第26讲视图与投影
考点1投影
平行投影 由①光线形成的投影叫做平行投影.投影线垂直于投影面时产生的投影叫做正投影，正投影是一种特殊的平行投影. 中心投影 由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影.
考点2三视图
三视图 主视图 在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图. 俯视图 在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图. 左视图 在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.
画物体的三视图 原则 主视图与俯视图②对正，主视图与左视图③平齐，左视图与俯视图的④相等. 提醒 在画图时，看得见部分的轮廓线画成实线，因被其他部分遮挡而看不见部分的轮廓线画成虚线.
考点3立体图形的展开与折叠
一个立体图形沿不同的棱剪开就得到不同的平面图形.
考点4尺规作图
定义 在几何里，限定⑤和⑥来画图，称尺规作图. 基本步骤 已知、求作、作法、证明、结论.
常见的基本作图 (1)作一条线段等于已知线段；
(2)作一个角等于已知角；
(3)作已知角的平分线；
(4)经过一点作已知直线的垂线；
(5)作线段的垂直平分线.
正方体的平面展开图归纳起来有四种情形：①“1-4-1”型：展开图有3行，中间一行有4个正方形，其余两行均为1个正方形，如图1所示；②“2-3-1”型：展开图有3行，第一行有2个正方形，中间一行有3个正方形，第三行有1个正方形，如图2所示；③“2-2-2”型：展开图有3行，每行均有2个正方形，如图3所示；④“3-3”型，展开图有2行，每一行均有3个正方形，如图4所示.
命题点1判断几何体的三视图
例1(2014·绍兴)由5个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是()
方法归纳：细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据主视图是从正面看到的图形判定即可.
1.(2014·安徽)如图，图中的几何体是圆柱沿竖直方向切掉一半后得到的，则该几何体的俯视图是()
2.(2014·德州)图甲是某零件的直观图，则它的主视图为()
3.(2014·资阳)下列立体图形中，俯视图是正方形的是()
4.(2014·台州)如图，由相同的小正方体搭成的几何体的主视图是()
命题点2由三视图还原几何体
例2(2014·福州)某几何体的三视图如图所示，则该几何体是()
A.三棱柱B.长方体C.圆柱D.圆锥
方法归纳：由视图到立体图形，根据视图想象出视图所反映的立体形状，我们称为读图.读图时，可从主视图上分清物体各部分的上下和左右位置；从俯视图上分清物体各部分的左右和前后位置；从左视图上分清物体各部分的上下和前后位置.
1.(2014·金华)一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是()
2.(2014·毕节)如图是某一几何体的三视图，则该几何体是()
A.三棱柱B.长方体C.圆柱D.圆锥
3.(2013·德州)图中三视图所对应的直观图是()
命题点3立体图形的展开与折叠
例3(2013·菏泽)下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是()
【思路点拨】通过图片可以想象出该物体由三条棱组成，底面是三角形，符合这个条件的几何体是三棱柱.
方法归纳：三棱柱的表面展开图，上、下两底面应在侧面展开图长方形的两侧，且是全等的三角形，不能有两个侧面在两三角形的同一侧.
1.(2014·汕尾)如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“你”字一面相对面上的字是()
A.我B.中C.国D.梦
2.(2013·河南)如图是正方体的一种展开图，其每个面上都标有一个数字，那么在原正方体中，与数字“2”相对的面上的数字是()
A.1B.4C.5D.6
3.(2013·温州)下列各图中，经过折叠能围成正方体的是()
命题点4尺规作图
例4(2013·广州)已知四边形ABCD是平行四边形，把△ABD沿对角线BD翻折180°得到△A′BD.
(1)利用尺规作出△A′BD(要求保留作图痕迹，不写作法)；
(2)设DA′与BC交于点E，求证：△BA′E≌△DCE.
【思路点拨】(1)首先作∠A′BD=∠ABD，然后以B为圆心，AB长为半径画弧，交BA′于点A′，连接BA′，DA′，即可作出△A′BD.
(2)由四边形ABCD是平行四边形与折叠的性质，易证得：∠BA′D=∠C，A′B=CD，然后由AAS即可判定：△BA′E≌△DCE.
【解答】
方法归纳：用尺规作图作一个三角形与原三角形全等，利用三角形全等的判定方法，转化为作一个角等于已知角和作一条线段等于已知线段.
1.(2014·兰州)如图，在△ABC中,先作∠BAC的角平分线AD交BC于点D；再以AC边上的一点O为圆心，过A，D两点作⊙O.(用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑)
2.某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示，请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置.(要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图)
3.(2014·江西)已知梯形ABCD，请使用无刻度直尺画图.
