规律与猜想
学习数学很重要的一个目的，就是要善于捕捉事物的规律，用数学形式和数学方法表示出来.规律与猜想类试题选材一般来源于学生熟悉的生活，有一定的趣味性，呈现形式多样，便于学生观察，侧重考查学生观察和归纳能力，让学生从不同角度，利用不同方法探索并发现数学规律，同时利用发现的规律，让学生学会自我验证，真正考查了学生的数学思考能力.
类型之一数式的变化规律
例1(2014·安徽)观察下列关于自然数的等式：
32-4×12=5
52-4×22=9
72-4×32=13
……
根据上述规律解决下列问题：
(1)完成第四个等式：92-4×()2=()；
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并验证其正确性.
【思路点拨】(1)从等式的结构看，等于号的左边第一项的底数依次增大2，第二项的底数依次增大1，等于号的右边依次增大4.依次规律就可写出第四个等式；
(2)先根据分析的规律用含n的等式表示出第n个等式，然后将等号的一边经过整理与另一边相同.
【解答】(1)4，17.
(2)(2n+1)2-4×n2=4n+1.
验证：∵左边=4n2+4n+1-4n2=4n+1=右边，
∴等式成立.
方法归纳：探究等式变化规律的题目，关键把握两点：一是找出等式中“变”与“不变”的部分；二是分析出“变”的规律即等式的个数之间存在的规律.
1.(2014·东营)将自然数按以下规律排列：
表中数2在第二行，第一列，与有序数对(2，1)对应；数5与(1，3)对应；数14与(3，4)对应；根据这一规律，数2014对应的有序数对为.
2.(2014·菏泽)下面是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第n行(n是整数，且n≥3)从左至右数第n-2个数是(用含n的代数式表示).
3.(2014·滨州)计算下列各式的值：
；；；.
观察所得结果，总结存在的规律，运用得到的规律可得=.
4.(2014·巴中)如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”.它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了(a+b)n(n为非负整数)的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数.例如，(a+b)2=a2+2ab+b2展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再如，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字.请认真观察此图，写出(a-b)4的展开式为.
5.(2014·黄石)观察下列等式：
第一个等式：a1==-
第二个等式：a2==-
第三个等式：a3==-
第四个等式：a4==1-
按上述规律，回答以下问题：
用含n的代数式表示第n个等式：
an==；式子a1+a2+a3+…+a20=.
6.(2014·烟台)将一组数，，3,2,,…，3，按下面的方法进行排列：
若2的位置记为(1，4)，2的位置记为(2，3)，则这组数中最大的有理数的位置记为()
A.(5，2)B.(5，3)C.(6，2)D.(6，5)
类型之二图形的变化规律
例2(2014·金华)一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接.
(1)若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？
(2)若有餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？
【思路点拨】由拼图可知，每多拼一张餐桌，可坐的人数就增多4人，依次规律可探究出餐桌的个数与可坐人数之间的关系.从而就可解决问题.
【解答】(1)根据图中的规律我们可以发现，每多拼接一张餐桌，可坐的人数就增多4人.
即：拼接x张餐桌可以就餐的人数为：6+4(x-1)=4x+2(人).
所以，拼4张可以坐4×4+2=18(人)，拼8张可以坐4×8+2=34(人).
(2)由题意可知
4x+2=90.解得x=22.
答：这样的餐桌需要拼接22张.
方法归纳：当图形在变换时，图形的个数与对应的另一个变换的量的关系很难直接观察出规律时，可以通过建立这两个变量之间的函数关系，利用已知的几对对应值求出函数关系式，然后去论证.
1.(2014·重庆A卷)如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第(1)个图形中的正方形有2个，第(2)个图形中面积为1的正方形有5个，第(3)个图形中面积为1的正方形有9个，……，按此规律，则第(6)个图形中面积为1的正方形的个数为()
A.20B.27C.35D.40
2.（2014·武汉）观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图片共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第5个图中共有点的个数是()
A.31B.46C.51D.66
3.(2014·重庆B卷)下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，……，依此规律，第五个图形中三角形的个数是()
A.22B.24C.26D.28
4.(2014·宜宾)如图，将n个边长都为2的正方形按照如图所示摆放，点A1,A2，…,An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是()
A.nB.n-1C.()n-1D.n
5.(2014·鄂州)如图，四边形ABCD中，AC=a,BD=b,且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn.下列结论正确的是()
①四边形A4B4C4D4是菱形；②四边形A3B3C3D3是矩形；③四边形A7B7C7D7周长为；④四边形AnBnCnDn面积为.
