圆的位置关系
设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d.
位置关系 相离 相切 相交 公共点个数 0 1 2 公共点的名称 无 切点 交点 数量关系 ④ ⑤ ⑥
考点3圆的切线
切线的判定 (1)与圆有⑦公共点的直线是圆的切线(定义法). (2)到圆心的距离等于⑧的直线是圆的切线. (3)过半径外端点且⑨半径的直线是圆的切线.
切线的性质 (1)切线与圆只有⑩公共点. (2)切线到圆心的距离等于圆的?. (3)切线垂直于经过切点的?. 切线长 过圆外一点作圆的切线，这点和?之间的线段长叫做这点到圆的切线长. 切线长定理 从圆外一点可以引圆的?条切线，它们的切线长?，这一点和圆心的连线?两条切线的夹角.
考点4三角形与圆
确定圆的条件 不在直线的三个点确定一个圆. 三角形的外心 经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，的圆心叫做三角形的，这个三角形叫做这个圆的内接三角形；外心到三角形的距离相等. 三角形的内心 与三角形各边都相切的圆叫三角形的，内切圆的圆心叫做三角形的，这个三角形叫圆的外切三角形，内心到三角形的距离相等.
1.判断一直线是否为圆的切线的方法：①连半径，证垂直；②作垂线，证半径.
2.直角三角形的外接圆与内切圆半径的求法：
若a,b是Rt△ABC的两条直角边，c为斜边，则①直角三角形的外接圆半径R=；②直角三角形的内切圆半径r=.
命题点1点与圆、直线与圆的位置关系
例1(2013·凉山)在同一平面直角坐标系中有5个点：A(1，1)，B(-3，-1)，C(-3，1)，D(-2，-2)，E(0，-3).
(1)画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P的位置关系；
(2)若直线l经过点D(-2，-2)，E(0，-3)，判断直线l与⊙P的位置关系.
【思路点拨】(1)先画出△ABC，然后确定⊙P，通过计算PD的长度来判断点D与⊙P的位置关系；
(2)通过(1)判断点D在圆上，则只需说明垂直即可.
【解答】
方法归纳：判断点与圆和直线与圆的位置关系，都是判断圆心与点或直线的距离与半径的大小关系.
1.若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是()
A.点A在圆外B.点A在圆上C.点A在圆内D.不能确定
2.已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是()
3.在Rt△ABC中，∠A=30°，直角边AC=6cm，以C为圆心，3cm为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是.
命题点2切线的性质与判定
例2(2014·天水)如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD.
(1)判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由.
(2)过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求BE的长.
【思路点拨】(1)连接OD，根据圆周角定理求出∠DAB+∠DBA=90°，从而得出∠CDA+∠ADO=90°，再根据切线的判定推出即可；
(2)首先利用勾股定理求出DC，由切线长定理得出DE=EB，在Rt△CBE中根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可.
【解答】
方法归纳：切线的性质与判定都与圆心和切点之间的线段有关，连接这条线段是常见的辅助线作法.
1.(2014·哈尔滨)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°.则∠ABD的度数是()
A.30°B.25°C.20°D.15°
2.如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是()
A.4B.8C.4D.8
3.下列说法中，正确的是()
A.圆的切线垂直于经过切点的半径
B.垂直于切线的直线必经过切点
C.垂直于切线的直线必经过圆心
D.垂直于半径的直线是圆的切线
4.(2014·湘潭)如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，PA切⊙O于A点，则PA=.
5.(2013·昭通)如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠B=60°.
(1)求∠D的度数；
(2)求证：AE是⊙O的切线.
命题点3三角形与圆的位置关系
例3在锐角△ABC中，BC=5，sinA=.
(1)如图1，求△ABC的外接圆的直径；
(2)如图2，点I为△ABC的内心，若BA=BC，求AI的长.
【思路点拨】(1)对于条件sinA=怎样运用应该设法构造直角三角形，运用直径所对的圆周角是直角及同弧所对的圆周角相等解答；
(2)利用等腰三角形三线合一可知BI垂直于AC，再利用面积法解答.
【解答】
方法归纳：通常解决这类问题有两种方法：(1)构造直角三角形；(2)等角代换，即在已有的直角三角形中找到与所求角相等的角.这道题目中没有直角三角形，因此应该采用第一种方法，构造直角三角形求解.