(1)在图1中画一个与梯形ABCD面积相等，且以CD为边的三角形；
(2)在图2中画一个与梯形ABCD面积相等，且以AB为边的平行四边形.
1.(2014·内江)如图1，桌面上有一个一次性纸杯，它的主视图应是()
2.(2014·泸州)如右下图所示的几何体的俯视图为()
3.如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，作图痕迹中，是()
A.以点C为圆心，OD为半径的弧
B.以点C为圆心，DM为半径的弧
C.以点E为圆心，OD为半径的弧
D.以点E为圆心，DM为半径的弧
4.把一个正五棱柱如图摆放，当投射线由正前方射到后方时，它的正投影是()
5.(2014·成都)下列几何体的主视图是三角形的是()
6.(2014·宜宾)如图，放置的一个机器零件(图1)，若其主(正)视图如图2所示，则其俯视图是()
7.(2014·杭州)已知某几何体的三视图(单位：cm)，则该几何体的侧面积等于()
A.12πcm2B.15πcm2C.24πcm2D.30πcm2
8.(2013·随州)如图是一个长方体形状包装盒的表面展开图.折叠制作完成后得到长方体的容积是(包装材料厚度不计)()
A.40×40×70B.70×70×80C.80×80×40D.40×70×80
9.(2014·邵阳)如图所示的罐头的俯视图大致是()
10.(2014·威海)用四个相同的小立方体搭几何体，要求每个几何体的主视图、左视图、俯视图中至少有两种视图的形状是相同的，下列四种摆放方式中不符合要求的是()
11.(2014·湖州)如图，由四个小立方体组成的几何体中，若每个小立方体的棱长都是1.则该几何体俯视图的面积是.
12.(2014·汕尾)写出一个在三视图中俯视图与主视图完全相同的几何体.
13.(2014·扬州)如图，这是一个长方形的主视图与俯视图，由图示数据(单位：cm)可以得出该长方形的体积是cm3.
14.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=50°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB,AC于点E,F；②分别以点E,F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边于点D，则∠ADC的度数为.
15.画出下面立体图形的三视图.
16.(2014·白银)如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.
(1)用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)；
(2)连接BD，求证：BD平分∠CBA.
17.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线.
(1)用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；(保留作图痕迹，不写作法和证明)
(2)设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状.(只写结果)
18.(2014·烟台)如图是一个正方体截去一角后得到的几何体，它的主视图是()
19.如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是()
A.3个或4个B.4个或5个C.5个或6个D.6个或7个
20.(2014·菏泽)过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图几何体，其展开图正确的为()
21.(2013·济宁)三棱柱的三视图如图所示，△EFG中，EF=8cm，EG=12cm，∠EGF=30°，则AB的长为cm.
22.如图，一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子，当木杆绕点A按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化.设AB垂直于地面时的影长为AC(假定AC＞AB)，影长的最大值为m，最小值为n，那么下列结论：①m＞AC;②m=AC;③n=AB;④影子的长度先增大后减小.其中，正确的结论的序号是.
参考答案
考点解读
①平行②长③高④宽⑤直尺⑥圆规
各个击破
例1B
题组训练1.D2.A3.A4.D
例2D
题组训练1.D2.C3.C
例3C
题组训练1.D2.B3.A
例4(1)如图：①作∠A′BD=∠ABD.
②以B为圆心，AB长为半径画弧，交BA′于点A′.
③连接BA′，DA′，则△A′BD即为所求；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠BAD=∠C.
由折叠的性质可得：∠BA′D=∠BAD，A′B=AB，
∴∠BA′D=∠C，A′B=CD.
在△BA′E和△DCE中，
∴△BA′E≌△DCE(AAS).
题组训练1.作出角平分线AD；作出⊙O.
∴⊙O为所求作的圆.
2.
3.(1)如图1所示，△CDE即为所求(答案不唯一).
(2)如图2所示，平行四边形ABFE即为所求(答案不唯一).
整合集训
1.D2.C3.D4.B5.B6.D7.B8.D9.D10.D11.3
12.圆或正方体（答案不唯一）13.1814.65°
15.如图所示.
16.(1)如图所示，DE就是要求作的AB边上的中垂线.
(2)证明：∵DE是AB边上的中垂线，∠A=30°，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=30°.
∵∠C=90°，
∴∠ABC=90°-∠A=90°-30°=60°，
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=60°-30°=30°，
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠CBA.
17.(1)作出射线DN.
(2)△ADF是等腰直角三角形.
18.C19.B20.B21.622.①③④
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