A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④
6.(2014·内江)如图，已知A1、A2、……、An、An＋1是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝……＝AnAn＋1＝1，分别过点A1、A2、……、An、An＋1作x轴的垂线交直线y＝2x于点B1、B2、……、Bn、Bn＋1，连接A1B2、B1A2、A2B3、B2A3、……、AnBn＋1、BnAn＋1，依次相交于点P1、P2、P3、……、Pn，△A1B1P1、△A2B2P2、……、△AnBnPn的面积依次为S1、S2、……、Sn，则Sn为()
A.B.C.D.
7.(2014·内江)如图所示，将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列，那么第2014个图形是.
△△□□□△○○□□□△○○□□□△○○□……
8.（2014·娄底）如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，则第n（n为正整数）个图案由个▲组成.
9.(2014·盐城)如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y＝x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为(8，4)，阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1，S2，S3，…，Sn，则Sn的值为.(用含n的代数式表示，n为正整数)
类型之三点的坐标的变化规律
例3(2014·泰安)如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去……，若点A(,0),B(0,4),则点B2014的横坐标为.
【思路点拨】先根据勾股定理求出AB的长度，再根据第4个图形与第1个图形的位置相同，可知每三个三角形为一个循环依次循环，然后求出每个循环组中B点坐标的变化规律即可.
【解答】由题意可得：∵AO=，BO=4，
∴AB=，
∴OA+AB1+B1C2=++4=6+4=10，
∴B2的横坐标为10，B4的横坐标为2×10=20，
∴点B2014的横坐标为：×10=10070.
故答案为：10070.
方法归纳：由于图形在坐标系中的运动而导致的点的坐标的变化情况，先应该分析图形的运动规律，然后结合点在图形中的位置找出点的坐标的变化规律.
1.如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，……，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形.若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2，0)，A2(1，-1)，A3(0，0)，则依图中所示规律，A2014的坐标为.
2.(2013·湛江)如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1、A2、A3、A4、…表示，其中A1A2与x轴、底边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、…均相距一个单位，则顶点A3的坐标是，A22的坐标是.
3.(2014·孝感)正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置.点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B6的坐标是.
4.(2014·德州)如图，抛物线y＝x2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为A1，A2，A3，…An，….将抛物线y＝x2沿直线l：y＝x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：
①抛物线的顶点M1，M2，M3，…Mn，…都在直线l：y＝x上；
②抛物线依次经过点A1，A2，A3，…An，….
则顶点M2014的坐标为.
参考答案
类型之一数式的变化规律
1.(45，12)2.
3.102014
提示：∵=10=101，=100=102，=1000=103，
=10000=104，
∴=102014.故答案为102014.
4.a4-4a3b+6a2b2-4ab3+b4
5.；-；-
6.C
类型之二图形的变化规律
1.B2.B
3.C
提示：每一次操作三角形个数增加6个.
4.B
提示：每两个之间重叠部分的面积都等于正方形面积的，正方形的面积为4，所以重叠部分的面积为1，n个正方形有(n-1)个重叠部分，故重叠部分的面积之和为(n-1).
5.A
6.D
提示：AnBn当底，利用函数y＝2x即可求得，利用黑白三角形相似如△A1B1P1∽△B2A2P1等求得Pn到AnBn的距离，从而得△AnBnPn的面积.
7.正方形
8.3n+1
9.24n-5
提示：根据A点的坐标为(8,4)即可得出正方形的边长依次为20、21、22、23、…，第n个正方形的边长为2n-1计算,第n个阴影部分是在第2n-1和2n个正方形中，与求S2的方法一样，第n个阴影部分的面积是第2n-1个正方形面积的一半，∴Sn=×（22n-1-1）2=24n-5.
类型之三点的坐标的变化规律
1.(1,-1007)
2.(0，-1)(-8，-8)
提示：由于22÷3=7……1，而A1的坐标为(-1，-1)；A4的坐标为(-2，-2)；A7的坐标为(-3，-3)；……；A22的坐标为(-8，-8).
3.(63，32)
提示：A1(0,1)，B1(1，1);A2(1，2)B2(3，2),A3(3，4),B3(7，4);依次类推An(2n-1,2n-1),所以B6(63，32).
4.(4027，4027)
提示：M1(a1，a1)是抛物线y1=(x-a1)2+a1的顶点，抛物线y=x2与抛物线y1=(x-a1)2+a1相交于A1，得x2=(x-a1)2+a1，即2a1x=a21+a1，x=(a1+1).∵x为整数点，∴a1=1，M1(1，1)；同理M2(3，3)，M3(5，5)，……，∴M2014(2014×2-1，2014×2-1)，即M2014(4027，4027).
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