1.如图，已知圆O是△ABC的内切圆，且∠BAC=50°，则∠BOC的度数是()
A.90°B.100°C.115°D.130°
2.(2013·永安质检)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为(0，3)，点B为(2，1)，点C为(2，-3).则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是()
A.(0，0)B.(1，0)C.(-2，-1)D.(2，0)
3.如图：⊙O是△ABC的外接圆，且半径为10，∠A=60°，求弦BC的长.
第1课时基础训练
1.(2014·白银)已知⊙O的半径是6cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是()
A.相交B.相切C.相离D.无法判断
2.(2013·青岛)直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是()
A.r＜6B.r=6C.r＞6D.r≥6
3.(2014·天津)如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心.若∠B=25°，则∠C的大小等于()
A.20°B.25°C.40°D.50°
4.(2014·崇明二模)在⊙O中，圆心O在坐标原点上，半径为2，点P的坐标为(4，5)，那么点P与⊙O的位置关系是()
A.点P在⊙O外B.点P在⊙O上C.点P在⊙O内D.不能确定
5.如图，在坐标平面上，Rt△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，AB垂直x轴，M为Rt△ABC的外心.若A点坐标为(3，4)，M点坐标为(-1，1)，则B点坐标为()
A.(3，-1)B.(3，-2)C.(3，-3)D.(3，-4)
6.(2014·淄博)如图，直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，E，F为圆上的两点，且∠CDE=∠ADF.若⊙O的半径为，CD=4，则弦EF的长为()
A.4B.C.5D.6
7.在平面内，⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为3cm，则点P与⊙O的位置关系是.
8.(2014·重庆B卷)如图，C为⊙O外一点，CA与⊙O相切，切点为A，AB为⊙O的直径，连接CB.若⊙O的半径为2，∠ABC=60°，则BC=.
9.如图，点A、B、D在⊙O上，∠A=25°，OD的延长线交直线BC于点C，且∠OCB=40°，直线BC与⊙O的位置关系为.
10.如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1，3)、B(-2，-2)、C(4，-2)，则△ABC外接圆半径的长度为.
11.如图，⊙P的半径为2，圆心P在函数y＝(x＞0)的图象上运动，当⊙P与x轴相切时，点P的坐标为.
12.如图，⊙O与直线l1相离，圆心O到直线l1的距离OB=，OA=4，将直线l1绕点A逆时针旋转30°后得到的直线l2，刚好与⊙O相切于点C，则OC=.
13.(2014·牡丹江)如图，已知⊙O中直径AB与弦AC的夹角为30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OD=30cm.求：直径AB的长.
14.(2014·盐城)如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D=2∠CAD.
(1)求∠D的度数；
(2)若CD=2，求BD的长.
15.(2014·毕节)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，连接CD.
(1)求证：∠A=∠BCD；
(2)若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由.
第2课时能力训练
1.(2014·益阳)如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(-3，0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为()
A.1B.1或5C.3D.5
2.如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB,BC分别相切于点D,E，过劣弧(不包括端点D,E)上任一点Ｐ作⊙O的切线MN与AB,BC分别交于点M,N，若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为()
A.rB.rC.2rD.r
3.(2014·宜宾)已知⊙O的半径r=3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题：
①若d＞5，则m=0；②若d=5，则m=1；③若1＜d＜5，则m=3；④若d=1，则m=2；⑤若d＜1，则m=4.
其中正确命题的个数是()
A.1B.2C.3D.5
4.(2014·玉林)如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME=EF，且EF∥MN，则cos∠E=.
5.如图，在△ABC中，BC=3cm，∠BAC=60°，那么△ABC能被半径至少为cm的圆形纸片所覆盖.
6.(2014·宜宾)如图，已知AB为⊙O的直径，AB=2，AD和BE是圆O的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C作⊙O的切线CF，分别交AD、BE于点M、N，连接AC、CB，若∠ABC=30°，则AM=.
7.如图所示，已知点A从点(1，0)出发，以每秒1个单位长度的速度沿着x轴的正方向运动，经过t秒后，以点O、A为顶点作菱形OABC，使点B、C都在第一象限内，且∠AOC=60°，若以点P(0，4)为圆心，PC为半径的圆恰好与OA所在的直线相切，则t=.
