滚动小专题（四）函数的图象和性质
本专题对函数的图象和性质进行复习与深化，这类题目考查的知识点较多，要求学生的能力也较强，试题呈现多样.解这类题一要有数形结合思想，二要有函数思想.要善于将题目中的条件转化为点的坐标、变量之间的关系.复习时，深刻理解函数是刻画动态问题的最佳数学模型，从而灵活建立函数关系式，熟悉各种题型的解题策略，不断丰富解题经验.
类型1同一坐标系下多个函数图象
例1(2013·杭州)给出下列命题及函数y=x,y=x2和y=的图象.
①如果>a>a2，那么0a>，那么a>1；③如果>a2>a，那么-1>a，那么a<-1，则()
A.正确的命题是①④
B.错误的命题是②③④
C.正确的命题是①②
D.错误的命题只有③
【解答】一次函数与反比例函数联立方程组
解得或
故一次函数与正比例函数的交点坐标为(1，1)、(-1，-1).
∵y=x2过(1,1)，
∴(1,1)是三个函数图象的交点.
又y=x与y=x2都过原点，
∴(0,0)是它们的一个交点.
自变量取值 a<-1 -11 函数大小 a2>>a a2>a> >a>a2 a2>a> 可知①、④正确；②、③错误，故选A.
方法归纳：根据函数图象比较自变量的取值范围时，一般是看界点左右两边自变量所对应函数值的大小情况.有时自变量的取值范围不止一段，所以不要漏解.
1.(2014·淄博)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B(0，-2)，它与反比例函数y=-的图象交于点A(m，4)，则这个二次函数的解析式为()
A.y=x2-x-2B.y=x2-x+2C.y=x2+x-2D.y=x2+x+2
2.(2014·泰安)已知函数y=-(x-m)(x-n)(其中m
类型2二次函数的图象与性质综合
例2(2013·新疆改编)如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是(1，0)，C点的坐标是(4，3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在(1)中抛物线对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小?若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由.
【思路点拨】(1)用待定系数法求抛物线解析式；
(2)利用二次函数图象的轴对称和两点之间线段最短确定点D位置，并求出周长的最小值.
【解答】(1)把A(1，0)，C(4，3)代入y=ax2+bx+3，得
解得
∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3.
(2)存在.假设抛物线对称轴上存在点D，使△BCD的周长最小.
∵△BCD的周长=BD+CD+BC，而BC是定值.∴当BD+CD最小时，△BCD的周长最小.
由y=x2-4x+3=(x-2)2-1知，抛物线的对称轴为直线x=2.
∵点A与点B关于直线x=2对称，∴AD=BD.
∴BD+CD=AD+CD.
故当A、D、C三点在同一条直线上时，AD+CD最小.即D为直线AC与直线x=2的交点.
∵直线AC经过点A(1，0)，C(4，3).
∴直线AC的解析式为y=x-1.
当x=2时，y=2-1=1.∴D的坐标为(2，1).
方法归纳：二次函数图象关于对称轴对称，常常利用这一性质解决线段最短或周长最短问题.
1.如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A、B，AB=2，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值.
2.(2013·昆明改编)如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在边BC上，且抛物线经过O、A两点，直线AC交抛物线于点D.
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点D的坐标.
3.(2014·黔西南改编)如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A(-3,0)、B(1,0)、C(0,3)三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点(不与A、D重合).经过点P作y轴的垂线，重足为E，连接AE.
(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
(2)如果P点的坐标为(x,y)，△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求S的最大值.
参考答案
类型1同一坐标系下多个函数图象
1.A2.C
类型2二次函数的图象与性质综合
1.(1)∵AB=2，对称轴为直线x=2，
∴A(1,0)，B(3,0).
∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A、B，
∴1,3是方程x2+bx+c=0的两个根.
由根与系数的关系，得1+3=-b，1×3=c.
∴b=-4，c=3.
∴抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3.
(2)连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA.
由(1)知抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3，点A、B的坐标分别为(1,0)，(3,0).
∴点C的坐标为(0,3).
∴BC==3，AC==.
∵点A、B关于对称轴x=2对称，∴PA=PB.
∴PA+PC=PB+PC.此时，PB+PC=BC.
∴当P点在对称轴上运动时，PA+PC的最小值等于BC.
∴△APC周长的最小值=AC+AP+PC
=3+.
2.(1)由题意知：A(4，0)，C(0，3)，BC=4.
∴BC的中点坐标为(2，3).
由对称性可知：抛物线的顶点坐标为(2，3)，设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+3.
将O(0，0)代入得：0=a(0-2)2+3，解得a=-.抛物线的解析式为y=-x2+3x.
(2)∵直线AC经过点A(4，0)，C(0，3)，
∴直线AC的解析式为y=-x+3.
由解得或
∴抛物线与直线AC的交点的坐标为(1，)和(4，0).
∴点D的坐标为(1，).
3.(1)由抛物线过C(0,3)，则设y=ax2+bx+3.
∵抛物线过点A(-3,0)、B(1,0)，
∴解得
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3，
顶点坐标为D(-1,4).
(2)过点A作AH⊥AB交EP的延长线于点H.
∵A(-3,0)、D(-1,4),
∴直线AD的解析式为y=2x+6.
∴S=AH·EP=-xy=-x(x+3)
=-(x+)2+(-3
∴当x=-时，S的最大值为.
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