8.(2014·河南)如图，CD是⊙O的直径，且CD=2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA，PB，切点分别为点A，B.
(1)连接AC，若∠APO=30°，试证明△ACP是等腰三角形；
(2)填空：
①当DP=cm时，四边形AOBD是菱形；
②当DP=cm时，四边形AOBD是正方形.
9.(2014·德州)如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE.
(1)求AC，AD的长；
(2)试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由.
10.如图，点B在y轴上，BA∥x轴，点A的坐标为(5.5，4)，⊙A的半径为2.现有点P从点B出发沿射线BA运动.
(1)当点P在⊙A上时，请直接写出它的坐标；
(2)设点P的横坐标为x，连接OP，试探究射线OP与⊙A的位置关系，并说明理由.
参考答案
考点解读
①d＜r②d=r③d＞r④d＞r⑤d=r⑥d＜r⑦唯一⑧半径⑨垂直于⑩一个
?半径?半径?切点?两?相等?平分同一外接圆外心
三个顶点内切圆内心三边
各个击破
例1(1)所画的⊙P如图所示，由图知⊙P的半径为.连接PD.
∵PD=12+22=，∴点D在⊙P上.
(2)直线l与⊙P相切.
理由：连接PE.
∵直线l经过点D(-2，-2)，E(0，-3)，
∴PE2=12+32=10，PD2=5，DE2=5.
∴PE2=PD2+DE2.
∴△PDE是直角三角形，且∠PDE=90°.
∴PD⊥l.∴直线l与⊙P相切.
题组训练1.C2.B3.相切
例2(1)直线CD和⊙O的位置关系是相切.
理由是：连接OD.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠DBA=90°.
∵∠CDA=∠CBD，∴∠DAB+∠CDA=90°.
∵OD=OA，∴∠DAB=∠ADO.
∴∠CDA+∠ADO=90°，即OD⊥CE.
∴直线CD是⊙O的切线，
即直线CD和⊙O的位置关系是相切.
(2)∵AC=2，⊙O的半径是3，
∴OC=2+3=5，OD=3.
在Rt△CDO中，由勾股定理得CD=4.
∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，
∴DE=EB，∠CBE=90°.
设DE=EB=x，
在Rt△CBE中，由勾股定理，得CE2=BE2+BC2，
则(4+x)2=x2+(5+3)2，解得x=6.
即BE=6.
题组训练1.B2.B3.A4.4
5.(1)∵∠B与∠D都是弧AC所对的圆周角，
∴∠ADC=∠B=60°.
(2)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，∴∠BAC=30°.
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，
即BA⊥AE.
∴AE是⊙O的切线.
例3(1)作△ABC的外接圆的直径CD，连接BD,则∠CBD=90°，∠D=∠A，
∴=sinD=sinA=.
∵BC=5，∴CD=，
即△ABC的外接圆的直径为254.
(2)连接BI并延长交AC于点H，作IE⊥AB于点E.
∵点I为△ABC的内心，∴BI平分∠ABC.
∵AB=BC，∴BH⊥AC.∴IH=IE.
∴在Rt△ABH中，
BH=AB·sin∠BAH=4，AH==3.
∵S△ABI+S△AHI=S△ABH，
∴+=.
即+=.
∵IH=IE，∴IH=.
在Rt△AHI中，由勾股定理，得
AI==.
题组训练1.C2.C
3.过O作OD⊥BC于D，
则∠BOD=∠COD=∠BOC.
又∵∠BOC=2∠A，∴∠BOD=∠A=60°.
在Rt△BOD中，OB=10，∠BOD=60°，
∴BD=OB=5，
∴BC=2BD=10.
整合集训
第1课时基础训练
1.A2.C3.C4.A5.B6.B7.点P在⊙O内8.89.相切10.11.(3，2)12.2
13.∵∠A=30°，OC=OA，
∴∠ACO=∠A=30°，∴∠COD=60°.
∵DC切⊙O于C，∴∠OCD=90°，∴∠D=30°.
∵OD=30cm，∴OC=OD=15cm，
∴AB=2OC=30cm.
14.(1)∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，
∴∠COD=∠A+∠ACO=2∠A.
∵∠D=2∠CAD，∴∠D=∠COD.
∵PD切⊙O于C，∴∠OCD=90°.
∴∠D=∠COD=45°.
(2)∵∠D=∠COD，CD=2，∴OC=OB=CD=2.
在Rt△OCD中，由勾股定理，得
22+22=(2+BD)2，
∴BD=-2.
15.(1)证明：∵AC为直径，∴∠ADC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°.
∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD.
(2)当MC=MD(或点M是BC的中点)时，直线DM与⊙O相切.
理由：连接DO.
∵DO=CO，∴∠ODC=∠OCD.
∵DM=CM，∴∠DCM=∠CDM.
∵∠OCD+∠DCM=90°，
∴∠ODC+∠CDM=90°，
∴直线DM与⊙O相切.
第2课时能力训练
1.B2.C3.C4.5.
6.提示：连接OM，OC，则∠AOC=2∠ABC=60°，∠AOM=∠COM=∠AOC=30°，
在Rt△AOM中，OA=AB=1，∠AOM=30°，
∴tan30°=，即=，解得AM=.
7.提示：由题意可知，当以点P(0，4)为圆心，PC为半径的圆恰好与OA所在的直线相切时，如图所示.
连接PC，作PD⊥OC于点D，则∠POC=90°-∠AOC=90°-60°=30°.∴OD=OP=×4=2.∴OC=2OD=4.∴OA=OC=4.则t=.
8.(1)证明：连接OA，AC.
∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=90°.
在Rt△AOP中，∠AOP=90°-∠APO=90°-30°=60°，∴∠ACP=30°.
∵∠APO=30°，∴∠ACP=∠APO，∴AC=AP，
即△ACP是等腰三角形.
(2)①1;②2-1.
提示：①要使四边形AOBD是菱形，则OA=AD=OD，∴∠AOP=60°，
∴OP=2OA，DP=OD=CD=1.
②要使四边形AOBD是正方形，则必须∠AOP=45°，OA=PA=1，则OP=，
∴DP=OP-1=-1.
9.(1)连接BD.
∵AB是直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.
在Rt△ABC中，AC＝==8.
∵CD平分∠ACB，∴＝，∴AD＝BD.
在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，AD=BD＝5，
∴AC＝8cm，AD＝5cm.
(2)直线PC与⊙O相切.
理由：方法一：连接OC，OD.
∵AD=BD，∴OD⊥AB，∴∠DOE＝90°，
∴∠ODE+∠OED＝90°.
∵PC＝PE，∴∠PCE＝∠PEC，
∴∠OED＝∠PEC＝∠PCE.
∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠OCP＝∠PCE+∠OCD＝∠OED+∠ODE＝90°，即OC⊥PC.
∴直线PC与⊙O相切.
方法二：连接OC.
∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠OCA.
∵PC＝PE，∴∠PCE＝∠PEC.
∵∠PEC＝∠CAE+∠ACE，
∴∠PCB+∠ECB＝∠CAE+∠ACE.
∵CD平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB,
∴∠PCB＝∠CAE,∴∠PCB＝∠ACO.
∵∠ACB＝90°，
∴∠OCP＝∠OCB+∠PCB＝∠ACO+∠OCB＝90°，即OC⊥PC，
∴直线PC与⊙O相切.
10.(1)点P的坐标为(3.5，4)或(7.5，4)；
(2)过点O作圆A的切线OM，切点为M，连接AM，则AM⊥OM，
由题意可知：OM与BA的交点为P，BP=x，
当点P在点A的左侧时，
x＜5.5，点A的坐标为(5.5，4)，
此时⊙A过P的切线为OM1,M1为切点，如图.
AP1=5.5-x，OB=4，⊙A的半径为2，
∴AM1=2，BA∥x轴，∴∠OBP1=90°，
∴∠AM1P1=∠OBP1，∠AP1M1=∠OP1B，
∴△OBP1∽△AM1P1，∴=.
∴=，即OP1=11-2x.
在Rt△OBP1中，(11-2x)2=42+x2，
解得x=3或x=(舍去)；
当点P在点A的右侧时，x＞5.5，
同理可解得x=3(舍去)或x=353.
∴当x=3或时，直线OP与圆A相切；
当0＜x＜3或x＞时相离；
当3＜x＜直线与圆相交.
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